Görelilik Serisi Part 5 -Enerji Momentum Tensörü

Table of Contents

Enerji Momentum Tensörü

Eşitlik ilkesine geçmeden önce hazır göreli momentumdan bahsetmişken öncelikle enerji momentum tensörünü tanımlamak sanırım doğru olacaktır.Genel Görelilik’te kütleçekim kaynakları genellikle büyüktür, bu yüzden bir parçacığı tek başına düşünmek yerine, çok sayıda parçacığın dikkate alınması gerekir. Kütleçekimin kaynağı ve dolayısıyla eğriliğin kaynağı enerjidir ve enerji kütleyi içerir.

Yoğunluklar uzay ve zamanda farklılık gösterebileceği için sonsuz küçük niceliklerle çalışmamız gerekiyor. Diyelim ki, $dN$ küçük hacimdeki parçacık sayısı ve $dV = dx\,dy\,dz$ küçük hacim olsun o zaman parçacık sayısı yoğunluğunu şu şekilde ifade edebiliriz: $dn = \frac{dN}{dV}$ . Parçacık sayısı yoğunluğu $dn$ ile gösterilir. Hacmin $dV_\textit{durgun}$ durağan(rest) olduğu durumda $dn_\textit{durgun}$ ile gösteririz. $dN$ bir skaler olduğundan, $dn_\textit{durgun}$ bir tensör mü, sorusunu sormak isteyebilirsiniz( nedenini böyle bir soru sormak isteyebilceğinizi önceki bölümlerden dolayı zaten biliyorsunuz). Sonsuz küçük hacmi $x$ boyunca $-v$ hızıyla boost ettiğimizde

$dn \rightarrow dn' = \frac{dN}{\frac{1}{\gamma}dx\,dy\,dz} = \gamma \frac{dN}{dV} = \gamma dn > dn$

elde edilir ve bu da onun bir tensör olmadığını gösterir(heralde şaşırmadınız bu sonuca). Peki ama tensör değilse ne o zaman dediğinizi duyar gibiyim. $dn' = \gamma dn_\textit{durgun}$ ifadesi $dt' = \gamma dt_\textit{durgun}$ ifadesine benzediği için, $dn$ ‘nin bir 4-vektörün zaman bileşeni olduğu düşünebilirsiniz. Eğer $U^\mu$ sonsuz küçük hacmin 4-hızıysa, o zaman

$dN^\mu = dn_\textit{durgun} U^\mu = \left( \begin{array}{c}dn_\textit{durgun} \gamma \\dn_\textit{durgun} \gamma \vec{v}\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c}dn \\dn \vec{v}\end{array} \right)\Rightarrow dN^\mu_\textit{durgun} =\left( \begin{array}{c}dn_\textit{durgun} \\0\end{array} \right)$

elde edilir ve bu bir vektördür çünkü $dn_\textit{durgun} = \frac{dN}{dV_\textit{durgun}}$ sabittir ve $U^\mu$ bir vektördür. (Buradaki sonsuz küçük hacmin durağan olduğunu unutmayın, yani parçacıkların ortalama hızı sıfırdır.) Özetle, skaler $dN$ ile başlandığında bir yoğunluk tanımlayabilmek için önce $dN^\mu$ vektörü tanıtılmamız gerekir.

Aslında biz yukarıdaki durumda, $(0,0)$ türünde tensör olan bir skaleri $(1,0)$ türünde bir vektöre yükseltmiş olduk. Üç boyutta iki boyutlu bir alan belirtmek için bir büyüklüğe ve bir yöne (bir dual normal vektör) ihtiyaç duyulur. Üç boyutta iki boyutlu bir yüzey $f(x,y,z) = 0$ ile tanımlanır. Örneğin, orijin merkezli bir küre $S^2_R$ yüzeyi $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - R^2 = 0$ olarak belirtilir. Bu yüzeyin normal yönü $(\partial_x f, \partial_y f, \partial_z f)$ olur ve bu bir dual vektördür.

Dört boyutlu uzayzaman için de durum pek farklı değildir. Dört boyutlu uzay zamanda üç boyutlu bir hacmi tanımlamak için hem bir büyüklük hem de bir yön gerekir. Hacmin büyüklüğü $dV$ ve yönü dual vektör $n_\mu$ ile belirtilir. $n_\mu\, dV$ ifadesinde dual vektör $n_\mu$ , üç boyutlu hacme $dV$ ortogonaldir. (Bu dört boyutlu uzayda ya da üç artı bir boyutlu uzayzamanda olması fark etmez.)

Bir yoğunluk verildiğinde $\frac{dN}{dV}$ kullanımı ile $dN = \frac{dN}{dV} dV$ ifadesi uzayzaman için uygun değildir. $dN^\mu$ bir 4-vektör ve hacim $n_\mu\, dV$ olarak verildiğinde, $dN = dN^\mu n_\mu dV$ ifadesi bir skalar olur.

Bizim amacımız, enerji ve momentumun dağılımına izin verecek şekilde dört-momentum $P^\mu$ ‘den bir yoğunluk oluşturmaktır. Daha spesifik olarak amacımız, $dP^\mu = (?)\, n_\nu\, dV$ şeklini elde etmektir ve bunun için $(2,0)$ tipinde bir tensör olan $T^{\mu\nu}$ gereklidir ve bu tensöre \textbf{enerji-momentum tensörü} denir. Bu tensör Genel Görelilik’te çok önemli bir yer tutar çünkü eğriliği ve kütleçekimsel etkileşimi oluşturan kaynağı sağlar. Enerji-momentum tensörü simetriktir, yani $T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu}$ ve bu tensör toplamda on bağımsız bileşene sahiptir. Enerji-momentum tensörü $4 \times 4$ ‘lük bir matris ile yazılabilir ve $(2,0)$ bir tensördür.

Eğer $n_\mu = (1,0,0,0)$ ve $dV = dx\,dy\,dz$ alırsak, o zaman $dP^\mu = T^{\mu\nu} n_\nu\, dV = T^{\mu 0} n_0\, dV = T^{\mu 0} dV$ olur. $P^0$ göreli enerji $E$ ve $P^i$ ise göreli momentum $\vec{p}$ ‘nin $i$ ‘inci bileşeni olduğundan:

$dP^0 = T^{00} dV \Rightarrow T^{00} = \frac{dE}{dV} = \rho, \quaddP^i = T^{i0} dV \Rightarrow T^{i0} = \frac{dp^i}{dV} = \pi^i$

ifadesini yazabiliriz. Burada $\rho$ enerji yoğunluğu, $\pi^i$ ise momentum yoğunluğudur.

Benzer şekilde, eğer $n_\mu = (0,1,0,0)$ (uzamsal yön olarak $x$ ekseni seçmiş oluyoruz) ve $dV = dt\,dy\,dz = dt\,dA_{yz}$ alınırsa, o zaman:

$dP^\mu = T^{\mu\nu} n_\nu\, dV = T^{\mu 1} n_1\, dV = T^{\mu 1}\, dt\,dA_{yz}$

olur. $P^i$ yine göreli momentumun $i$ ’inci bileşeni olduğundan, şu ifadeyi yazabiliriz:

$T^{11} = \frac{dp^1}{dt} \cdot \frac{1}{dA_{yz}} = F^1_\text{net} \cdot \frac{1}{dA_{yz}}, \quadT^{21} = \frac{dp^2}{dt} \cdot \frac{1}{dA_{yz}} = F^2_\text{net} \cdot \frac{1}{dA_{yz}}$

burada $T^{11}$ , $dA_{yz}$ üzerindeki basıncı; $T^{21}$ ve $T^{31}$ ise $dA_{yz}$ üzerindeki kesme stresini (shear) temsil eder. (Momentumdaki türev bir kuvvettir, bir kuvvetin bir alana dik bileşeni alana bölündüğünde bu basınçtır, bir alana paralel bileşeni ise kesme stresidir(shear).).

Eğer enerji momentum tensörünü matris şeklinde yazmak istersek aşağıdaki matrisi elde ederiz:

Özetlemek gerekirse, enerji-momentum tensörü $(2,0)$ tipinde bir tensördür. Burada $T^{00}$ enerji yoğunluğunu, $T^{0i} = T^{i0}$ ‘nin üç bileşeni momentum yoğunluğunu, uzaysal köşegen bileşenler $T^{ii}$ basıncı temsil eder, geri kalan bileşenler ise kesmeyi belirtir. Bundan sonraki kısımlarda, enerji-momentum tensörünün çoğunlukla sadece köşegen terimlerinin sıfırdan farklı olacak diğer kısımları sıfır alacağız.

Enerji-momentum tensörünün bileşenleri aşağıdaki şekilde belirtilebilir:

$T^{\mu\nu} = \frac{dP^\mu}{n_\nu\, dV} = \frac{dP^\mu\, U^\nu}{dV_\textit{durgun}}$ (1)

$dP^\mu = T^{\mu\nu} n_\nu\, dV$ ifadesindeki, bir vektörün dual bir vektöre bölünmesini matematiksel olarak anlamsız olacağı için onun yerine, $dN^\mu = dn_\text{rest}\, U^\mu$ ifadesini kullanarak bu durumdan kaçınabiliriz. Bunu yaptığımızda şu sonucu elde ederiz:

$dN^\mu = dn_\text{rest}\, U^\mu = dN\, \frac{U^\mu}{dV_\textit{durgun}}, \quad \textit{durgun} \quaddN^\mu = \frac{dN}{n_\mu\, dV} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n_\mu\, dV} = \frac{U^\mu}{dV_\textit{durgun}}$

Bu ifade, sistemi (hacmi) durgun çerçevede tanımlamaya imkân verir; burada 4-hız, durgun çerçeveye göre alınır.

Bu duruma bir örnek vermek istersek, ilk örnek olarak bu, birbirlerine göre durgun haldeki parçacıklardan oluşan bir sistem olan tozu ele alabiliriz. Durgun referans çerçevesinde hacim durgun, parçacıklar da bu hacim içinde durgundur.
O zaman size şöyle bir soru sormak istiyorum: keyfi bir referans çerçevede enerji-momentum tensörü nedir? Bu soruyu cevaplamak için ilk olarak sonsuz küçük dört-momentumumuzu tanımlayalım:

$dP^\mu = dN\,m\,U^\mu$

burada $U^\mu$ tüm parçacıklar için aynı hızdır ve $P^\mu = m U^\mu$ her bir toz parçacığının dört-momentumudur. Denklem (1)i kullanılarak:

$T^{\mu \nu} = \frac{dP^\mu U^\nu}{dV_{\textit{durgun}}} = \frac{dN\,m\,U^\mu\,U^\nu}{dV_{\textit{durgun}}} = d n_{\textit{durgun}}\, m\, U^\mu U^\nu = \rho_{\textit{durgun}}\, U^\mu U^\nu$

ifadesini elde ederiz, burada $\rho_{\textit{durgun}}$ durgun enerji yoğunluğudur çünkü durgun halde $m$ (aslında $mc^2$ ama c yi 1 aldığımız için elimizde sadece kütle kalıyor) elimizdeki tüm enerjidir ve $dn_{\text{rest}}$ parçacık yoğunluğudur. O zaman durgun referans çerçevesinde tozun enerji-momentum tensörünü yazmak istersek şöyle yazabiliriz:

$U^\mu =\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\0\end{pmatrix} \quad T^{\mu \nu}_{\textit{durgun}} = \begin{pmatrix} \rho_{\textit{durgun}} & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Bu şaşırtıcı değildir çünkü parçacıkların momentumu yoktur ve kesme stresi (shear) ve basıncı da sıfırdır.

İkinci örnek olarak, rastgele hızlara sahip parçacıklardan oluşan bir sistem olan mükemmel akışkanı (perfect fluid) ele alalım. Bu örnek için viskoziteyi (shear) ihmal edelim, yani $i \ne j$ için $T^{ij} = 0$ olsun ve sistemimizde izotropi olduğunu varsayalım: İzotropiden dolayı $T^{11} = T^{22} = T^{33} = p$ diyebiliriz, burdaki varsayımlarımız aslında mükemmel akışkan tanımının gereklilikleridir(Konumuz akışkanlar mekaniği olmadığı için( Şükür) her terimi burda tek tek açıklamıyorum sadece örneğe ve onun sonucuna odaklansanız yeter) . Ayrıca momentum yoğunluğu sıfırdır çünkü sistem net akış yoktur. O zaman enerji yoğunluğu $\rho$ ve basıncı $p$ olan bir durgun referans çerçevesindeki enerji-momentum tensörünü şu şekilde yazabiliriz:

$T^{\mu \nu}_{\textit{durgun}} =\begin{pmatrix}\rho & 0 & 0 & 0 \\0 & p & 0 & 0 \\0 & 0 & p & 0 \\0 & 0 & 0 & p\end{pmatrix}$

Eğer $T^{\mu \nu}_{\textit{durgun}} = (\rho + p)\,U^\mu_{\textit{durgun}}\,U^\nu_{\textit{durgun}} + p\eta^{\mu \nu}$ dersek yukarıdaki denklemi şu şekilde yeniden yazabiliriz:

$T^{\mu \nu}_{\textit{durgun}} =\begin{pmatrix}\rho & 0 & 0 & 0 \\0 & p & 0 & 0 \\0 & 0 & p & 0 \\0 & 0 & 0 & p \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\rho + p & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-p & 0 & 0 & 0 \\0 & p & 0 & 0 \\0 & 0 & p & 0 \\0 & 0 & 0 & p\end{pmatrix}$

Aslında bu denklem bizim için çok kullanışlıdır çünkü durgun referans sisteminde türettiğimiz bu ifade aslında tüm referans çerçevelerinde doğrudur; $T^{\mu \nu} = (\rho + p)\,U^\mu\,U^\nu + p\eta^{\mu \nu}$ .

Bu, aslında bizim tensörlerle çalışmak isteme sebeplerimizden biridir. Basit bir ortamda (çoğunlukla durgun referans çerçevesi) bir denklem bulabilir ve eğer bu bir tensör ifadesiyse, denklemin herhangi bir referans çerçevesinde de geçerli olacağını söyleyebiliriz. Eğer basınç $p$ sıfır olursa, mükemmel akışkan için bulunan tensör ifadesi şu şekilde olur: $T^{\mu \nu} = \rho U^\mu U^\nu$ ve bu, önceki örnekte toz için bulunan ifadeyle aynıdır.

$T^{\mu \nu} = (\rho + p)\,U^\mu\,U^\nu + p\eta^{\mu \nu}$

Bu denklem herhangi bir referans çerçevesindeki herhangi bir mükemmel akışkan için geçerlidir. Genel Görelilik’te enerji-momentum tensörü $T^{\mu \nu}$ , elektromanyetizmadaki yük-akım yoğunluğu $J^\mu$ ile birbirine benzetebiliriz(ikisi de kendi alanlarında kaynak(source) olarak nitelendirilir.).Belirtmemiz gereken tek şey, $\rho$ ve $p$ ‘nin (enerji yoğunluğu ve basınç) birbiri ile nasıl bağlantılı olduğudur.

Enerji-momentum tensörü Einstein alan denklemlerinin önemli bir parçasıdır ve bu denklemleri çözerek $g_{\mu \nu}$ ‘yu bulabiliriz.

Bu bölümü özellikle sadece enerji momentum tensörüne ayırmak istedim çünkü Einstein alan denklemlerine geçtiğimizde bu tensör bizim için çok önemli olacak, bir sonraki bölümde eşitlik ilkesini anlatıp genel göreliliğe geçmeden önce işimize çok yarayacak olan ve eğri uzay zamanlarda bolca kullanacağımız matematiksel bazı teoremlere göz atacağız.

Şimdilik benden bu kadar, bir sonraki bölümde görüşmek üzere kendinize iyi bakın:)

Kaynakça

[1] L.F. Landau, E.M. Lifshitz, (1980). The Classical Theory of Fields: Volume 2. (Butterworth-Heinemann)
[2] S.M. Carroll, (2003). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. (Addison-Wesley)