Diferansiyel Geometri Serisi 2. Bölüm

Bir önceki bölümde diferansiyel geometrinin tarihçesine değinip bu seride neler yapacağımızdan bahsetmiştik. Bu bölümde de diferansiyel geometrinin en temelinden başlayacağız, diferansiyel geometri yapabilmek için bize lazım olacak bazı matematiksel yapılardan bahsedeceğiz. Eğer çok uzarsa gelecek bölümde de bu yapıları tanıtmaya devam ederiz. Her şeyden önce diferansiyel geometri yapabilmemiz için bir vektör uzayı yapısına ihtiyacımız vardır.

O halde oynat Uğurcum; Vektör Uzayları.

Table of Contents

1 Vektör Uzayları

Şimdi biraz hile yapıp lineer cebiri ucundan kıyısından bildiğinizi kabul edeceğim. Vektör uzayı dendiğinde aklınıza fizik dersinde gördüğünüz vektörler geliyor olabilir ancak bizim burada bahsedeceğimiz şey o hayalini kurduğunuz vektör kavramının genelleştirilmiş hali olacak, örneğin bir polinomu bile uygun işlemler tanımlayarak vektör olarak görebiliriz.

Tanım 1. $V$ bir küme ve $(+,\star)$ ikili işlemler olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa $(V,+,\star)$ üçlüsüne vektör uzayı deriz.

1. (Toplama altında kapalılık) $\forall \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} \in V \quad \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} \in V$

2. (Toplama altında değişim) $\forall \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} \in V \quad \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} + \boldsymbol{u}$

3. (Parantez Kaydırma) $\forall \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} , \boldsymbol{w} \in V \quad (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} ) + \boldsymbol{w} = \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w} )$

4. (Sıfır vektörünün varlığı) Her $\boldsymbol{u} \in V$ için $\boldsymbol{u} + 0_V = \boldsymbol{u}$ özelliğini sağlayan bir $0_V \in V$ vektörü vardır.

5. (Toplama işlemine göre tersin varlığı) Her $\boldsymbol{u} \in V$ için $\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = 0_V$ eşitliğini sağlayan bir $\boldsymbol{v} \in V$ vardır. Bu durumda $\boldsymbol{v} = -\boldsymbol{u}$ olarak yazılır.

6. (Çarpma altında kapalılık) $\forall c \in \mathbb{R}, \forall \boldsymbol{u} \in V \quad c \star \boldsymbol{u} \in V$ sağlanır.

7. (Çarpma altında skalerlerin dağılımı) $\forall c, d \in \mathbb{R}, \forall \boldsymbol{u} \in V$ için $(c + d) \star \boldsymbol{u} = c \star \boldsymbol{u} + d \star \boldsymbol{u}$ sağlanır.

8. (Çarpma altında vektörlerin dağılımı) $\forall c \in \mathbb{R}, \forall \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} \in V$ için $c \star (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} ) = c \star \boldsymbol{u} + c \star \boldsymbol{v}$ sağlanır.

9. (Parantez Kaydırma) $\forall c, d \in \mathbb{R} \quad \forall \boldsymbol{u} ,\boldsymbol{v} \in V$ için $c \star (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} ) = c \star \boldsymbol{u} + c \star \boldsymbol{v}$ sağlanır

Yukarıdaki tanımı özetlemek istersek, elimize bir küme alalım ve bu küme üzerinde ”toplama” ve ”çarpma” adı verilen iki işlem tanımlayalım. Eğer yukarıdaki özellikler sağlanıyorsa kaseye koyduğumuz küme ve işlem malzemeleri bize bir ”pasta” yani bir vektör uzayı verecektir. Kafamızda birşeylerin daha iyi oturması açısından biraz örnek görmek iyi olacaktır.

Örnek 1. En bilinen örneklerden biriyle başlayalım, fizik derslerinden de görmeye alışık olduğumuz uzayı ele alacağız.

$\mathbb{R}^2 = \left\{ \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} \middle| u_1, u_2 \in \mathbb{R} \right\}$

kümesini aşağıda tanımladığımız standart toplama ve çarpma işlemiyle harmanlayalım.

$\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{bmatrix}, \quad \forall \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$

$c \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c u_1 \\ c u_2 \end{bmatrix}, \quad \forall c \in \mathbb{R}, \forall \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$

Bu işlemlerle birlikte $\mathbb{R}^2$ kümesi bir vektör uzayı belirtir. Bu kümeyi genelleştirebiliriz. Şöyle ki $\mathbb{R}^n$ diye bir küme tanımlasak ve bu kümenin elemanları da $n$ -tane bileşenli vektörlerden oluşsa, toplamayı bileşenlerin toplamı ve çarpmayı bileşenlerin çarpımı olarak tanımlasak (sözel olarak ifade ediyorum çünkü yazması çok kafa karıştırıcı) bu uzay da bir vektör uzayı olur.

Örnek 2. (Kalkülüs\& Analiz derslerini görmüş olan okuyucu için).

$C[a, b] = \{f: [a, b] \to \mathbb{R} \mid f \text{ sürekli bir fonksiyon}\}$

kümesi üzerinde

$(f + g)(x) = f(x) + g(x), \quad \forall x \in [a, b]$

$(cf)(x) = cf(x), \quad \forall c \in \mathbb{R}, \forall x \in [a, b]$

işlemlerini tanımlayalım. $C[a, b]$ kümesi bu işlemlerle birlikte bir vektör uzayı belirtir.

Vektör uzayları hakkında konuşulacak çok şey var aslında ancak bu yazıyı insan okuyacak yahut diyerekten konuyu çok uzatmadan bitiriyoruz. Sonuçta yolumuz diferansiyel geometri. Şimdi vektör uzaylarına çarpım ve norm gibi kavramlar ekleyebiliriz. Bana kalsa buradan Banach ve Hilbert uzaylarına girerim ama vakit sınırlı malumunuz, Öklid postulatlarını tartışıp modern anlamda diferansiyel geometriye girmemiz lazım. Unutmadan evvel belirtmem lazım bu seride karmaşık sayılarla ilgili hiçbir şeye değinmeyeceğiz, dolayısıyla tanımlarımızın ve teoremlerimizin hepsi reel vektör uzaylarıyla ilgili olacak. Kompleks vektör uzaylarında eşlenik kavramı devreye giriyor, bazı özellikler orada geçersiz kalabiliyor. Lakin diferansiyel geometri için ihtiyacımız olan şey reel vektör uzayları olduğundan sadece buna değineceğiz.

İç Çarpım Uzayı

Nokta çarpımı (skaler çarpım) diye bir şey duyan okuyucularımız neyden bahsedeceğimizi az biraz anlamıştır. Bu kavram çok önemlidir çünkü bu kavram üzerinden bir vektör uzayındaki iki eleman arasındaki açıyı ölçebileceğiz, bir vektörün boyunu ölçebileceğiz ve çok daha fazlası, eğriler ve yüzeyler hakkındaki işlemlerde hep iç çarpım kullanacağız.

Tanım 2. $(V, +,.)$ bir reel vektör uzayı olsun. Bu vektör uzayı üstünde tanımlanan $\langle ,\rangle : V \times V \to \mathbb{R}$ şeklinde bir fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa bu fonksiyona iç çarpım adı verilir:

(Pozitif Tanımlılık) $\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{u} \rangle \geq 0, \quad \forall \boldsymbol{u} \in V$ ve eşitliğin sağlandığı tek durum $\boldsymbol{u} =\boldsymbol{0} _V$ olduğu durumdur. Yani sıfır vektörü olmayan bir vektörün kendisi ile iç çarpımı daima pozitif, sıfır vektörünün iç çarpımı ise sıfırdır.
İç çarpım uzaylarına geçmeden evvel belirttik ancak burada da belirtmekte fayda var, $V$ reel vektör uzayı olsun. O halde $\forall \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in V, \quad \langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v} \rangle = \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{u} \rangle$ eşitliği geçerli olur
(Toplamanın Dağılımı) $\langle \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \rangle = \langle \boldsymbol{u} , \boldsymbol{w} \rangle + \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \rangle , \quad \forall \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in V$
(Çarpmanın Dağılımı) $\langle c\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle= c\langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle, \quad c \in \mathbb{R}, \forall \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in V$

Örnek 3. $(\mathbb{R}^2, +, \cdot)$ vektör uzayı için $\langle , \rangle : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ fonksiyonunu aşağıdaki gibi tanımlayalım.

$\left\langle \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \right\rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2$

Bu fonksiyonun çok net biçimde bir iç çarpım belirttiği, inanmayan buyursun kanıtlasın.(Oldukça kolay bir şekilde gösterilebilir.)

“Eee hani vektörlerin açısını ölçüyorduk, hani boylarını buluyorduk ???” serzenişlerinde bulunuyorsanız haklısınız, norm kavramına girmeden iç çarpım kavramı pek de bir uygulamaya sahip değildir. (Twitterda yiyeceğim linçleri hayal ediyorum şu an, tamam tamam uygulaması var ama şu durum için yok.)

Tanım 3. $(V,+,\cdot)$ bir vektör uzayı olsun. Bu uzay üzerinde bir $\langle\ ,\ \rangle$ iç çarpımı tanımlanabiliyorsa $(V,\langle\ ,\ \rangle)$ uzayına \textit{iç çarpım uzayı} adı verilir.

Tanım 4. $(V,+,\cdot)$ bir vektör uzayı olsun. Bu uzay üzerinde tanımlanan $|\cdot| : V \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonuna \textit{norm} adı verilir.

$\forall \mathbf{u} \in V,\ |\mathbf{u}| \geq 0$ ve eşitlik durumu ancak ve ancak $\mathbf{u} = \mathbf{0}_V$ olduğunda geçerlidir.
$\forall c \in \mathbb{R},\ \forall \mathbf{u} \in V$ için $|c\mathbf{u}| = |c||\mathbf{u}|$ .
(Üçgen Eşitsizliği) $\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V,\ |\mathbf{u} + \mathbf{v}| \leq |\mathbf{u}| + |\mathbf{v}|$ .

Örnek 4. $(\mathbb{R}^2,+,\cdot)$ \textit{vektör uzayı} için $\left \Vert \cdot \right \Vert : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonunu aşağıdaki gibi tanımlayalım.

$\left \Vert{ \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}} \right\Vert = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$

Bu fonksiyon bir normdur. Kanıtlaması oldukça basittir.

Tanım 5. $(V,+,\cdot)$ \textit{bir vektör uzayı olsun. Bu uzay üzerinde bir} $\left \Vert \cdot \right \Vert$ normu tanımlanabiliyorsa $(V,|\cdot|)$ uzayına normlu uzay adı verilir.

Esasında yukarıdaki örnek bize bir fikir veriyor olmalı, sanki tanımlanan norm kendisiyle olan iç çarpımının karekökü gibi duruyor. Yani iç çarpımlardan yola çıkarak norm üretebiliriz gibi. Sahiden de öyle.

Teorem 1. $(V,\langle\ ,\ \rangle)$ \textit{bir iç çarpım uzayı olsun.} $\left \Vert \cdot \right \Vert : V \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu

$\left \Vert \mathbf{u} \right \Vert = \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}$

olarak tanımlansın. Bu fonksiyon bir norm belirtir, dolayısıyla $(V,\left \Vert \cdot \right \Vert) = (V, \sqrt{\langle\ ,\ \rangle})$ uzayı bir normlu uzaydır.

Gelecek Bölümde…

Bu bölümde diferansiyel geometri için önemli araçlar olan vektör uzayları, iç çarpım uzayları ve normlu uzaylardan kısaca bahsettik. Bu kavramlar üzerine yazılmış onlarca kitap bulunan çok yoğun kaynaklar. Biz sadece çok temel kısımlarına değindik, diferansiyel geometri yapmaya imkan verecek kadarını tanıttık. Bu bölüm için bir kaynakçamız maalesef yok çünkü oldukça iyi bilinen kavramlardan bahsettik (kitabın yazarı bağımsız bir de kitaba mı bakacağız referans için ???). Gelecek bölümde Öklid uzaylarına yavaş yavaş girişmeyi planlıyoruz. Kendinize çok iyi bakın !