Kararlı Yarı İletken (Semiconductor in Equilibrium)

1 Giriş:

Şimdiye kadar genel bir kristal ele alıp, kuantum mekaniği kavramlarını bu kristale uygulayarak tek kristalli bir kafes içindeki elektronların bazı özelliklerini belirlemeye çalıştık. Bu bölümde ise: iletkenlik bandındaki ve valans bandındaki kuantum durumlarının yoğunluğunu, Fermi–Dirac olasılık fonksiyonuyla birlikte kullanarak, sırasıyla iletkenlik bandındaki elektron yoğunluğunu ve valans bandındaki hol (hole) yoğunluğunu bulacağız. Ayrıca Fermi enerjisi kavramını da yarı iletken malzemeye uygulayacağız.

Biz bu bölümde, dengedeki (equilibrium) bir yarı iletkeni ele alıyoruz. Denge ya da termal denge, yarı iletken üzerinde gerilim, elektrik alanı, manyetik alan veya sıcaklık farkı gibi dışarıdan herhangi bir etkinin bulunmadığı anlamına gelir. Bu durumda yarı iletkenin tüm özellikleri zamana bağlı olarak değişmez, yani sabittir.

1.1 Yarı İletkenlerde Yük Taşıyıcıları (Charge Carriers)

Akım, çok basit bir ifadeyle yükün akışıdır; yani akımdan bahsetmek istiyorsak hareket eden yüklerden bahsederiz. Bir yarı iletkende akıma iki tür yük taşıyıcısı katkıda bulunabilir: elektron ve hol (hole). Holleri elektronsuzluktan kaynaklı boşluklar (birçok Türkçe metinde boşluk veya delik olarak da karşımıza çıkıyor) olarak veya direkt pozitif yüklü parçacıklar olarak görebiliriz. Yarı iletkendeki akım büyük ölçüde iletkenlik bandındaki elektron sayısı ve valans bandındaki hol sayısı tarafından belirlendiğinden, yarı iletkenin önemli bir özelliği bu yük taşıyıcılarının yoğunluğudur.

Elektron ve hollerin yoğunluğu, daha önce ele aldığımız iki şeyle ilişkilidir: durum yoğunluğu fonksiyonu (DOS function) ve Fermi dağılım fonksiyonu. Önce bu ilişkileri kavramsal olarak tartışacağız; ardından elektron ve hollerin termal dengedeki yoğunluğunu daha kesin bir matematiksel yolla türeteceğiz.

Elektron ve Hollerin Denge Durumundaki Dağılımı

İletim bandındanki elektronların enerjiye göre dağılımını, izin verilen kuantum durumlarının yoğunluğu ile bir durumun bir elektron tarafından dolu olma olasılığıyla çarparak buluruz:

$$n(E) = g_c(E),f_F(E) \tag{1}$$

Burada $n(E)$, E enerjisindeki elektron yoğunluğunu; $g_c(E)$, iletkenlik bandındaki durum yoğunluğu fonksiyonunu; $f_F(E)$ ise Fermi–Dirac olasılık fonksiyonunu ifade ediyor. Eğer iletkenlik bandındaki toplam elektron konsantrasyonunu bulmak istersek denklem (1)'in tüm iletkenlik bandı enerjileri üzerinden integralini alırız. Benzer şekilde valans bandındaki hollerin enerjiye göre dağılımı, valans bandındaki durum yoğunluğu ile bir durumun elektron tarafından dolu olmama olasılığının çarpımıdır:

$$p(E) = g_v(E),[1 - f_F(E)] \tag{2}$$

Aynı şekilde denklem (2)'nin tüm valans bandı üzerinden integralini alarak toplam hol konsantrasyonunu bulabiliriz.

Burada bir hatırlatma yapmak isteriz, durum yoğunluğu (DoS) — $g_c(E), g_v(E)$ Bu, enerjiye bağlı bir fonksiyondur. Birimi, birim hacim × birim enerji başına düşen durum sayısıdır ($cm^{-3}eV^{-1}$). Bize şunu söyler: "E enerjisi civarında, birim hacimde, birim enerji aralığı başına kaç tane izinli kuantum durumu var?" Yani bu bir yoğunluk fonksiyonudur; hem hacme hem enerjiye göre normalize edilmiştir. Tek başına elektron sayısını vermez, sadece "orada ne kadar yer/durum var" bilgisini verir. Konsantrasyon ise, n , p (veya $n(E), p(E)$) aslında enerjiye bağlı dağılım fonksiyonlarıdır; birimi yine $cm^{-3}eV^{-1}$'dir (kaç durum var × o durumun dolu olma olasılığı). Ama bunu enerji üzerinden integre edince (tüm iletkenlik bandı boyunca), enerji birimi düşer ve elimizde kalan n artık gerçek elektron konsantrasyonudur — birimi $cm^{-3}$ (yani birim hacimdeki elektron sayısı). Kısacası durum "yoğunluğu" enerjiye göre de dağılmış bir fonksiyonken, "konsantrasyon" bu fonksiyonun enerji üzerinden toplanmış (integre edilmiş), tek bir sayıya indirgenmiş halidir.

Termal dengedeki elektron ve hol yoğunluklarını bulmak için, Fermi enerjisi $E_F$'nin, iletkenlik bandının alt sınırı $E_c$ ile valans bandının üst sınırı $E_v$'ye göre konumunu bilmemiz gerekir. Bunun için önce öz (intrinsic) bir yarı iletkeni ele alalım. İdeal bir öz yarı iletken, hiç katkı (doping) atomu ve kristal kusuru içermeyen saf bir yarı iletkendir (örneğin saf silisyum).

$T = 0$ K'de bir öz yarı iletkende valans bandındaki tüm durumlar elektronla dolu, iletkenlik bandındaki tüm durumlar ise boştur. Bu yüzden Fermi enerjisi $E_c$ ile $E_v$ arasında bir yerde olmalıdır (Fermi enerjisinin izinli bir enerji seviyesine denk gelmesi gerekmez).

Sıcaklık 0 K'nin üzerine çıkmaya başladıkça valans bandındaki elektronlar ısıl enerji kazanır. Bazı elektronlar iletkenlik bandına atlayacak kadar enerji kazanabilir. Bir elektron valans bandından iletkenlik bandına atladığında, valans bandında boş bir durum, yani bir "hol" oluşur (bkz. şekil (1)). Böylece bir öz yarı iletkende elektronlar ve holler ısıl enerji sayesinde çiftler halinde oluşur; yani iletkenlik bandındaki elektron sayısı, valans bandındaki hol sayısına eşittir. Bu eşitliği, termal dengedeki yük taşıyıcı konsantrasyonu denklemlerini türetmek için kullanacağız.

1.2 $n_0 p_0$ Denklemleri

Elektron ve hollerin etkin kütleleri eşit değilse, eşit elektron ve boşluk konsantrasyonlarını yine elde edebilmek için Fermi seviyesi midgap (bant aralığının enerjisel olarak ortasına karşılık gelir) enerjisinden kayar.

Temel amacımız termal dengedeki yük taşıyıcı konsantrasyonlarını belirlemekti. Bu türetmeyi yapabilmek için yeni parametre tanımlarına ihtiyaç duyacağız.

1.3 Termal Dengede Elektron Konsantrasyonları

Elektronların termal dengedeki konsantrasyonlarını ifade eden denklemi, daha önceden de söylediğimiz gibi (1) numaralı denklemin tüm iletim bant enerjisine integralini alarak bulabiliriz:

$$n_0 = \int g_c(E),f_F(E),dE \tag{3}$$

Bu integralin alt sınırı $E_c$'dir; üst sınır ise izin verilen iletim bandı enerjisinin tepe noktası olmalıdır. Ancak, Şekil 2a'da gösterildiği üzere Fermi olasılık fonksiyonu enerji arttıkça hızla sıfıra yaklaştığından, integralin üst sınırını sonsuz olarak alabiliriz.

Fermi enerjisinin yasak enerji aralığının (bant aralığının) içinde olduğunu varsayıyoruz. İletim bandındaki elektronlar için

$$E \geq E_c$$

olur. Eğer

$$E_c - E_F \gg kT$$

ise,

$$E - E_F \gg kT$$

olacaktır. Bu durumda Fermi olasılık fonksiyonu, Boltzmann yaklaşımına indirgenir. Buna göre,

$$f_F(E) = \frac{1}{1 + \exp\left(\frac{E - E_F}{kT}\right)}$$

ifadesi,

$$f_F(E) \approx \exp\left(-\frac{E - E_F}{kT}\right) \tag{4}$$

şeklinde yazılabilir. Buradaki temel fikir şu: $E - E_F$ değeri $kT$'den çok büyük olduğunda, Fermi-Dirac dağılımındaki 1 ihmal edilebilir ve fonksiyon klasik Boltzmann dağılımı biçimine dönüşür.

Boltzmann yaklaşımının Denklem (3)'e uygulanmasıyla, termal dengedeki iletim bandı elektron yoğunluğu aşağıdaki ifadeden elde edilir:

$$n_0 = \int_{E_c}^{\infty} \frac{4\pi(2m_n^*)^{3/2}}{h^3},(E - E_c)^{1/2} \exp\left(-\frac{E - E_F}{kT}\right) dE \tag{5}$$

Denklem (5)'teki integral, bir değişken dönüşümü yapılarak daha kolay çözülebilir. Şöyle tanımlayalım:

$$\epsilon = \frac{E - E_c}{kT}$$

Bu durumda Denklem (5),

$$n_0 = \frac{4\pi(2m_n^* kT)^{3/2}}{h^3} \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{kT}\right) \int_0^{\infty} \epsilon^{1/2} e^{-\epsilon}, d\epsilon \tag{6}$$

şeklini alır.

Bu integral, Gamma fonksiyonudur ve değeri

$$\int_0^{\infty} \eta^{1/2} e^{-\eta}, d\eta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \tag{7}$$

olur. Böylece Denklem (6),

$$n_0 = 2\left(\frac{2\pi m_n^* kT}{h^2}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{kT}\right) \tag{8}$$

şeklinde yazılabilir. Şimdi $N_c$ adlı bir parametre tanımlayabiliriz:

$$N_c = 2\left(\frac{2\pi m_n^* kT}{h^2}\right)^{3/2} \tag{9}$$

Burada $m_n^*$, elektronun durum yoğunluğu etkin kütlesidir (density-of-states effective mass).

Böylece, iletim bandındaki termal denge elektron konsantrasyonu

$$n_0 = N_c \exp\left(-\frac{E_c - E_F}{kT}\right) \tag{10}$$

şeklinde ifade edilebilir.

$N_c$ parametresine iletim bandındaki etkin durum yoğunluğu (effective density of states in the conduction band) adı verilir.

Eğer

$$m_n^* = m_0$$

varsayılırsa, $T = 300,\text{K}$ sıcaklığında etkin durum yoğunluğunun değeri yaklaşık olarak

$$N_c = 2.5 \times 10^{19}\ \text{cm}^{-3}$$

olur. Bu değer, çoğu yarı iletken için $N_c$'nin mertebesiyle aynıdır.

Elektronun etkin kütlesi $m_0$'dan daha büyük veya daha küçük olduğunda, etkin durum yoğunluğunun değeri de buna bağlı olarak değişir. Ancak yine de aynı mertebede kalır. Buradaki en temel sonuç $E_F$ $E_c$'ye yaklaştıkça iletim bandındaki elektron konsantrasyonu üstel olarak artar.

1.4 Termal Dengede Hol Konsantrasyonları

Benzer biçimde; hollerin termal dengedeki konsantrasyonunu ifade eden denklemi, 2 numaralı denklemin tüm valans bandı enerjisi üzerinden integralini alarak buluruz:

$$p_0 = \int g_v(E),[1 - f_F(E)], dE \tag{11}$$

Köşeli parantez içerisindeki ifade, valans bandındaki durumlar ($E < E_v$) için

$$1 - f_F(E) = \frac{1}{1 + \exp\left(\frac{E_F - E}{kT}\right)}$$

formunda yazılabilir. Eğer;

$$E_F - E_v \gg kT$$

ise,

$$E_F - E \gg kT$$

olacaktır. Bu durumda Fermi olasılık fonksiyonu, Boltzmann yaklaşımının biraz farklı bir formuna indirgenir:

$$1 - f_F(E) \approx \exp\left(\frac{-(E_F - E)}{kT}\right) \tag{12}$$

Bu yaklaşım ile elde ettiğimiz ifadenin Denklem (11)'e uygulanması sonucunda termal dengedeki valans bandı hol yoğunluğu aşağıdaki biçimde yeniden yazılır:

$$p_0 = \int_{-\infty}^{E_v} \frac{4\pi(2m_p^*)^{3/2}}{h^3},\sqrt{E_v - E}, \exp\left(\frac{-(E_F - E)}{kT}\right) dE \tag{13}$$

Şekil 2a'da gösterildiği üzere Fermi olasılık fonksiyonu holler için enerji azaldıkça sıfıra yaklaşmaktadır. Bu sayede, Denklem (13)'teki integral alt sınırını negatif sonsuz olarak almak denklemin geçerliliğini bozmaz.

Denklem (13)'teki integrali de benzer bir değişken dönüşümü yardımıyla basitleştirebiliriz. Şöyle tanımlayalım:

$$\eta' = \frac{E_v - E}{kT}$$

Bu durumda Denklem (13),

$$p_0 = \frac{-4\pi(2m_p^* kT)^{3/2}}{h^3} \exp\left(\frac{-(E_F - E_v)}{kT}\right) \int_{+\infty}^{0} (\eta')^{1/2} \exp(-\eta'), d\eta' \tag{14}$$

Değişken dönüşümümüzde enerji $E$'nin negatif olduğuna dikkat edelim. Böylece integralin alt sınırı pozitif yazılmalıdır. Yine Gamma fonksiyonunu kullanarak $p_0$:

$$p_0 = 2\left(\frac{2\pi m_p^* kT}{h^2}\right)^{3/2} \exp\left(\frac{-(E_F - E_v)}{kT}\right) \tag{15}$$

şeklinde yeniden düzenlenir. Burada $m_p^*$ holün durum yoğunluğu etkin kütlesidir (DoS effective mass of the hole). Valans bandındaki etkin durum yoğunluğu'nu (effective density-of-states in the valence band) temsilen $N_v$ parametresini şöyle tanımlayabiliriz:

$$N_v = 2\left(\frac{2\pi m_p^* kT}{h^2}\right)^{3/2} \tag{16}$$

Böylece, valans bandındaki termal denge hol konsantrasyonu

$$p_0 = N_v \exp\left(-\frac{E_F - E_v}{kT}\right) \tag{17}$$

biçiminde ifade edilebilir.

$T = 300,\text{K}$ sıcaklığındaki çoğu yarı iletken için $N_v$ de $10^{19},cm^{-3}$ mertebesinde değerler almaktadır.

Etkin durum yoğunluğu fonksiyonları olan $N_c$ ve $N_v$, sabit sıcaklıkta belirli yarı iletken malzemeler için sabit değerler alırlar. Farklı sıcaklık değerleri için bu değerlerin yer aldığı tablolar kullanılmaktadır.

1.5 Öz Yük Taşıyıcı Konsantrasyonu (The Intrinsic Carrier Concentration)

Daha önce de değindiğimiz gibi; öz yarı iletkenler, katkı (doping) atomu ve kristal kusuru içermeyen saf yarı iletkenlerdir. Bu özelliklerinden dolayı, öz yarı iletkenlerde iletim bandındaki elektron yoğunluğu ile valans bandındaki hol yoğunluğu birbirine eşittir. Böylece bir öz yarı iletkendeki yük taşıyıcı konsantrasyonlarının eşitliğini şu şekilde tanımlayabiliriz:

$$n_i = p_i \tag{18}$$

Bu eşitliği göz önünde bulundurarak basitlik sağlamak amacıyla $n_i$'yi öz yük taşıyıcı konsantrasyonu olarak anacağız, yani $p_i$ yerine de $n_i$ gösterimini tercih edeceğiz.

Öz yarı iletkenler için Fermi enerjisi seviyesi $E_F = E_{Fi}$ şeklinde ifade edilir. Denklem (10)'u ve Denklem (17)'yi kullanarak:

$$n_0 = n_i = N_c \exp\left(\frac{-(E_c - E_{Fi})}{kT}\right) \tag{19}$$

ve

$$p_0 = p_i = n_i = N_v \exp\left(\frac{-(E_{Fi} - E_v)}{kT}\right) \tag{20}$$

yazabiliriz. Denklem (19) ve (20)'yi çarparak

$$n_i^2 = N_c N_v \exp\left(\frac{-(E_c - E_v)}{kT}\right) = N_c N_v \exp\left(\frac{-E_g}{kT}\right) \tag{21}$$

eşitliğini elde ederiz. Burada $E_g$: Bant aralığı enerjisi. Denklem (21)'den çıkarılacak en önemli sonuç, yük taşıyıcı konsantrasyonu $n_i$'nin sabit sıcaklıktaki belirli bir yarı iletken için Fermi enerjisinden bağımsız bir sabit olmasıdır. Bunun yanı sıra, denklem bize yük taşıyıcı konsantrasyonunun sıcaklığa oldukça bağımlı olduğunu gösterir. Bu sıcaklık ilişkisi Ge, Si ve GaAs için Şekil(3)'te gösterilmiştir.

1.6 Öz Fermi-Seviyesi Pozisyonu (The Intrinsic Fermi-Level Position)

Fermi seviyesinin konumu yük taşıyıcıların etkin kütleleriyle yakından ilişkilidir. Şimdi, öz yarı iletkenler için bu ilişkiyi inceleyelim.

Bir öz yarı iletkende elektron konsantrasyonuyla hol konsantrasyonunun birbirine eşit olmak zorunda olduğunu görmüştük. Böylece Denklem (19) ve (20)'yi birbirine eşitleyebiliriz:

$$N_c \exp\left(\frac{-(E_c - E_{Fi})}{kT}\right) = N_v \exp\left(\frac{-(E_{Fi} - E_v)}{kT}\right) \tag{22}$$

Denklem (22)'de her tarafın doğal logaritmasını alıp denklemi $E_{Fi}$ için çözdüğümüzde

$$E_{Fi} = \frac{1}{2}(E_c + E_v) + \frac{1}{2}kT \ln\left(\frac{N_v}{N_c}\right) \tag{23}$$

eşitliğini elde ederiz. Son olarak; sırasıyla Denklem (9) ve (16)'da tanımladığımız $N_c$ ve $N_v$ ifadelerini kullanabiliriz, ayrıca yasak bölge orta enerjisini (midgap energy) tanım gereği $\frac{1}{2}(E_c + E_v) = E_{midgap}$ şeklinde yeniden yazabiliriz:

$$E_{Fi} = E_{midgap} + \frac{3}{4}kT \ln\left(\frac{m_p^*}{m_n^*}\right)$$

veya

$$E_{Fi} - E_{midgap} = \frac{3}{4}kT \ln\left(\frac{m_p^*}{m_n^*}\right) \tag{24}$$

Denklem (24)'ten çıkarmamız gereken sonuçlar:

• Fermi seviyesi; $m_p^* > m_n^*$ olduğunda bant aralığı merkezinin yukarısına, $m_p^* < m_n^*$ olduğunda ise merkezin aşağısına kayar. Bir diğer deyişle, Fermi seviyesi daha yüksek durum yoğunluğuna sahip banttan uzağa kayarak durum yoğunluğu dengesini korumaktadır. Bunun nedeni, bir öz yarı iletkende elektron ve hol sayılarının eşit kalma zorunluluğudur.
• Yük taşıyıcıların etkin kütleleri birbirine eşit olduğunda Fermi seviyesi bant aralığının tam ortasına denk gelmektedir.

Bu yazımızda, denge durumundaki öz yarı iletkenlerin yük taşıyıcı konsantrasyonlarını nasıl belirleyeceğimizi öğrendik. Ayrıca, Fermi enerjisi seviyesinin etkin kütle parametresiyle ilişkisini inceledik. Bir sonraki yazımızda yarı iletken teknolojilerinde yaygın kullanım alanına sahip katkılı yarı iletkenleri (extrinsic semiconductors) ele alarak bilgimizi derinleştireceğiz.

Kaynakça

• Semiconductor Physics And Devices by Donald A. Neamen Third Edition
• The Oxford Solid State Basics by Steven H. Simon
• https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/semiconductors/index.php