Kozmolojiye Giriş ve Kozmik Mikrodalga Arka Plan: Bölüm: 2

1 Kızıla Kayma

Önceki bölümde evrenin genişlemesini fiziksel mesafe ve comoving mesafe kavramları üzerinden ele aldık. İki comoving galaksinin koordinatları değişmese bile aralarındaki fiziksel mesafenin ölçek faktörü $a(t)$ nedeniyle zamanla artabileceğini gördük. Ancak burada önemli bir soruyu açık bırakmıştık:

Biz evrenin genişlediğini gözlemsel olarak nereden biliyoruz?

Uzak galaksiler arasındaki mesafeyi doğrudan bir cetvelle ölçemediğimize göre, bu cisimler hakkında sahip olduğumuz bilgiyi büyük ölçüde bize ulaşan ışık üzerinden elde ederiz. Bu nedenle evrenin genişlemesinin ışık üzerinde nasıl bir etki bıraktığını anlamamız gerekir.

Öncelikle dalga boyunun ne olduğunu hatırlayalım.

Bir elektromanyetik dalgada ardışık iki tepe arasındaki uzaklığa dalga boyu denir ve $\lambda$ ile gösterilir. Işık için dalga boyu ile frekans arasındaki ilişki

$$c = \lambda\nu \tag{1}$$

şeklindedir. Burada $c$ ışık hızı, $\lambda$ dalga boyu ve $\nu$ frekanstır.

Işığın yerel hızı $c$ sabit olduğuna göre, dalga boyu arttığında frekans azalmak zorundadır. Şimdi bir ışık dalgasının kaynaktan çıktığı andaki dalga boyuna $\lambda_e$ ile, gözlemciye ulaştığında ölçülen dalga boyunu ise $\lambda_o$ ile gösterelim. Eğer gözlenen dalga boyu yayıldığı andaki dalga boyundan daha büyükse,

$$\lambda_o > \lambda_e, \tag{2}$$

ışığın dalga boyunun daha uzun değerlere doğru kaydığını söyleriz. Görünür ışık tayfında daha uzun dalga boyları kırmızı bölgeye karşılık geldiği için bu olaya kızıla kayma denir.

Kızıla kayma miktarı $z$ parametresi ile tanımlanır:

$$z = \frac{\lambda_o - \lambda_e}{\lambda_e} \tag{3}$$

Bu ifadeyi yeniden düzenlersek,

$$z = \frac{\lambda_o}{\lambda_e} - 1 \quad \Rightarrow \quad 1 + z = \frac{\lambda_o}{\lambda_e} \tag{4}$$

elde edilir.

Buradaki fiziksel anlam oldukça açıktır. Eğer

$$z > 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_o > \lambda_e, \tag{5}$$

yani ışık bize ulaştığında dalga boyu büyümüştür ve ışık kızıla kaymıştır.

Örneğin $z = 1$ olduğunu düşünelim. Bu durumda

$$1 + z = 2 \tag{6}$$

olacağından,

$$\lambda_o = 2\lambda_e \tag{7}$$

bulunur. Yani gözlemlediğimiz dalga boyu, ışığın yayıldığı andaki dalga boyunun iki katıdır.

Buraya kadar kızıla kaymayı yalnızca dalga boyunun değişimi üzerinden tanımladık. Peki neden evrenin genişlemesi bir fotonun dalga boyunu neden değiştirsin

Eğer genişleyen evrenin ölçeğini $a(t)$ ile tanımlıyorsak, dalga boyunun da bu ölçek faktörüyle nasıl ilişkili olduğunu göstermemiz gerekir. Başka bir ifadeyle, evren genişledikçe comoving gözlemcilerin ölçtüğü fotonun fiziksel dalga boyu da ölçek faktörüyle birlikte büyür.

Ancak bu noktada yalnızca "evren genişlediği için dalga boyu da genişler" demek yeterli değildir. Bu ilişkinin genişleyen bir uzay-zaman geometrisi içerisinde gerçekten nasıl ortaya çıktığını göstermemiz gerekir.

Evrenin genişlemesinin dalga boyunu değiştirdiğini gördük ve bu değişimi kırmızıya kayma parametresi $z$ cinsinden tanımladık. Bu bölümde, genel görelilik çerçevesinde genişleyen bir evrende hareket eden bir fotonun frekansının neden

$$\omega \propto \frac{1}{a(t)} \tag{8}$$

şeklinde değiştiğini sıfırdan göstereceğiz. Ardından frekans ile dalga boyu arasındaki ilişkiyi kullanarak $\lambda \propto a(t)$ sonucunu yeniden elde edeceğiz. Bu nedenle işe uzay-zaman koordinatlarından başlayalım.

1.1 Uzay-zaman koordinatları

Özel ve genel görelilikte bir olay dört koordinatla gösterilir:

$$x^\mu = \left(x^0, x^1, x^2, x^3\right). \tag{9}$$

[!note] Notasyon Yunan indisleri $\mu, \nu, \alpha, \beta = 0, 1, 2, 3$ değerlerini alır. Sıfırıncı bileşen zamansal, diğer üç bileşen uzaysaldır.

Bu bölümde doğal birimler kullanılmayacak ve ışık hızı $c$ açık biçimde korunacaktır. Bu nedenle zaman koordinatını $x^0 = ct$ olarak seçeriz. Dört-konum böylece

$$x^\mu = (ct, x, y, z) \tag{10}$$

biçiminde yazılır.

Bu seçim sayesinde $ct$, $x$, $y$ ve $z$ bileşenlerinin tamamı uzunluk birimine sahip olur.

1.2 Metrik ve uzay-zaman aralığı

Koordinatları tanımladık. Peki iki yakın olay arasındaki fiziksel ayrımı nasıl ölçeceğiz? Genel görelilikte bu işi metrik tensörü yapar.

[!info] Tanım İki yakın olay arasındaki uzay-zaman aralığı ds^2 = g_{\mu\nu},dx^\mu dx^\nu \tag{11} ile tanımlanır. Buradaki $g_{\mu\nu}$ nesnesine metrik tensörü denir.

Bu çalışmada metrik imzasını $(-,+,+,+)$ olarak seçeceğiz. Düz Minkowski uzay-zamanında metrik

$$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \tag{12}$$

biçimindedir. Dolayısıyla uzay-zaman aralığı

$$ds^2 = -(dx^0)^2 + (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + (dx^3)^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \tag{13}$$

olur.

Ancak üzerinde çalıştığımız evren statik bir Minkowski uzay-zamanı değildir. Evren genişlediği için uzaysal uzaklıkların zamanla değişmesine izin veren FLRW metriğini kullanmamız gerekir.

1.3 FLRW metriği

Homojen ve izotropik bir evrenin uzay-zaman geometrisi FLRW metriğiyle tanımlanır:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + a^2(t),\gamma_{ij},dx^i dx^j. \tag{14}$$

[!note] Notasyon Latin indisleri $i, j = 1, 2, 3$ yalnızca uzaysal bileşenleri gösterir.

[!info] Tanım $a(t)$ fonksiyonuna ölçek faktörü denir. Bu fonksiyon, evrendeki fiziksel uzaklıkların kozmik zamanla nasıl değiştiğini gösterir.

[!info] Tanım $\gamma_{ij}$, sabit bir kozmik zaman kesitinin uzaysal geometrisini tanımlayan zamandan bağımsız metriktir.

Uzaysal olarak düz bir evrende $\gamma_{ij} = \delta_{ij}$ alınır. Bu durumda $\gamma_{ij}dx^idx^j = dx^2 + dy^2 + dz^2$ olur ve FLRW metriği

$$ds^2 = -c^2dt^2 + a^2(t)\left(dx^2 + dy^2 + dz^2\right) \tag{15}$$

şeklini alır.

$x^0 = ct$ kullandığımız için $dx^0 = c,dt$ yazabiliriz. Böylece metrik bileşenleri

$$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & a^2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & a^2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & a^2 \end{pmatrix} \tag{16}$$

ve ters metrik bileşenleri

$$g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & a^{-2} & 0 & 0 \ 0 & 0 & a^{-2} & 0 \ 0 & 0 & 0 & a^{-2} \end{pmatrix} \tag{17}$$

olarak yazılır.

[!info] Tanım Ters metrik, $g^{\mu\alpha}g_{\alpha\nu} = \delta^\mu{}_\nu$ koşulunu sağlayan tensördür. Örneğin $g^{11}g_{11} = a^{-2}a^2 = 1$ olur.

1.4 Comoving gözlemci ve öz-zaman

Uzaysal metriği tanımladık. Ancak uzaysal metrik pekçok farklı gözlemci tarafından değerlendirilebilir. Bu noktada genişleyen evrende hangi gözlemciyi kullanacağımız önem arz eder.

FLRW koordinatları evrenin genişlemesiyle birlikte hareket eden bir koordinat ağı olarak düşünülebilir. Bu koordinat ağı üzerinde sabit konumda kalan gözlemcilere comoving gözlemci denir.

[!info] Tanım Comoving gözlemcinin uzaysal koordinatları sabittir: x^i = \text{sabit}. \tag{18} Bu nedenle $dx^i = 0$ ve $dx^i/d\tau = 0$ olur.

Burada "sabit koordinat" ifadesi gözlemcinin diğer uzak galaksilere olan fiziksel uzaklığının sabit olduğu anlamına gelmez. İki comoving nokta arasındaki fiziksel uzaklık yaklaşık olarak $d_{\text{phys}}(t) = a(t),d_{\text{com}}$ biçiminde değişir. Koordinat uzaklığı sabit kalırken fiziksel uzaklık ölçek faktörü nedeniyle büyür.

Uzaysal kısım bu şekilde tanımlanır ancak her gözlemci bir cetvel taşıdığı gibi bir de saat taşır. Peki bu gözlemcinin kendi saati ne ölçer?

[!info] Tanım Bir gözlemcinin yanında taşıdığı ideal saatin ölçtüğü zamana öz-zaman denir ve $\tau$ ile gösterilir.

Zaman-benzeri bir dünya çizgisi boyunca

$$ds^2 = -c^2d\tau^2 \tag{19}$$

yazılır.

Comoving gözlemci için $dx^i = 0$ olduğundan FLRW metriği $ds^2 = -c^2dt^2$ biçimine indirgenir. Bunu öz-zaman tanımıyla karşılaştırırsak

$$-c^2d\tau^2 = -c^2dt^2 \tag{20}$$

ve dolayısıyla, zamanın ileri yönünü seçerek,

$$d\tau = dt \tag{21}$$

sonucunu buluruz.

Bu sonucun fiziksel anlamı şudur: comoving gözlemcinin cebinde taşıdığı saatin ölçtüğü öz-zaman, FLRW metriğindeki kozmik zaman $t$ ile aynıdır.

1.5 Comoving gözlemcinin dört-hızı

Gözlemcinin zamanını belirledik. Şimdi onun uzay-zamanda hangi yönde hareket ettiğini dört-hız aracılığıyla ifade edebiliriz.

[!info] Tanım Bir gözlemcinin dört-hızı u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} \tag{22} olarak tanımlanır.

$x^\mu = (ct, x, y, z)$ olduğundan

$$u^\mu = \left(\frac{d(ct)}{d\tau}, \frac{dx}{d\tau}, \frac{dy}{d\tau}, \frac{dz}{d\tau}\right). \tag{23}$$

Comoving gözlemci için $dt = d\tau$ ve $dx^i = 0$ olduğundan $u^0 = c,dt/d\tau = c$ ve $u^i = 0$ elde edilir. Dolayısıyla

$$u^\mu = (c, 0, 0, 0) \tag{24}$$

olur.

Şimdi üst indisli bu vektörün alt indisli biçimini bulalım.

[!info] Tanım Bir vektörün indisi metrik kullanılarak indirilir: $u_\mu = g_{\mu\nu}u^\nu$.

Sıfırıncı bileşen açıkça

$$u_0 = g_{00}u^0 + g_{01}u^1 + g_{02}u^2 + g_{03}u^3 = (-1)c = -c \tag{25}$$

olur. Metrik köşegen olduğu ve uzaysal dört-hız bileşenleri sıfır olduğu için $u_1 = u_2 = u_3 = 0$ bulunur. Böylece

$$u_\mu = (-c, 0, 0, 0) \tag{26}$$

elde edilir.

1.6 Elektromanyetik dalga ve faz

Gözlemciyi ve temel matematiksel nesneleri tanımlamamızın ardından esas probleme dönmemiz gereklidir. Bu gözlemcinin ne ölçümü yapacağını hatırlayalım. Biz fotonlarla çalışıyoruz bu sebeple, yalnız gözlemci ve metriği tanımlamak yeterli değildir. Dalgalar söz konusu olduğundan elektromanyetik dalgalar ile çalışmamız gereklidir. Bu gözlemcinin ölçüm yapacağı elektromanyetik dalgayı ölçer.

Geometrik optik yaklaşımında bir elektromanyetik dalga genel olarak

$$\Psi(x) = A(x),e^{i\Phi(x)} \tag{27}$$

biçiminde yazılır. Burada, $A(x)$ dalganın genliğini, $\Phi(x)$ ise dalganın fazını gösterir.

Faz, dalganın salınım döngüsünün hangi noktasında bulunduğumuzu söyler. Örneğin düz uzay-zamanda ilerleyen düzlemsel bir dalganın fazı

$$\Phi(x) = \mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t \tag{28}$$

şeklinde yazılabilir. Açık biçimde $\Phi = k_x x + k_y y + k_z z - \omega t$ olur.

$x^0 = ct$ olduğuna göre $t = x^0/c$ yazabiliriz. Böylece

$$\Phi = k_x x + k_y y + k_z z - \frac{\omega}{c}x^0 \tag{29}$$

elde edilir.

Peki uzay-zamanda küçük bir miktar ilerlediğimizde fazın ne kadar değiştiğini nasıl ifade ederiz? Bir skaler alanın toplam diferansiyeli

$$d\Phi = \partial_\mu\Phi,dx^\mu \tag{30}$$

şeklindedir. Açık biçimde bu ifade

$$d\Phi = \frac{\partial\Phi}{\partial x^0}dx^0 + \frac{\partial\Phi}{\partial x^1}dx^1 + \frac{\partial\Phi}{\partial x^2}dx^2 + \frac{\partial\Phi}{\partial x^3}dx^3 \tag{31}$$

olarak yazılır.

1.7 Dört-dalga kovektörü

Fazın uzay-zamandaki değişimini tek bir geometrik nesneyle göstermek için dört-dalga kovektörünü tanımlarız.

[!info] Tanım Dört-dalga kovektörü k_\mu = \partial_\mu\Phi \tag{32} olarak tanımlanır. Buna göre fazın diferansiyeli kısaca $d\Phi = k_\mu dx^\mu$ olur.

Bu tanımın fiziksel anlamı şudur: $k_\mu$, uzay-zamanda seçilen küçük bir hareketin dalganın fazını ne kadar değiştireceğini belirler.

Şimdi bileşenleri tek tek hesaplayalım. Fazımız

$$\Phi = k_x x + k_y y + k_z z - \frac{\omega}{c}x^0 \tag{33}$$

olduğundan

$$k_0 = \frac{\partial\Phi}{\partial x^0} = -\frac{\omega}{c}, \qquad k_1 = \frac{\partial\Phi}{\partial x} = k_x, \qquad k_2 = k_y, \qquad k_3 = k_z. \tag{34}$$

Dolayısıyla

$$k_\mu = \left(-\frac{\omega}{c}, k_x, k_y, k_z\right) \tag{35}$$

olur.

Zamansal bileşen frekans bilgisini, uzaysal bileşenler ise dalganın yayılma yönünü ve dalga boyunu içerir. Uzaysal dalga vektörünün büyüklüğü $|\mathbf{k}| = 2\pi/\lambda$ ile verilir.

Şimdi kovektörün indisini kaldıralım.

[!info] Tanım Bir kovektörün indisi ters metrikle kaldırılır: $k^\mu = g^{\mu\nu}k_\nu$.

Sıfırıncı bileşen

$$k^0 = g^{00}k_0 = (-1)\left(-\frac{\omega}{c}\right) = \frac{\omega}{c} \tag{36}$$

olur.

Uzaysal bileşenler ise

$$k^1 = \frac{k_1}{a^2}, \qquad k^2 = \frac{k_2}{a^2}, \qquad k^3 = \frac{k_3}{a^2} \tag{37}$$

şeklindedir. Dolayısıyla

$$k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, \frac{k_1}{a^2}, \frac{k_2}{a^2}, \frac{k_3}{a^2}\right) \tag{38}$$

elde edilir.

Burada $k_i$ ile $k^i$ bileşenlerinin aynı olmadığına dikkat edilmelidir. Uzaysal indis kaldırılırken $a^{-2}(t)$ çarpanı ortaya çıkar.

1.8 Fotonun dört-momentumu

Dalganın geometrik tanımını yaptık. Peki bu dalga kuantum mekaniğinde bir foton olarak yorumlandığında ne değişir?

Bir fotonun enerjisi $\omega = 2\pi\nu$ ve $\hbar = h/(2\pi)$ olduğundan

$$E = h\nu = h\frac{\omega}{2\pi} = \frac{h}{2\pi}\omega = \hbar\omega \tag{39}$$

elde edilir.

Fotonun uzaysal momentumu ile dalga vektörü arasındaki ilişki $\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}$ şeklindedir. Enerji ve momentum ilişkileri dört-boyutlu olarak

$$p^\mu = \hbar k^\mu \tag{40}$$

biçiminde birleştirilir. Benzer biçimde $p_\mu = \hbar k_\mu$ olur.

Sıfırıncı bileşen için $k^0 = \omega/c$ olduğundan

$$p^0 = \hbar k^0 = \frac{\hbar\omega}{c} = \frac{E}{c} \tag{41}$$

elde edilir.

1.9 Gözlemcinin ölçtüğü frekans

Fotonu ve gözlemciyi ayrı ayrı tanımladık. Şimdi bu gözlemcinin fotonun frekansını nasıl ölçtüğünü belirleyebiliriz.

Gözlemci kendi dünya çizgisi boyunca ilerlerken dalganın fazının ne kadar hızlı değiştiğini ölçer. Zincir kuralına göre

$$\frac{d\Phi}{d\tau} = \frac{\partial\Phi}{\partial x^\mu}\frac{dx^\mu}{d\tau} = k_\mu u^\mu. \tag{42}$$

Seçtiğimiz faz konvansiyonunda $\Phi = \mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t$ olduğundan ileri zamanda fazın zamansal kısmı azalır. Ölçülen frekansın pozitif olması için

$$\omega_{\text{obs}} = -k_\mu u^\mu \tag{43}$$

tanımı kullanılır.

Bu formülün fiziksel anlamı son derece önemlidir: bir gözlemcinin ölçtüğü frekans, dalga fazının o gözlemcinin kendi saati boyunca ne kadar hızlı değiştiğidir.

Comoving gözlemci için $u^\mu = (c, 0, 0, 0)$ olduğundan

$$\omega_{\text{obs}} = -\left(k_0u^0 + k_1u^1 + k_2u^2 + k_3u^3\right) = -c,k_0. \tag{44}$$

$k_0 = -\omega/c$ kullanılırsa $\omega_{\text{obs}} = \omega$ bulunur. Ayrıca $k^0 = \omega/c$ olduğundan

$$\omega_{\text{obs}} = c,k^0 \tag{45}$$

yazabiliriz.

Burada ölçülen frekans tek bir sayıdır; yani bir skalerdir. Ancak bu sayı yalnızca fotona değil, hem fotonun $k^\mu$ vektörüne hem de gözlemcinin $u^\mu$ dört-hızına bağlıdır. Bu nedenle farklı gözlemciler aynı foton için farklı frekanslar ölçebilir.

1.10 Null yörünge ve afin parametre

Frekansı ölçtük. Ancak foton hareket halindedir bu sebeple fotonun uzay-zamandaki hareketini hangi denklem belirleneceği önem kazanır.

Fotonun durgun kütlesi sıfırdır. Genel enerji-momentum ilişkisi $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ olduğundan foton için $E = pc$ elde edilir.

Dört-momentumun normu $p_\mu p^\mu = -m^2c^2$ olduğundan, $m = 0$ için

$$p_\mu p^\mu = 0 \tag{46}$$

olur. $p^\mu = \hbar k^\mu$ kullanılırsa

$$k_\mu k^\mu = 0 \tag{47}$$

sonucu elde edilir.

[!info] Tanım Normu sıfır olan vektörlere null veya ışık-benzeri vektör denir.

Fotonun izlediği dünya çizgisi de bu nedenle null bir eğridir. Null bir eğri boyunca $ds^2 = 0$ olur.

Kütleli bir parçacığın yörüngesi öz-zaman $\tau$ ile parametrize edilebilir. Ancak foton için $ds^2 = -c^2d\tau^2 = 0$ olduğundan $d\tau = 0$ olur. Bu nedenle fotonun yörüngesini kendi öz-zamanıyla parametrize edemeyiz.

Peki onun yerine ne kullanacağız?

[!info] Tanım Fotonun yörüngesi üzerindeki noktaları sıralamak için kullanılan uygun parametreye afin parametre denir ve genellikle $\lambda_{\text{aff}}$ ile gösterilir.

Burada dalga boyu ile karışmaması için afin parametreyi $\lambda_{\text{aff}}$, fiziksel dalga boyunu ise $\lambda_{\text{phys}}$ ile göstereceğiz.

Fotonun yörüngesi $x^\mu = x^\mu(\lambda_{\text{aff}})$ olarak yazılır ve teğet vektör

$$k^\mu = \frac{dx^\mu}{d\lambda_{\text{aff}}} \tag{48}$$

şeklinde tanımlanır.

Sıfırıncı bileşen için

$$k^0 = \frac{dx^0}{d\lambda_{\text{aff}}} = c\frac{dt}{d\lambda_{\text{aff}}} \tag{49}$$

ve dolayısıyla

$$\frac{dt}{d\lambda_{\text{aff}}} = \frac{k^0}{c} \tag{50}$$

elde edilir.

Afin parametre seçildiğinde fotonun geodezik denklemi

$$\frac{dk^\mu}{d\lambda_{\text{aff}}} + \Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}k^\alpha k^\beta = 0 \tag{51}$$

şeklinde yazılır.

1.11 FLRW metriğinde null koşulu

Geodezik denklemine geçmeden önce null koşulunu FLRW metriğinde açıkça yazalım:

$$g_{\mu\nu}k^\mu k^\nu = 0. \tag{52}$$

FLRW metriğinde $g_{00} = -1$ ve $g_{ij} = a^2(t)\gamma_{ij}$ olduğundan

$$-(k^0)^2 + a^2(t),\gamma_{ij}k^ik^j = 0 \tag{53}$$

elde edilir. Buradan

$$\gamma_{ij}k^ik^j = \frac{(k^0)^2}{a^2(t)} \tag{54}$$

sonucu çıkar.

Bu denklem fotonun zamansal ve uzaysal dalga-vektörü bileşenlerini birbirine bağlar. Ancak $k^0$ bileşeninin zamanla nasıl değiştiğini tek başına söylemez. Bunun için geodezik denklemine ihtiyacımız vardır.

1.12 Christoffel sembolleri

Geodezik denkleminde görünen $\Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}$ nesneleri nereden gelir?

[!info] Tanım Christoffel sembolleri \Gamma^\mu{}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\nu}\left(\partial_\alpha g_{\nu\beta} + \partial_\beta g_{\nu\alpha} - \partial_\nu g_{\alpha\beta}\right) \tag{55} ile tanımlanır.

Christoffel sembolleri metrik bileşenlerinin koordinatlara göre nasıl değiştiğini gösterir.

Biz frekansla ilişkili $k^0$ bileşenini aradığımız için geodezik denkleminin $\mu = 0$ bileşenine bakacağız:

$$\frac{dk^0}{d\lambda_{\text{aff}}} + \Gamma^0{}_{\alpha\beta}k^\alpha k^\beta = 0. \tag{56}$$

Bu toplamda $\Gamma^0{}_{00}$, $\Gamma^0{}_{0i}$ ve $\Gamma^0{}_{ij}$ türündeki terimler bulunabilir. Önce zamansal terimlerin gerçekten sıfır olduğunu görelim.

$\Gamma^0{}_{00}$ için

$$\Gamma^0{}_{00} = \frac{1}{2}g^{00}\left(\partial_0g_{00} + \partial_0g_{00} - \partial_0g_{00}\right) = \frac{1}{2}g^{00}\partial_0g_{00}. \tag{57}$$

FLRW metriğinde $g_{00} = -1$ sabit olduğu için $\partial_0g_{00} = 0$ ve dolayısıyla

$$\Gamma^0{}_{00} = 0 \tag{58}$$

olur.

Peki bir zamansal ve bir uzaysal indis taşıyan $\Gamma^0{}_{0i}$ terimi katkı verir mi?

$$\Gamma^0{}_{0i} = \frac{1}{2}g^{00}\left(\partial_0g_{0i} + \partial_ig_{00} - \partial_0g_{0i}\right). \tag{59}$$

FLRW metriğinde $g_{0i} = 0$ ve $g_{00} = -1$ sabit olduğundan bütün türevler sıfırdır. Böylece

$$\Gamma^0{}_{0i} = 0 \tag{60}$$

elde edilir.

Zamansal terimlerden katkı gelmedi. O hâlde geriye yalnızca uzaysal metrik bileşenlerinin zamanla değişmesinden doğan $\Gamma^0{}_{ij}$ terimi kalır:

$$\Gamma^0{}_{ij} = \frac{1}{2}g^{00}\left(\partial_ig_{0j} + \partial_jg_{0i} - \partial_0g_{ij}\right). \tag{61}$$

$g_{0i} = 0$ ve $g^{00} = -1$ olduğundan

$$\Gamma^0{}_{ij} = \frac{1}{2}\partial_0g_{ij} \tag{62}$$

olur.

Uzaysal metrik $g_{ij} = a^2(t)\gamma_{ij}$ biçimindedir. Burada $\partial_0$, $x^0 = ct$ koordinatına göre türevdir. Dolayısıyla

$$\partial_0 = \frac{\partial}{\partial x^0} = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}. \tag{63}$$

Böylece

$$\partial_0g_{ij} = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\left(a^2\gamma_{ij}\right) = \frac{2a\dot{a}}{c}\gamma_{ij}. \tag{64}$$

Sonuç olarak

$$\Gamma^0{}_{ij} = \frac{a\dot{a}}{c}\gamma_{ij} \tag{65}$$

elde edilir. Bu sonuç fiizksel olarak çok önemlidir çünkü fotonun zamansal dalga-vektörü bileşeninin değişmesine neden olan şey, uzaysal metriğin $a(t)$ nedeniyle zamanla değişmesidir.

Artık gerekli bütün parçaları elde ettik. Geodezik denkleminin zaman bileşeni

$$\frac{dk^0}{d\lambda_{\text{aff}}} + \Gamma^0{}_{\alpha\beta}k^\alpha k^\beta = 0 \tag{66}$$

idi.

$\Gamma^0{}_{00} = 0$ ve $\Gamma^0{}_{0i} = 0$ olduğundan yalnızca uzaysal terim kalır:

$$\frac{dk^0}{d\lambda_{\text{aff}}} + \Gamma^0{}_{ij}k^ik^j = 0. \tag{67}$$

$\Gamma^0{}_{ij} = (a\dot{a}/c)\gamma_{ij}$ kullanılırsa

$$\frac{dk^0}{d\lambda_{\text{aff}}} + \frac{a\dot{a}}{c}\gamma_{ij}k^ik^j = 0 \tag{68}$$

elde edilir.

Null koşulundan $\gamma_{ij}k^ik^j = (k^0)^2/a^2$ bulmuştuk. Bunu yerine koyarsak

$$\frac{dk^0}{d\lambda_{\text{aff}}} + \frac{\dot{a}}{ac}(k^0)^2 = 0 \tag{69}$$

olur.

[!info] Tanım Hubble parametresi $H(t) = \dot{a}/a$ olarak tanımlanır.

Bu nedenle denklem

$$\frac{dk^0}{d\lambda_{\text{aff}}} + \frac{H}{c}(k^0)^2 = 0 \tag{70}$$

şeklinde yazılabilir.

Peki afin parametreye göre yazılmış bu denklemi kozmik zamana nasıl dönüştüreceğiz? Daha önce

$$\frac{dt}{d\lambda_{\text{aff}}} = \frac{k^0}{c} \tag{71}$$

bulmuştuk. Zincir kuralına göre

$$\frac{dk^0}{d\lambda_{\text{aff}}} = \frac{dk^0}{dt}\frac{dt}{d\lambda_{\text{aff}}} = \frac{k^0}{c}\frac{dk^0}{dt}. \tag{72}$$

Bunu geodezik denklemine yerleştirirsek

$$\frac{k^0}{c}\frac{dk^0}{dt} + \frac{H}{c}(k^0)^2 = 0 \tag{73}$$

elde edilir.

Denklemi $k^0/c$ ile sadeleştirince

$$\frac{dk^0}{dt} + Hk^0 = 0 \tag{74}$$

bulunur.

$H = \dot{a}/a$ kullanılırsa

$$\frac{1}{k^0}\frac{dk^0}{dt} = -\frac{\dot{a}}{a} \tag{75}$$

elde edilir. Bu ifade

$$\frac{d}{dt}\ln k^0 = -\frac{d}{dt}\ln a \tag{76}$$

şeklinde yazılabilir.

Her iki tarafın zamana göre integrali alınırsa $\ln k^0 = -\ln a + C$ bulunur. Dolayısıyla

$$k^0 = \frac{C'}{a(t)} \tag{77}$$

ve sonuç olarak

$$k^0 \propto \frac{1}{a(t)} \tag{78}$$

elde edilir.

Comoving gözlemci için $\omega_{\text{obs}} = c,k^0$ olduğundan $c$ sabiti bu orantıyı değiştirmez:

$$\omega_{\text{obs}} \propto \frac{1}{a(t)} \tag{79}$$

Böylece genişleyen bir evrende comoving gözlemcinin ölçtüğü foton frekansının ölçek faktörünün tersiyle orantılı olduğunu göstermiş olduk.

Foton $t_e$ zamanında yayılsın ve $t_o$ zamanında gözlensin. O zaman

$$\frac{\omega_o}{\omega_e} = \frac{a_e}{a_o} \tag{80}$$

olur.

Genişleyen bir evrende $a_o > a_e$ olduğu için $\omega_o < \omega_e$ bulunur. Yani foton daha düşük frekansla gözlenir.

1.13 Dalga boyu ve kırmızıya kayma

Frekansın nasıl değiştiğini bulduk. Biz ayrıca temel fizik derslerinden dalga boyu ile frekans arasındaki ilişkiyi açıkça biliyoruz o sebeple başlangıç noktamıza doğrudan ulaşabiliriz.

Açısal frekans ile sıradan frekans arasındaki ilişki $\omega = 2\pi\nu$ ve ışık için $c = \lambda_{\text{phys}}\nu$ şeklindedir. Dolayısıyla

$$\lambda_{\text{phys}} = \frac{2\pi c}{\omega} \tag{81}$$

olur. $\omega \propto a^{-1}$ olduğuna göre

$$\lambda_{\text{phys}} \propto a(t) \tag{82}$$

sonucu elde edilir. Bu nedenle emisyon ve gözlem dalga boyları arasında

$$\frac{\lambda_o}{\lambda_e} = \frac{a_o}{a_e} \tag{83}$$

ilişkisi vardır.

[!info] Tanım Kozmolojik kırmızıya kayma z = \frac{\lambda_o - \lambda_e}{\lambda_e} \tag{84} ile tanımlanır.

Buradan

$$1 + z = \frac{\lambda_o}{\lambda_e} = \frac{a_o}{a_e} = \frac{\omega_e}{\omega_o} \tag{85}$$

elde edilir.

Bugünkü ölçek faktörü $a_o = 1$ olarak normalize edilirse

$$1 + z = \frac{1}{a_e} \tag{86}$$

olur.

Sonuç olarak evren genişledikçe dalga boyu ölçek faktörüyle birlikte büyür, frekans ise ölçek faktörünün tersiyle azalır:

$$\lambda_{\text{phys}} \propto a(t), \qquad \omega \propto \frac{1}{a(t)} \tag{87}$$

Bu değişim ışığın yerel hızının değiştiği anlamına gelmez. Her yerel comoving gözlemci yine $c = \lambda_{\text{phys}}\nu$ ilişkisini ölçer. Dalga boyu artarken frekans aynı oranda azalır ve ışığın yerel hızı $c$ olarak kalır.

Burada bulunan sonuçlar bir sonraki bölümde enerji ve sıcaklık ilişkisi ile kullanılacak olup çok büyük önem arz eder.