Kesirli Sturm-Liouville Problemleri

Kesirli Sturm-Liouville Problemleri

1. Giriş

Sturm–Liouville Problemleri, fen bilimleri, mühendislik ve matematiğin birçok alanında temel bir yere sahiptir [1]. İlk olarak 170 yılı aşkın bir süre önce ortaya konulmuş olmalarına rağmen, günümüzde de binlerce makale ve kitabın konusu olmaya devam eden, aktif bir araştırma alanıdır [1].

Öncelikle klasik Sturm–Liouville probleminin temel yapısını hatırlayalım. Standart bir Sturm–Liouville diferansiyel denklemi

$$-\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y = \lambda w(x)y$$

şeklinde yazılır. Burada $p(x)$, $q(x)$ ve $w(x)$, belirli matematiksel koşulları sağlayan fonksiyonlardır. Uygun bir dönüşüm veya integral çarpanı kullanılarak, doğrusal ikinci mertebeden birçok diferansiyel denklem bu genel biçime dönüştürülebilir. Hermite, Laguerre, Jacobi ve Legendre denklemleri bunun önemli örneklerindendir.

Şimdi denkleme uygun sınır koşulları ekleyelim. Eğer $p(x)$ ve $w(x)$ aralık boyunca pozitif ve ilgili fonksiyonlar sürekli ise

$$\begin{aligned} c_{1}y(a) + c_{2}y'(a) &= 0, \quad (c_{1}^{2} + c_{2}^{2} > 0), \\ d_{1}y(b) + d_{2}y'(b) &= 0, \quad (d_{1}^{2} + d_{2}^{2} > 0), \end{aligned}$$

sınır koşullarıyla birlikte elde edilen probleme düzenli Sturm–Liouville Problemi denir.

Buradaki en önemli kavramlardan ikisi özdeğer ve özfonksiyondur. Denklemin ve sınır koşullarının sıfırdan farklı bir çözüme sahip olmasını sağlayan $\lambda$ değerlerine özdeğer, bu değerlere karşılık gelen sıfırdan farklı çözümlere ise özfonksiyon denir.

Sturm–Liouville teorisini bu kadar güçlü ve kullanışlı kılan temel sonuçlardan biri, uygun koşullar altında özdeğerlerin gerçel olması ve farklı özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonların belirli bir ağırlık fonksiyonuna göre birbirine ortogonal olmasıdır. Bu özellik, teorinin yalnızca soyut bir diferansiyel denklem sınıfı olarak kalmamasını; kuantum mekaniğinden dalga problemlerine kadar çok farklı alanlarda kullanılabilmesini sağlar.

Her problem bu kadar düzenli değildir. Örneğin $p(x)$ fonksiyonunun aralığın uç noktalarında, yani $x=a$ veya $x=b$ noktalarından en az birinde sıfır olması durumunda problem tekil Sturm–Liouville Problemi olarak adlandırılır.

Tekil problemlerin en önemli örneklerinden biri Legendre diferansiyel denklemidir. Özellikle matematiksel fizik problemlerinde karşımıza çıkan bu denklem

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{dy}{dx}\right] + n(n+1)y = 0$$

şeklinde yazılır. Burada $p(x)=1-x^{2}$ olduğundan, $x=-1$ ve $x=1$ noktalarında $p(x)$ sıfıra ulaşır. Bu nedenle Legendre problemi, tekil Sturm–Liouville problemlerinin klasik ve önemli bir örneğidir [2].

Buraya kadar anlattıklarımız klasik Sturm–Liouville teorisinin temel çerçevesini oluşturuyor. Ancak asıl ilginç kısım bundan sonra başlıyor.

Şimdiye kadar kullandığımız türevlerin mertebeleri tamsayıydı. Peki ya bu türevleri kesirli mertebeli türevlerle değiştirirsek ne olur? Özdeğerler ve özfonksiyonlar bundan nasıl etkilenir? Klasik teorinin güçlü özellikleri yeni yapıda da korunur mu?

Bu sorulara geçmeden önce, kesirli türevlerin ne olduğunu, nasıl ortaya çıktığını ve fizikte neden önemli hâle geldiğini kısaca inceleyelim.

2. Ön Literatür Taraması

Kesirli Türevler Nedir ve Nasıl Ortaya Çıktı?

Matematik tarihindeki en ilginç yazışmalardan biri, 1695 yılında Guillaume de l'Hôpital ile Gottfried Wilhelm Leibniz arasında gerçekleşti. L'Hôpital, türevin kurucularından biri olan Leibniz'e oldukça sıra dışı bir soru yöneltti:

“Peki, $\frac{d^n y}{dx^n}$ ifadesindeki türev mertebesi $n$ bir tamsayı değil de $n=1/2$ olursa ne olur?”

Başka bir ifadeyle, bir fonksiyonun yarımıncı türevini almak mümkün müdür?

Leibniz'in bu soruya verdiği cevap bugün kesirli kalkülüsün gelişiminin sembolik başlangıçlarından biri olarak kabul ediliyor:

“Bu görünürde bir paradokstur, ancak bir gün bundan çok faydalı sonuçlar çıkarılacaktır.”

Leibniz'in öngörüsü zamanla gerçeğe dönüştü. Sonraki yüzyıllarda Euler, Laplace, Fourier, Liouville, Riemann, Letnikov ve Caputo gibi önemli matematikçiler bu sorunun peşinden giderek kesirli kalkülüsün kuramsal temellerinin oluşmasına katkıda bulundular.

Peki, kesirli türev tam olarak nedir?

En basit hâliyle düşünelim. Bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini alabiliyorsak, neden bir buçukuncu türevini veya $\pi$ mertebesinden türevini de almayalım? Kesirli kalkülüs, tam olarak bu fikri sistematik bir matematiksel teoriye dönüştürür.

Burada önemli olan nokta, kesirli türevlerin yalnızca “türev mertebesini kesirli bir sayı yapmak”tan ibaret olmamasıdır. Kesirli türevlerin birçok tanımında, fonksiyonun belirli bir noktadaki davranışıyla birlikte geçmişteki değerleri de hesaba katılır. Bu nedenle kesirli türevler, sistemlerin geçmiş davranışlarının bugünkü durum üzerindeki etkisini, yani hafıza etkisini, matematiksel olarak ifade edebilir.

Klasik tamsayı mertebeli türevler çoğunlukla bir sistemin o andaki değişim hızını ifade ederken, kesirli türevler geçmişteki davranışların da mevcut duruma katkısını modele dahil edebilir. Bu özellik, özellikle sönümlü titreşimler, viskoelastik malzemeler, sinir sistemindeki sinyal iletimi ve anormal difüzyon gibi geçmişten etkilenen sistemlerin modellenmesinde kesirli kalkülüsü güçlü bir araç hâline getirir. Finansal piyasalar gibi geçmiş davranışların gelecekteki hareketlerle ilişkili olabildiği bazı sistemlerde de benzer yaklaşımlar kullanılmaktadır [11, 12, 13, 14, 15].

Sturm–Liouville ve Schrödinger Denklemi

Kesirli Sturm–Liouville problemlerinin neden önemli olduğunu anlayabilmek için önce klasik Sturm–Liouville teorisinin matematik ve fizikteki yerine bakmak faydalı olacaktır.

Sturm–Liouville teorisi, diferansiyel denklemlerin özdeğer ve özfonksiyonlarını inceleyen temel matematiksel yapılardan biridir. Bu teorinin fizik açısından ne kadar önemli olduğunu görmek için kuantum mekaniğinin en temel denklemlerinden biri olan Schrödinger denklemine bakmak yeterlidir.

Zamandan bağımsız, tek boyutlu Schrödinger denklemi şu şekilde yazılır:

$$-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$$

Burada $\hbar$ indirgenmiş Planck sabitini, $m$ parçacığın kütlesini, $V(x)$ potansiyel enerji fonksiyonunu, $E$ parçacığın toplam enerjisini ve $\psi(x)$ dalga fonksiyonunu göstermektedir.

Şimdi bu denklemi, giriş bölümünde verdiğimiz klasik Sturm–Liouville denklemiyle karşılaştıralım. İlk bakışta farklı fiziksel anlamlara sahip iki denklem gibi görünseler de matematiksel yapıları aynıdır. Uygun bir eşleştirme yapıldığında Schrödinger denklemi, tam anlamıyla bir Sturm–Liouville problemine dönüştürülebilir.

Bu bağlantı oldukça önemlidir. Çünkü Sturm–Liouville teorisinde ortaya çıkan özdeğer ve özfonksiyon kavramları, kuantum mekaniğinde fiziksel olarak anlamlı büyüklüklere karşılık gelir. Başka bir deyişle, Sturm–Liouville teorisini incelerken yalnızca soyut bir matematiksel problemle uğraşmıyoruz; aynı zamanda kuantum sistemlerinin enerji düzeylerini ve bu sistemlere ait durumları belirleyen matematiksel yapıyı da inceliyoruz.

Tam da bu noktada kesirli Sturm–Liouville problemleri devreye giriyor. Klasik Sturm–Liouville yapısındaki türevleri kesirli türevlerle değiştirdiğimizde nasıl bir matematiksel yapı ortaya çıkar? Özdeğerler ve özfonksiyonlar bu değişiklikten nasıl etkilenir? Daha da önemlisi, ortaya çıkan yeni yapı klasik teoride bulunmayan hangi özellikleri beraberinde getirir?

Çalışmamızın temel motivasyonu da bu sorular etrafında şekilleniyor.

• $p(x) = \frac{\hbar^{2}}{2m}$ (Sabit bir katsayı)
• $q(x) = V(x)$ (Potansiyel enerji)
• $w(x) = 1$ (Ağırlık fonksiyonu)
• $y(x) = \psi(x)$ (Özfonksiyonlar: Parçacığın bulunma olasılık genlikleri, yani Dalga Fonksiyonu)
• $\lambda = E$ (Özdeğerler: Parçacığın alabileceği Kuantize Enerji Seviyeleri!)

Fizikçilerin kuantum mekaniğinde karşılaştığı o önemli sonuçlardan biri, kesikli enerji seviyeleridir. $E_1, E_2, E_3, \ldots$ şeklinde ifade edilen bu enerji değerleri, matematiksel açıdan bakıldığında Sturm–Liouville problemlerinin özdeğerlerinden başka bir şey değildir. Benzer şekilde, kuantum fiziğinde farklı enerji durumlarına karşılık gelen dalga fonksiyonlarının birbirine dik olması, yani ortogonallik özelliği, Sturm–Liouville teorisinin temel sonuçlarından birinin doğrudan bir yansımasıdır.

İşte bu nedenle Kesirli Sturm–Liouville Problemlerini incelemek yalnızca soyut bir matematiksel genelleştirme yapmak anlamına gelmez. Kesirli türevler içeren bir Sturm–Liouville problemini ele aldığımızda, aynı zamanda kesirli türevlerin kuantum sistemlerinin matematiksel yapısını nasıl değiştirebileceğini de araştırmış oluruz. Bu yaklaşım, kesirli kuantum mekaniği olarak adlandırılan daha genel fiziksel modellerle bağlantı kurmamızı sağlar.

Özellikle klasik Brown hareketinin sistemi yeterince iyi açıklayamadığı, parçacıkların alışılmıştan daha karmaşık hareketler sergilediği ve geçmiş davranışların mevcut dinamikler üzerinde etkili olduğu sistemler bu açıdan önemlidir. Lévy uçuşları gibi daha genel hareket türlerinin ortaya çıktığı bu durumlarda, klasik Schrödinger denkleminin yerine kesirli Schrödinger denklemleri kullanılabilir.

Dolayısıyla kesirli Sturm–Liouville teorisi, bir yandan klasik Sturm–Liouville teorisini daha genel bir matematiksel çerçeveye taşırken, diğer yandan kesirli kuantum mekaniği gibi fiziksel modellerle bağlantı kurulmasına olanak sağlar.

Şimdi, bu tarihsel ve fiziksel arka planın ardından, çalışmamızın temel araçlarına, yani kesirli operatörlere, biraz daha yakından bakalım.

Gerekli Tanım ve Teoremler

Kesirli Sturm–Liouville problemlerine geçmeden önce, çalışmamızda kullanacağımız bazı temel kesirli integral ve türev tanımlarını hatırlayalım [25, 26]. Bu tanımlar, ilerleyen bölümlerde ortaya çıkacak operatörlerin nasıl oluşturulduğunu anlamak açısından temel bir rol oynuyor.

Kesirli İntegraller

Öncelikle $\operatorname{Re}(\alpha)>0$ olsun. $\alpha$ mertebesinden sol yönlü ve sağ yönlü Riemann–Liouville kesirli integralleri sırasıyla

$$\begin{aligned} (I_{a^{+}}^{\alpha} f)(x) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{a}^{x} (x-s)^{\alpha-1} f(s) \, ds, \quad x > a, \\ (I_{b^{-}}^{\alpha} f)(x) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{x}^{b} (s-x)^{\alpha-1} f(s) \, ds, \quad x < b \end{aligned}$$

şeklinde tanımlanır.

Burada $\Gamma$, Euler gama fonksiyonudur. Sol yönlü integralde $a$ noktasından $x$ noktasına doğru ilerlerken, sağ yönlü integralde ise $x$ noktasından $b$ noktasına doğru ilerleriz. Bu iki yönlü yapı, kesirli Sturm–Liouville operatörlerinin en önemli özelliklerinden birini oluşturacaktır.

Kesirli Türevler

Şimdi kesirli türevleri tanımlayalım. $\operatorname{Re}(\alpha)\in(m-1,m)$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $\alpha$ mertebesinden sol yönlü ve sağ yönlü Riemann–Liouville kesirli türevleri

$$\begin{aligned} (D_{a^{+}}^{\alpha} f)(x) &= D^{m} (I_{a^{+}}^{m-\alpha} f)(x), \quad x > a, \\ (D_{b^{-}}^{\alpha} f)(x) &= (-D)^{m} (I_{b^{-}}^{m-\alpha} f)(x), \quad x < b \end{aligned}$$

olarak tanımlanır.

Buna karşılık, aynı mertebeden sol yönlü ve sağ yönlü Caputo kesirli türevleri

$$\begin{aligned} ({}^{c}D_{a^{+}}^{\alpha} f)(x) &= (I_{a^{+}}^{m-\alpha} D^{m} f)(x), \quad x > a, \\ ({}^{c}D_{b^{-}}^{\alpha} f)(x) &= (I_{b^{-}}^{m-\alpha} (-D)^{m} f)(x), \quad x < b \end{aligned}$$

şeklindedir.

Burada önemli bir ayrıntı var: Riemann–Liouville ve Caputo türevleri ilk bakışta birbirine çok benzer görünse de, türev ve integral işlemlerinin uygulanma sıraları farklıdır. İleride tanımlayacağımız kesirli Sturm–Liouville operatörlerinin yapısında bu fark belirleyici olacaktır.

Kesirli Dünyada Kısmi İntegrasyon

Kalkülüs derslerinden bildiğimiz kısmi integrasyon formülü, diferansiyel denklemlerin incelenmesinde oldukça güçlü bir araçtır. Kesirli kalkülüste de benzer bir yapı bulunur. Hatta bizim açımızdan bu formüller çok daha önemli bir role sahiptir; çünkü birazdan tanımlayacağımız kesirli Sturm–Liouville operatörlerinin yapısını doğrudan bu ilişkilerden esinlenerek oluşturacağız.

İlgili operatörler aşağıdaki kesirli kısmi integrasyon formüllerini sağlar:

$$\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) I_{a^{+}}^{\alpha} g(x) \, dx &= \int_{a}^{b} g(x) I_{b^{-}}^{\alpha} f(x) \, dx, \\ \int_{a}^{b} f(x) D_{b^{-}}^{\alpha} g(x) \, dx &= \int_{a}^{b} g(x) {}^{c}D_{a^{+}}^{\alpha} f(x) \, dx + \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^{m-k} f^{(k)}(x) D^{m-k-1} I_{b^{-}}^{m-\alpha} g(x)\Big|_{x=a}^{b}, \\ \int_{a}^{b} f(x) D_{a^{+}}^{\alpha} g(x) \, dx &= \int_{a}^{b} g(x) {}^{c}D_{b^{-}}^{\alpha} f(x) \, dx + \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^{k} f^{(k)}(x) D^{m-k-1} I_{a^{+}}^{m-\alpha} g(x)\Big|_{x=a}^{b}. \end{aligned}$$

Bu formüller, klasik kısmi integrasyonun kesirli kalkülüsteki karşılığı olarak düşünülebilir. Özellikle sol ve sağ yönlü operatörlerin birbirleriyle nasıl ilişkilendiğini göstermeleri açısından önemlidir.

Bileşke Kuralları

Kesirli integral ve türevleri art arda uyguladığımızda ortaya çıkan ilişkileri de bilmemiz gerekiyor. $\alpha\in(m-1,m)$, $\beta>\alpha$ ve $f\in C[a,b]$ olsun. Her $x\in[a,b]$ için aşağıdaki bileşke kuralları geçerlidir:

$$\begin{aligned} D_{a^{+}}^{\alpha} I_{a^{+}}^{\alpha} f(x) &= f(x), \quad D_{b^{-}}^{\alpha} I_{b^{-}}^{\alpha} f(x) = f(x), \\ D_{a^{+}}^{\alpha} I_{a^{+}}^{\beta} f(x) &= I_{a^{+}}^{\beta-\alpha} f(x), \quad D_{b^{-}}^{\alpha} I_{b^{-}}^{\beta} f(x) = I_{b^{-}}^{\beta-\alpha} f(x), \\ {}^{c}D_{a^{+}}^{\alpha} I_{a^{+}}^{\alpha} f(x) &= f(x), \quad {}^{c}D_{b^{-}}^{\alpha} I_{b^{-}}^{\alpha} f(x) = f(x), \\ I_{a^{+}}^{\alpha} I_{a^{+}}^{\beta} &= I_{a^{+}}^{\alpha+\beta}, \quad I_{b^{-}}^{\alpha} I_{b^{-}}^{\beta} = I_{b^{-}}^{\alpha+\beta}. \end{aligned}$$

Bu ilişkiler, kesirli işlemlerin cebirsel yapısını anlamamızı sağlar ve ilerleyen bölümlerde yapacağımız hesaplamaları önemli ölçüde kolaylaştırır.

Kesirli Sturm–Liouville Problemleri

Artık asıl konumuza geçebiliriz.

Klasik Sturm–Liouville probleminde diferansiyel operatörün yapısı, özdeğerlerin ve özfonksiyonların önemli özelliklerini belirler. Biz ise bu yapıyı kesirli türevlerle genişletmek istiyoruz. Ancak burada önemli bir nokta var: Sol ve sağ yönlü kesirli türevleri operatöre gelişigüzel yerleştirmiyoruz. Yeni operatörümüzü, az önce gördüğümüz kesirli kısmi integrasyon formüllerinden hareketle oluşturuyoruz.

Bu yaklaşım, klasik Sturm–Liouville teorisindeki temel fikirle de uyumludur. Klasik teoride özdeğer ve özfonksiyonlara ilişkin birçok önemli sonuç, kısmi integrasyon ve buna bağlı simetri özellikleri üzerinden elde edilir. Dolayısıyla kesirli durumda da benzer bir yapının kurulması doğal bir başlangıç noktasıdır.

Düzenli Kesirli Sturm–Liouville Problemi: Birinci Tip

Öncelikle kesirli Sturm–Liouville operatörümüzü

$$\mathcal{L}_{\alpha,x} := {}^{c}D_{b^{-}}^{\alpha} p(x) D_{a^{+}}^{\alpha} + q(x)$$

şeklinde tanımlayalım.

Buna karşılık gelen birinci tip kesirli Sturm–Liouville denklemi

$$\mathcal{L}_{\alpha,x} f_{\lambda}(x) + \lambda w_{\alpha}(x) f_{\lambda}(x) = 0$$

şeklindedir. Burada $p(x)\neq 0$ ve $w_{\alpha}(x)>0$ koşullarını varsayıyoruz.

Türev mertebesi $0<\alpha<1$ olduğunda sınır koşullarımız

$$\begin{aligned} c_{1} I_{a^{+}}^{1-\alpha} f_{\lambda}(a) + c_{2} D_{a^{+}}^{\alpha} f_{\lambda}(a) &= 0, \\ d_{1} I_{a^{+}}^{1-\alpha} f_{\lambda}(b) + d_{2} D_{a^{+}}^{\alpha} f_{\lambda}(b) &= 0 \end{aligned}$$

şeklindedir.

Türev mertebesi $1<\alpha<2$ olduğunda ise daha fazla sınır koşuluna ihtiyaç duyulur. Bu durumda

$$\begin{aligned} c_{1,0} I_{a^{+}}^{2-\alpha} f_{\lambda}(a) + c_{2,0} D p(x) D_{a^{+}}^{\alpha} f_{\lambda}(a)\Big|_{x=a} &= 0, \\ d_{1,0} I_{a^{+}}^{2-\alpha} f_{\lambda}(b) + d_{2,0} D p(x) D_{a^{+}}^{\alpha} f_{\lambda}(b)\Big|_{x=b} &= 0, \\ c_{1,1} D_{a^{+}}^{\alpha-1} f_{\lambda}(a) + c_{2,1} D_{a^{+}}^{\alpha} f_{\lambda}(a) &= 0, \\ d_{1,1} D_{a^{+}}^{\alpha-1} f_{\lambda}(b) + d_{2,1} D_{a^{+}}^{\alpha} f_{\lambda}(b) &= 0. \end{aligned}$$

Bu şekilde tanımlanan probleme birinci tip düzenli kesirli Sturm–Liouville özdeğer problemi diyoruz.

Peki Tekil Durumda Ne Oluyor?

Şimdi aynı diferansiyel denklemi ele alalım:

$$\mathcal{L}_{\alpha,x} f_{\lambda}(x) + \lambda w_{\alpha}(x) f_{\lambda}(x) = 0.$$

Bu kez fark, $p(x)$ fonksiyonunun sınır noktalarındaki davranışından kaynaklanıyor.

$0<\alpha<1$ için

$$p(a)=p(b)=0$$

koşulunu, $1<\alpha<2$ için ise

$$p(a)=p(b)=0, \qquad p'(a)=p'(b)=0$$

koşullarını kabul ediyoruz.

Bu durumda elde ettiğimiz probleme birinci tip tekil kesirli Sturm–Liouville problemi adını veriyoruz.

Burada klasik teoriyle önemli bir paralellik görüyoruz: Düzenli ve tekil Sturm–Liouville problemleri arasındaki ayrım, kesirli durumda da büyük ölçüde operatörün sınır noktalarındaki davranışı üzerinden belirleniyor. Ancak kesirli türevlerin devreye girmesiyle birlikte hem operatörün yapısı hem de sınır koşulları klasik durumdan oldukça farklı bir hâle geliyor.

Bir sonraki adımda, bu yeni problemlerin en önemli özelliklerinden biri olan özdeğer ve özfonksiyonların davranışını inceleyeceğiz. Özellikle klasik Sturm–Liouville teorisindeki gerçel özdeğer ve ortogonallik sonuçlarının kesirli durumda nasıl ortaya çıktığı oldukça ilginç sonuçlara götürüyor.

Özdeğerler Gerçek mi? Ortogonallik Korunuyor mu?

Şimdi en önemli sorulardan ikisine geliyoruz: Kesirli Sturm–Liouville problemlerinin özdeğerleri hâlâ gerçek mi? Farklı özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar birbirine hâlâ dik mi?

Klasik Sturm–Liouville teorisinin gücünün önemli bir kısmı tam olarak bu iki özellikten gelir. Kesirli durumda da benzer sonuçların geçerli olup olmadığını görmek için, biraz önce tanımladığımız kesirli kısmi integrasyon formüllerini kullanacağız.

Özdeğerlerin Gerçekliği

İlk teoremimiz, klasik teorinin önemli bir özelliğinin kesirli dünyada da korunduğunu gösteriyor:

[!theorem] Teorem 2.1
Düzenli birinci tip kesirli Sturm–Liouville probleminin özdeğerleri gerçeldir.

Bunu görmek için $y$ adlı bir özfonksiyonun ve ona karşılık gelen $\lambda$ özdeğerinin bulunduğunu varsayalım. Denklemimiz

$$\mathcal{L}_{\alpha,x} y(x) + \lambda w_{\alpha}(x)y(x) = 0$$

şeklindedir.

Kısmi integrasyon formülünü kullanarak operatörün iki fonksiyon üzerindeki etkisini karşılaştırdığımızda

$$\int_{a}^{b} f(x) \mathcal{L}_{\alpha,x} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} q(x)f(x)g(x) \, dx + \int_{a}^{b}p(x)D_{a^{+}}^{\alpha}f(x)D_{a^{+}}^{\alpha}g(x) \, dx + p(x)I_{a^{+}}^{1-\alpha}f(x)D_{a^{+}}^{\alpha}g(x)\Big|_{x=a}^{x=b}$$

ilişkisini elde ederiz.

Şimdi $y$ ile onun karmaşık eşleniği $\overline{y}$ için özdeğer denklemlerini yazıp birbirleriyle karşılaştıralım. Daha sonra bu denklemleri uygun biçimde çıkararak ve $[a,b]$ aralığında integre ederek

$$\begin{aligned} (\lambda-\overline{\lambda}) \int_{a}^{b}w_{\alpha}(x)|y(x)|^{2} \, dx &= p(b)\left[ I_{a^{+}}^{1-\alpha}y(b)D_{a^{+}}^{\alpha}\overline{y}(b) - I_{a^{+}}^{1-\alpha}\overline{y}(b)D_{a^{+}}^{\alpha}y(b) \right] \\ &\quad - p(a)\left[ I_{a^{+}}^{1-\alpha}y(a)D_{a^{+}}^{\alpha}\overline{y}(a) - I_{a^{+}}^{1-\alpha}\overline{y}(a)D_{a^{+}}^{\alpha}y(a) \right] \end{aligned}$$

sonucuna ulaşırız.

Burada sınır koşulları devreye giriyor. Sınır koşulları nedeniyle sağ taraftaki terimler ortadan kalkıyor ve geriye

$$(\lambda-\overline{\lambda}) \int_{a}^{b}w_{\alpha}(x)|y(x)|^{2} \, dx = 0$$

kalıyor.

$y$ sıfırdan farklı bir özfonksiyon olduğundan ve $w_{\alpha}(x)>0$ olduğundan integral pozitiftir. Dolayısıyla geriye tek bir olasılık kalır:

$$\lambda = \overline{\lambda}.$$

Başka bir deyişle, özdeğerler gerçeldir.

Bu sonuç $1<\alpha<2$ aralığındaki türev mertebeleri için de benzer biçimde elde edilir. Bu durumda sınır terimleri biraz daha karmaşık hâle gelir; ancak uygun sınır koşulları sayesinde yine tamamı sıfırlanır. Böylece tekil problem için de aynı sonuca ulaşırız:

[!theorem] Teorem 2.2
$C^{1+[\alpha]}[a,b]$ uzayında ele alınan tekil birinci tip kesirli Sturm–Liouville probleminin özdeğerleri gerçeldir.

Dolayısıyla kesirli türevleri denkleme eklememiz, Sturm–Liouville teorisinin bu temel özelliğini ortadan kaldırmıyor.

Özfonksiyonlar Hâlâ Ortogonal mi?

Şimdi ikinci temel özelliğe bakalım. Klasik Sturm–Liouville problemlerinde farklı özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar birbirine ortogonaldir. Kesirli durumda da aynı durumun geçerli olup olmadığını sorabiliriz.

Cevap yine olumlu:

[!theorem] Teorem 2.3
Düzenli birinci tip kesirli Sturm–Liouville probleminin farklı özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonları, $w_{\alpha}$ ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir. Yani $\lambda_{1}\neq\lambda_{2}$ ise

$$\int_{a}^{b} w_{\alpha}(x) f_{\lambda_{1}}(x) f_{\lambda_{2}}(x) \, dx = 0$$

olur.

İspatın temel fikri, az önce özdeğerlerin gerçek olduğunu gösterirken kullandığımız yönteme oldukça benzer.

İki farklı özdeğere, $\lambda_{1}$ ve $\lambda_{2}$, karşılık gelen $f_{\lambda_{1}}$ ve $f_{\lambda_{2}}$ özfonksiyonlarını ele alalım. Her iki fonksiyon da aynı kesirli Sturm–Liouville denklemine, ancak farklı özdeğerlere karşılık gelen çözümlerdir.

Denklemleri birbirleriyle çarpıp çıkardığımızda ve ardından kesirli kısmi integrasyon formülünü kullandığımızda

$$(\lambda_{1}-\lambda_{2}) \int_{a}^{b} w_{\alpha}(x) f_{\lambda_{1}}(x) f_{\lambda_{2}}(x) \, dx = p(b)[\cdots] - p(a)[\cdots]$$

ifadesine ulaşırız.

Sınır koşulları sağ taraftaki terimleri yine ortadan kaldırır. Böylece

$$(\lambda_{1}-\lambda_{2}) \int_{a}^{b} w_{\alpha}(x) f_{\lambda_{1}}(x) f_{\lambda_{2}}(x) \, dx = 0$$

elde edilir. $\lambda_{1}\neq\lambda_{2}$ olduğundan geriye

$$\int_{a}^{b} w_{\alpha}(x) f_{\lambda_{1}}(x) f_{\lambda_{2}}(x) \, dx = 0$$

kalır.

Yani farklı özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar, tıpkı klasik teoride olduğu gibi, ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir.

Aynı sonuç tekil birinci tip kesirli Sturm–Liouville problemi için de geçerlidir:

[!theorem] Teorem 2.4
Tekil birinci tip kesirli Sturm–Liouville probleminin farklı özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonları, ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir. Yani $\lambda_{1}\neq\lambda_{2}$ ise

$$\int_{a}^{b} w_{\alpha}(x) f_{\lambda_{1}}(x) f_{\lambda_{2}}(x) \, dx = 0$$

olur.

Burada önemli bir sonuç ortaya çıkıyor: Kesirli türevler kullanmamıza rağmen Sturm–Liouville teorisinin iki temel taşı, yani gerçel özdeğerler ve ortogonal özfonksiyonlar, uygun koşullar altında varlığını koruyor.

Dahası, $q(x)=0$ olduğunda daha da ilginç bir ortogonallik ilişkisi elde ediyoruz:

$$\int_{a}^{b} p(x) D_{a^{+}}^{\alpha}f_{\lambda_{1}}(x) D_{a^{+}}^{\alpha}f_{\lambda_{2}}(x) \, dx = 0.$$

Bu sonuç, kesirli türevler üzerinden tanımlanan yeni fonksiyon ailelerinin oluşturulması açısından önemli bir kapı aralıyor.

Birinci Tipten İkinci Tipe: Yansıma

Şimdi operatörümüzün bir başka ilginç özelliğine bakalım. Tanımladığımız birinci tip operatör, yansıma altında doğrudan kendisine dönüşmüyor. Bunun için

$$\begin{aligned} Qf(x) &:= f(a+b-x), \\ Q^{2}f(x) &= f(x) \end{aligned}$$

şeklinde bir yansıma operatörü tanımlayalım.

Bu operatör, sol ve sağ yönlü kesirli türevleri birbirine dönüştürür:

$$\begin{aligned} Q D_{a^{+}}^{\alpha} &= D_{b^{-}}^{\alpha}Q, \\ Q {}^{c}D_{a^{+}}^{\alpha} &= {}^{c}D_{b^{-}}^{\alpha}Q. \end{aligned}$$

Dolayısıyla birinci tip operatörün yansımasını alarak yeni bir kesirli Sturm–Liouville operatörü elde edebiliriz:

$$\widetilde{\mathcal{L}}_{\alpha,x} := {}^{c}D_{a^{+}}^{\alpha} p(x) D_{b^{-}}^{\alpha} + q(x).$$

Buna ikinci tip kesirli Sturm–Liouville problemi diyebiliriz.

Buradaki güzel taraf şu: Birinci tip problemin çözümünü biliyorsak, yansıma işlemini kullanarak ikinci tip problemin çözümünü de elde edebiliriz.

[!proposition] Önerme 2.1
Birinci tip düzenli kesirli Sturm–Liouville probleminin herhangi bir $f_{\lambda}$ özfonksiyonu, $Qf_{\lambda}$ şeklinde yansıtıldığında ikinci tip kesirli Sturm–Liouville probleminin bir çözümünü verir.

Bu yapı bize aynı zamanda daha genel modeller kurabileceğimizi de gösteriyor. Örneğin sol ve sağ yönlü kesirli türevlerin daha simetrik biçimde birlikte yer aldığı üçüncü tip bir kesirli Sturm–Liouville problemi de tanımlanabilir. Ancak bu daha genel yapı, başlı başına ayrı bir araştırma konusu.

Kesirli Legendre Denklemi

Şimdi çalışmamızın belki de en şaşırtıcı kısmına geliyoruz: Kesirli Legendre Denklemi.

Klasik Legendre polinomlarının temelini oluşturan Rodrigues formülüyle başlayalım:

$$L_{n}(x) = \frac{(-1)^{n}}{2^{n}n!} D^{n}(1-x^{2})^{n} = \frac{(-1)^{n}}{2^{n}n!} D^{n}(1-x)^{n}(1+x)^{n}.$$

Burada türev mertebesi tamsayıdır. Biz ise aynı fikri kesirli dünyaya taşımak istiyoruz. Bunun için klasik türevleri sol yönlü Riemann–Liouville ve sağ yönlü Caputo kesirli türevleriyle değiştiriyoruz.

Ortaya çıkan denklem

$$\left[ {}^{c}D_{1^{-}}^{\alpha} (1-x^{2})^{\alpha} D_{-1^{+}}^{\alpha} + e_{2} \right]f(x) = 0$$

şeklindedir. Bu denkleme Kesirli Legendre Denklemi adını veriyoruz.

Bu noktada oldukça doğal bir soru ortaya çıkıyor: Klasik Legendre denklemindeki türevleri kesirli türevlerle değiştirdiğimizde, klasik Legendre polinomlarına ne olacak?

İşte araştırmanın en dikkat çekici sonuçlarından biri burada ortaya çıkıyor. Yeni denklem, klasik denklemden farklı bir özdeğer yapısına sahip olmasına rağmen, uygun koşullar altında aynı Legendre polinomlarını özfonksiyon olarak ortaya çıkarıyor.

Bu sonucu anlamak için önce kesirli operatörün simetri özelliğine bakalım. Kesirli kısmi integrasyon formülünü kullandığımızda

$$\int_{-1}^{1} \left[ f(x) {}^{c}D_{1^{-}}^{\alpha} (1-x^{2})^{\alpha} D_{-1^{+}}^{\alpha}g(x) - g(x) {}^{c}D_{1^{-}}^{\alpha} (1-x^{2})^{\alpha} D_{-1^{+}}^{\alpha}f(x) \right] dx = 0$$

ilişkisini elde ederiz.

Bu ifade, kesirli Legendre operatörünün uygun anlamda simetrik davrandığını gösterir ve özfonksiyonların özelliklerini incelememizin temelini oluşturur.

Bir sonraki adımda ise asıl şaşırtıcı sonucu göreceğiz: Kesirli Legendre Denkleminden çıkan polinomlar neden klasik Legendre polinomlarıyla aynı oluyor ve buna rağmen özdeğerler neden değişiyor?

Sürpriz Sonuç: Aynı Legendre Polinomları, Farklı Özdeğerler

Ve sonunda çalışmanın en şaşırtıcı sonuçlarından birine ulaşıyoruz.

Kesirli Legendre Denklemini klasik Legendre denkleminden türetirken türevleri kesirli türevlerle değiştirmiştik. İlk bakışta böyle bir değişikliğin çözümleri, özellikle de Legendre polinomlarını, tamamen değiştirmesini bekleyebiliriz. Fakat sonuç tam olarak böyle değil.

[!theorem] Teorem 2.5
Klasik Legendre polinomları $L_n(x)$, her $\alpha>0$ için aşağıdaki kesirli Sturm–Liouville probleminin de çözümleridir:

$$\left[ {}^{c}D_{1^{-}}^{\alpha} (1-x^{2})^{\alpha} D_{-1^{+}}^{\alpha} + e_{2}(\alpha,n) \right]L_n(x) = 0.$$

Ancak özdeğerler klasik durumdan farklıdır ve

$$e_{2}(\alpha,n) = -\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{\Gamma(n+1-\alpha)}$$

şeklinde verilir.

Sonuç oldukça dikkat çekici: Kesirli türevleri denkleme ekliyoruz, fakat Legendre polinomlarını değiştirmiyoruz. Değişen şey özdeğerler oluyor.

Bu sonucu nasıl elde ettiğimize kısaca bakalım.

Sonuç Nasıl Ortaya Çıkıyor?

İspatın temelinde Legendre polinomlarını $(1+x)$ kuvvetleri cinsinden yazmak ve ardından sol yönlü Riemann–Liouville kesirli türevini uygulamak yatıyor. Polinomun açılımı kullanıldığında

$$(1+x)^{\alpha}D_{-1^{+}}^{\alpha}L_n(x) = \sum_{j=0}^{n} a_j \frac{\Gamma(j+1)}{\Gamma(j+1-\alpha)} (1+x)^j$$

elde edilir.

Daha sonra bu ifadeye sağ yönlü Caputo kesirli türevi uyguluyoruz. Ortaya çıkan terimler yeniden kuvvet serileri cinsinden düzenlendiğinde, kesirli Legendre denkleminin katsayıları belirlenebilir hâle geliyor.

Bu katsayılar arasındaki ilişkiler çözüldüğünde özdeğer doğrudan

$$e_{2}(\alpha,n) = -\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{\Gamma(n+1-\alpha)}$$

olarak ortaya çıkıyor.

Burada klasik Legendre denklemiyle arasındaki farkı açıkça görebiliriz. Klasik durumda özdeğer $n(n+1)$ biçimindeyken, kesirli durumda bu ifade gama fonksiyonları aracılığıyla

$$-\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{\Gamma(n+1-\alpha)}$$

şeklinde değişiyor.

Dolayısıyla kesirli genelleştirme, problemin özdeğer yapısını değiştirirken özfonksiyon ailesini koruyor.

Ortogonallik de Korunuyor

Bir başka güzel sonuç ise bu yeni çözümlerin ortogonalliğini koruması.

Kesirli Legendre probleminin farklı çözümlerini ele aldığımızda

$$\int_{-1}^{1} L_{\alpha,n}(x)L_{\alpha,m}(x) \, dx = 0, \qquad n\neq m$$

sonucunu elde ediyoruz.

Sturm–Liouville problemlerinde farklı özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonların ortogonal olması, teorinin en güçlü özelliklerinden biriydi. Burada da aynı yapı karşımıza çıkıyor.

Dahası, problemin doğrusal yapısı ve tümevarım kullanılarak bu kesirli çözümlerin, yalnızca bir sabit çarpanı göz ardı edildiğinde, klasik Legendre polinomlarıyla aynı olduğu gösterilebiliyor.

Yani elimizde oldukça sıra dışı bir durum var: Denklemin türevlerini değiştiriyoruz, özdeğerler değişiyor; fakat özfonksiyonlar, yani Legendre polinomları, aynı kalıyor.

Kesirli Türevlerden Yeni Ortogonal Fonksiyonlar

Legendre polinomlarının bu yapısından yararlanarak yeni fonksiyonlar da tanımlayabiliriz. Örneğin

$$P_n^{+}(x) := D_{-1^{+}}^{\alpha}L_n(x)$$

şeklinde tanımlanan fonksiyonlar, kendilerine ait başka bir kesirli diferansiyel denklemi çözer:

$$\left[ D_{-1^{+}}^{\alpha} {}^{c}D_{1^{-}}^{\alpha} (1-x^{2})^{\alpha} + e_2(\alpha,n) \right]P_n^{+}(x) = 0.$$

Üstelik bu fonksiyonlar da uygun ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir:

$$\int_{-1}^{1} (1-x^{2})^{\alpha} P_n^{+}(x)P_j^{+}(x) \, dx = \frac{-e_2(\alpha,n)\delta_{n,j}}{n+\frac{1}{2}}.$$

Burada $\delta_{n,j}$, $n=j$ olduğunda bir, diğer durumlarda sıfır olan Kronecker deltasıdır.

Benzer bir yapı, sağ yönlü kesirli türevler kullanılarak tanımlanan $P_n^{-}$ fonksiyonları için de elde edilir.

Bu sonuçlar yalnızca tek tek çözümler bulduğumuzu göstermiyor. Aynı zamanda kesirli türevler aracılığıyla yeni ortogonal fonksiyon sistemleri oluşturabileceğimizi de gösteriyor.

Legendre Serileri ile Kesirli Yapıyı Yeniden Yazmak

Şimdi bu sonuçları biraz daha ileri götürelim. İki keyfi fonksiyonu Legendre serileri cinsinden açtığımızı düşünelim. Bu durumda kesirli türevlerin çarpımının integrali, Legendre serilerinin katsayıları üzerinden ifade edilebiliyor:

$$\begin{aligned} \int_{-1}^{1} (1-x^{2})^{\alpha} D_{-1^{+}}^{\alpha}f(x) D_{-1^{+}}^{\alpha}g(x) \, dx &= -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e_2(\alpha,n)a_nb_n}{n+\frac{1}{2}}, \\ \int_{-1}^{1} (1-x^{2})^{\alpha} D_{1^{-}}^{\alpha}f(x) D_{1^{-}}^{\alpha}g(x) \, dx &= -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e_2(\alpha,n)a_nb_n}{n+\frac{1}{2}}. \end{aligned}$$

Bu ifadeler, kesirli diferansiyel işlemleri Legendre serilerinin katsayıları üzerinden incelememize olanak sağlıyor. Başka bir deyişle, karmaşık görünen kesirli türev işlemleri uygun bir fonksiyon tabanı seçildiğinde çok daha düzenli bir cebirsel yapıya dönüşebiliyor.

Son olarak, kesirli integraller kullanılarak tanımlanan $S_n^{+}$ ve $S_n^{-}$ fonksiyonlarının da kendilerine karşılık gelen kesirli diferansiyel denklemleri çözdüğü gösterilebilir.

Böylece Legendre polinomlarından başlayarak kesirli türev ve integraller aracılığıyla birbirleriyle ilişkili geniş bir fonksiyon ailesi elde ediyoruz.

Bu noktada teori oldukça güçlü bir hâle geliyor. Ancak doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Bütün bu matematiksel yapılar gerçek problemlerin çözümünde işe yarıyor mu?

Çalışmanın son bölümünde tam olarak bu sorunun peşine düşüyor ve Legendre integral dönüşümünü kullanarak iki farklı kesirli diferansiyel denklemi çözüyoruz.

Legendre İntegral Dönüşümü

Şimdi teorimizi uygulamaya dönüştürecek önemli bir araca geliyoruz: Legendre integral dönüşümü.

Temel fikir oldukça basit. Karmaşık bir kesirli diferansiyel denklemi doğrudan çözmek yerine, problemi Legendre polinomları üzerinden yeni bir gösterime taşıyoruz. Böylece diferansiyel operatörün etkisini, fonksiyonun Legendre serisindeki katsayıları üzerinden incelemek mümkün hâle geliyor.

Öncelikle çalışmamızda sıkça kullanacağımız operatörü

$$R_{\alpha} := {}^{c}D_{1^{-}}^{\alpha} (1-x^{2})^{\alpha} D_{-1^{+}}^{\alpha}$$

şeklinde tanımlayalım.

Legendre İntegral Dönüşümü Nedir?

Bir $f(x)$ fonksiyonunu, tek bir fonksiyon yerine bir sayı dizisiyle ifade etmek istediğimizi düşünelim. Legendre integral dönüşümü tam olarak bunu yapar.

[!definition] Tanım 2.1
Legendre integral dönüşümü, $f(x)$ fonksiyonunu $F(n)$ sayı dizisine

$$F(n) = Tf := \int_{-1}^{1} f(x)L_n(x) \, dx$$

bağıntısıyla dönüştürür.

Bu dönüşümün tersine karşılık gelen Legendre serisi ise

$$T^{-1}F(n) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(n+\frac{1}{2}\right) F(n)L_n(x)$$

şeklindedir.

Buradaki fikir Fourier dönüşümüne oldukça benzer. Bir fonksiyonu doğrudan ele almak yerine, onu uygun bir fonksiyon ailesine, burada Legendre polinomlarına, göre açıyoruz. Böylece sürekli bir problem, uygun koşullar altında bir katsayılar problemine dönüştürülebiliyor.

Önce Klasik Duruma Bakalım

Kesirli duruma geçmeden önce, $\alpha=1$ olan klasik durumu incelemek faydalı.

Bu durumda Legendre dönüşümü, $R_1$ operatörünün etkisini oldukça basit bir biçime indirger:

$$TR_1f = n(n+1)F(n).$$

Bu sonuç çok anlamlıdır. Çünkü klasik Legendre polinomları, ilgili Sturm–Liouville operatörünün özfonksiyonlarıdır. Dolayısıyla operatörü bir Legendre polinomuna uyguladığımızda yalnızca o polinomun kendisinin bir sabit katını elde ederiz.

Diğer bazı integral işlemleri de Legendre dönüşümü altında benzer biçimde ifade edilebilir:

$$TI_{1^{-}}^{1}(1+x)^{-1}f = \frac{(-1)^n}{2^n n!} \sum_{k=0}^{n} \left[ \sum_{j=k}^{n} a_n^j \frac{1}{j+1} c_j^k \right]F(k).$$

Buradaki $a_n^j$ ve $c_j^k$ katsayıları, Legendre polinomlarının ilgili açılımlarından elde edilen katsayılardır. Ayrıntılı ifadeleri burada vermek yerine, dönüşümün temel fikrine odaklanmak daha yararlı olacaktır.

Kesirli Duruma Geçiş

Şimdi asıl meseleye gelelim. Klasik durumda elde ettiğimiz bu yapıyı kesirli türevlere genişlettiğimizde ne olur?

Sonuç oldukça düzenli:

[!proposition] Önerme 2.2
Legendre integral dönüşümü altında kesirli operatör $R_{\alpha}$

$$TR_{\alpha}f = \frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{\Gamma(n+1-\alpha)} F(n)$$

şeklinde davranır.

Ayrıca kesirli integraller için

$$\begin{aligned} TI_{1^{-}}^{\alpha}(1+x)^{-\alpha}f(x) &= \frac{(-1)^n}{2^n n!} \sum_{k=0}^{n} \left[ \sum_{j=k}^{n} a_n^j \frac{\Gamma(j+1)}{\Gamma(j+\alpha+1)} c_j^k \right]F(k), \\ TI_{-1^{+}}^{\alpha}(1-x)^{-\alpha}f(x) &= \frac{1}{2^n n!} \sum_{k=0}^{n} \left[ \sum_{j=k}^{n} a_n^j \frac{\Gamma(j+1)}{\Gamma(j+\alpha+1)} c_j^k(-1)^k \right]F(k). \end{aligned}$$

Buradaki ilk sonuç özellikle önemli. Çünkü kesirli operatörü Legendre dönüşümüne uyguladığımızda, karmaşık bir kesirli diferansiyel işlem yerine

$$\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{\Gamma(n+1-\alpha)}$$

çarpanının ortaya çıktığını görüyoruz.

Bu, kesirli Legendre denkleminin neden bu kadar kullanışlı olduğunu da açıklıyor. Doğrudan $x$ uzayında oldukça karmaşık görünen kesirli diferansiyel operatör, Legendre dönüşümü altında çok daha basit bir cebirsel yapıya dönüşüyor.

Bu sonuçların ispatında temel olarak Legendre dönüşümünün tanımı kullanılıyor. Kesirli integralin tanımı dönüşüm integraline yerleştiriliyor, Legendre polinomlarının açılımı kullanılıyor ve terimler yeniden düzenleniyor. Uzun katsayı hesaplarının sonunda yukarıdaki ifadeler elde ediliyor. Sağ yönlü integral için ise Legendre polinomlarının yansıma simetrisinden yararlanılıyor.

Başka bir ifadeyle, Legendre dönüşümü burada yalnızca alternatif bir gösterim biçimi değil. Kesirli diferansiyel denklemleri çözmemizi sağlayan temel araçlardan biri hâline geliyor.

Bir sonraki bölümde bu dönüşümün gücünü doğrudan göreceğiz. Legendre dönüşümünü kullanarak iki farklı kesirli diferansiyel denklemi çözecek ve şimdiye kadar geliştirdiğimiz teorinin nasıl somut bir çözüm yöntemine dönüştüğünü göstereceğiz.

Uygulamalar: Gerçek Problemleri Çözelim

Buraya kadar geliştirdiğimiz teorinin asıl değerini şimdi görebiliriz. Kesirli Sturm–Liouville operatörlerini tanımladık, temel özelliklerini inceledik, Legendre polinomlarının bu yeni denklemlerle olan ilişkisini ortaya koyduk ve Legendre integral dönüşümünü geliştirdik.

Şimdi bütün bu araçları gerçek diferansiyel denklemleri çözmek için kullanalım.

Varyasyonel Problemler

İlk olarak, bir varyasyonel problemden ortaya çıkan ve serbest bir parametre ile dış kuvvet terimi içeren daha genel bir denklemi ele alalım. Kesirli kısmi integrasyon işlemlerinden sonra problem

$$[R_{\alpha}-\lambda]f(x) = g(x)$$

şeklindeki homojen olmayan bir kesirli diferansiyel denkleme dönüşüyor.

Burada $g(x)$ dışarıdan uygulanan bir etkiyi, $\lambda$ ise problemdeki serbest parametreyi temsil ediyor.

Legendre integral dönüşümünün gücü tam da burada ortaya çıkıyor. Denklemin dönüşümünü alırsak, diferansiyel denklem Legendre katsayıları için çok daha basit bir cebirsel bağıntıya dönüşüyor:

$$F(n) = -\frac{G(n)}{e_2(\alpha,n)+\lambda}.$$

Ters Legendre dönüşümünü uyguladığımızda ise çözümü doğrudan bir seri olarak elde ediyoruz:

$$f(x) = -\sum_{n=0}^{\infty} \left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{G(n)}{e_2(\alpha,n)+\lambda} L_n(x).$$

Bu sonuç oldukça güzel bir örnek sunuyor: Başlangıçta karmaşık görünen kesirli diferansiyel denklem, uygun bir fonksiyon tabanı seçildiğinde katsayılar üzerinden çözülebilen basit bir probleme dönüşüyor.

Burada elde ettiğimiz çözüm özel çözümdür. Genel çözümü elde etmek için buna

$$[R_{\alpha}-\lambda]f_0(x) = 0$$

homojen denkleminin çözümünü de eklemek gerekir.

Daha Karmaşık Operatörler de Mümkün

Yöntemimizin güzel tarafı, tek bir kesirli operatörle sınırlı olmamasıdır. Birden fazla kesirli türev ve integral içeren çok bileşenli operatörlere de aynı yaklaşımı uygulayabiliriz.

Bu durumda ortaya çıkan denklemler çok daha karmaşık görünse de temel fikir değişmez: Denklemi Legendre uzayına taşı, katsayıları belirle ve ardından ters dönüşümü uygula. Uygun yakınsaklık koşulları altında bu daha genel operatörler için de benzer seri çözümleri elde etmek mümkündür.

Kesirli Difüzyon

Şimdi çok daha fiziksel bir probleme geçelim: difüzyon.

Klasik difüzyon denklemi, bir maddenin veya enerjinin uzayda zamanla nasıl yayıldığını açıklar. Ancak bazı sistemlerde yayılma davranışı klasik difüzyondan sapar. Özellikle ortamın geçmişi önemli olduğunda, kesirli türevler bu davranışı modellemek için doğal bir araç hâline gelir.

Bu nedenle zaman değişkeninin klasik, uzay değişkeninin ise kesirli olduğu şu modeli ele alalım:

$$-k_{\alpha}R_{\alpha,x}u(x,t) = \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}.$$

Başlangıç koşulumuz

$$u(x,0) = g(x)$$

olsun.

Legendre integral dönüşümünü uyguladığımızda, kesirli uzay operatörü yine bir özdeğer çarpanına dönüşüyor. Böylece başlangıçtaki kısmi diferansiyel denklem, her bir Legendre katsayısı için bağımsız bir adi diferansiyel denkleme ayrılıyor.

Sonuçta çözüm

$$u^{c}(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(n+\frac{1}{2}\right) G(n) e^{k_{\alpha}e_2(\alpha,n)t} L_n(x)$$

şeklinde elde ediliyor. Burada $G(n)$, başlangıç fonksiyonunun Legendre dönüşümündeki katsayılarını gösteriyor.

Bu formülün arkasındaki fikir aslında oldukça basit. Başlangıçtaki karmaşık kesirli kısmi diferansiyel denklemi doğrudan çözmek yerine, önce Legendre polinomları üzerinden parçalara ayırıyoruz. Her bir parça için yalnızca bir adi diferansiyel denklem çözmek yeterli oluyor. Son olarak bütün parçaları yeniden bir araya getirerek $u(x,t)$ çözümünü elde ediyoruz.

Uygun koşullar altında serinin düzgün yakınsadığı da gösterilebiliyor. Dolayısıyla burada yalnızca biçimsel bir çözüm değil, matematiksel olarak iyi tanımlanmış bir çözüm elde ediyoruz.

Bu yaklaşım sınır değer problemlerini de içerecek şekilde genişletilebilir. Uygun sabit durum çözümleri eklenerek zamana bağlı çözüm ile uzun zamanda ortaya çıkan denge durumu birlikte incelenebilir.

Yansıma Simetrisine Sahip Kesirli Difüzyon

Bir sonraki adımda difüzyon operatörünün yansıma simetrisini de dikkate alabiliriz.

Eğer hem problem hem de başlangıç fonksiyonu yansıma simetrisine sahipse, Legendre polinomlarının

$$L_{2n}(-x)=L_{2n}(x), \qquad L_{2n+1}(-x)=-L_{2n+1}(x)$$

özelliklerinden yararlanabiliriz.

Başlangıç fonksiyonu çift olduğunda tek indisli Legendre katsayıları otomatik olarak ortadan kalkar. Böylece çözüm yalnızca çift dereceli Legendre polinomlarından oluşur.

Bu durumda seri çözümü önemli ölçüde sadeleşir:

$$u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(2n+\frac{1}{2}\right) G(2n) e^{k_{\alpha}e_2(\alpha,2n)t} L_{2n}(x).$$

Bu sonuç, problemin simetrisinin çözümün matematiksel yapısına doğrudan yansıdığını gösteriyor.

Modele ayrıca bir $\lambda$ terimi eklendiğinde de yöntem değişmiyor. Yalnızca zaman bağımlılığındaki üstel ifadeye ilgili parametre ekleniyor. Böylece daha genel bir simetrik kesirli difüzyon modeli elde edilebiliyor.

Bundan Sonra Nereye Gidebiliriz?

Burada anlattığımız yöntem aslında yalnızca Legendre polinomlarıyla sınırlı değil.

Aynı yaklaşım Laguerre veya Jacobi denklemleri gibi diğer klasik Sturm–Liouville sistemlerine de uygulanabilir. Her bir fonksiyon ailesinin kendine özgü integral dönüşümünü kullanarak yeni kesirli operatörler ve yeni diferansiyel denklem sınıfları elde etmek mümkün olabilir.

Benzer şekilde, farklı Legendre dönüşümlerinin birleştirilmesi veya klasik Riemann–Liouville türevleri yerine daha genel kesirli türevlerin kullanılması da yeni araştırma alanları açabilir. Literatürdeki farklı kesirli türev tanımları, bu tür yeni Sturm–Liouville modellerinin geliştirilmesi için oldukça geniş bir alan sunuyor.

Dolayısıyla burada sunduğumuz teori, tamamlanmış bir hikâyeden çok, yeni problemlere açılan bir başlangıç noktası olarak görülebilir.

Sonuç

Böylece yolculuğumuzun sonuna geldik.

Önce klasik Sturm–Liouville teorisinin neden matematik ve fiziğin temel araçlarından biri olduğunu gördük. Ardından klasik türevlerin ötesine geçerek sol ve sağ Riemann–Liouville ile Caputo kesirli türevlerini bir araya getiren yeni kesirli Sturm–Liouville operatörleri tanımladık.

Bu yeni problemlerin yalnızca biçimsel genellemeler olmadığını gösterdik. Regüler ve tekil problemlerin özdeğerlerinin gerçel olduğunu ve farklı özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonların uygun ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal kaldığını ortaya koyduk.

Ardından kesirli Legendre denklemini inceledik ve belki de çalışmanın en şaşırtıcı sonucunu elde ettik: klasik Legendre polinomları, kesirli Legendre denkleminin de çözümleri olarak karşımıza çıkıyor. Buna karşılık özdeğerler değişiyor ve gama fonksiyonları aracılığıyla

$$e_2(\alpha,n) = -\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{\Gamma(n+1-\alpha)}$$

şeklinde ifade ediliyor.

Sonrasında Legendre integral dönüşümünü kullanarak bu teoriyi somut problemlere uyguladık. Hem varyasyonel yapıdan ortaya çıkan homojen olmayan kesirli diferansiyel denklemler için seri çözümler elde ettik hem de uzay değişkeninde kesirli türev içeren difüzyon denklemlerini analitik olarak çözdük. Üstelik uygun koşullar altında elde edilen serilerin düzgün yakınsadığını da gösterdik.

Bu sonuçlar, kesirli Sturm–Liouville teorisinin yalnızca soyut bir matematiksel yapı olmadığını; difüzyon ve daha genel kesirli diferansiyel denklemler gibi problemlerin modellenmesi ve çözülmesinde kullanılabilecek güçlü bir araç olduğunu gösteriyor.

Ve belki de en heyecan verici nokta şu: Burada yaptıklarımız, kesirli Sturm–Liouville teorisinin yalnızca küçük bir bölümünü oluşturuyor. Legendre yerine başka klasik ortogonal polinom ailelerini kullandığımızda ne olacağını henüz tam olarak bilmiyoruz. Daha genel kesirli türevler, farklı integral dönüşümleri ve farklı simetriler kullanıldığında karşımıza hangi yeni operatörlerin ve hangi yeni özel fonksiyonların çıkacağını keşfetmek hâlâ açık bir araştırma alanı.

Kısacası, klasik Sturm–Liouville teorisi ile kesirli kalkülüsün kesiştiği bu yeni dünyada önümüzde keşfedilecek oldukça geniş bir alan var.

Ek: Rodrigues Formülünün Adım Adım Uygulanması

Bu bölümde kullandığımız katsayıların nereden geldiğini merak eden okuyucular için Rodrigues formülünü adım adım inceleyelim.

$D=d/dx$ olmak üzere klasik Legendre polinomları

$$L_n(x) = \frac{(-1)^n}{2^n n!} D^n(1-x^2)^n = \frac{(-1)^n}{2^n n!} D^n(1-x)^n(1+x)^n$$

şeklinde tanımlanır.

Öncelikle polinomu $(1+x)^j$ terimleri cinsinden yazalım:

$$\begin{aligned} L_n(x) &= \frac{(-1)^n}{2^n n!} D^n \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} 2^{n-j}(-1)^j (1+x)^{n+j} \\ &= \frac{(-1)^n}{2^n n!} \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} 2^{n-j}(-1)^j \frac{\Gamma(n+j+1)}{\Gamma(j+1)} (1+x)^j \\ &= \frac{(-1)^n}{2^n n!} \sum_{j=0}^{n} a_n^j(1+x)^j. \end{aligned}$$

Aynı işlem yansıma yoluyla $(1-x)^j$ terimleri için de yapılabilir:

$$L_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \sum_{j=0}^{n} a_n^j(1-x)^j.$$

Bu açılımlar, kesirli integral işlemlerini Legendre polinomlarına uygularken temel rol oynar.

Örneğin sol yönlü kesirli integral uygulandığında

$$(1+x)^{-\alpha} I_{-1^{+}}^{\alpha}L_n(x) = \frac{(-1)^n}{2^n n!} \sum_{j=0}^{n} a_n^j \frac{\Gamma(j+1)}{\Gamma(j+\alpha+1)} (1+x)^j$$

elde edilir.

Son adımda ise $(1+x)^j$ terimlerini yeniden Legendre polinomları cinsinden ifade ederiz. Bunun katsayıları

$$\begin{aligned} c_j^m &= \left(m+\frac12\right) \int_{-1}^{1} L_m(x)(1+x)^j \, dx \\ &= \left(m+\frac12\right) \frac{(-1)^m}{2^m m!} \sum_{l=0}^{m} a_m^l \frac{2^{l+j+1}}{l+j+1} \end{aligned}$$

şeklindedir.

Dolayısıyla

$$(1+x)^j = \sum_{k=0}^{j} \left[ \left(k+\frac12\right) \frac{(-1)^k}{2^k k!} \sum_{l=0}^{k} a_k^l \frac{2^{l+j+1}}{l+j+1} \right] L_k(x).$$

Bütün bu hesapların amacı yalnızca katsayıları elde etmek değil. Daha önemli olan, Legendre polinomlarının kesirli integral ve türev işlemleri altında nasıl davrandığını açıkça görebilmek. Önceki bölümlerde elde ettiğimiz dönüşüm formüllerinin arkasındaki cebirsel yapı da tam olarak buradan geliyor.

Kaynakça

1. A. Zettl, Sturm-Liouville Theory, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 121, American Mathematical Society, 2005.
2. R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Volume 1, Interscience Publishers, Inc., New York, 1953.
3. C.J. Tranter, Legendre transforms, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 1 (1950) 1–8.
4. R.V. Churchill, New operational mathematics—the operational calculus of Legendre transforms, Technical Report No. 1, Project 2137 Ordnance Corps, US Army, Contract No. DA-20-018-ORD-12916, August, 1953.
5. L. Debnath, C.W. Harrell, The operational calculus of associated Legendre transforms-1, Indian J. Pure Appl. Math. 7 (1976) 278–291.
6. L. Debnath, D. Bhatta, Integral Transforms and their Applications, second ed., Chapman & Hall/CRC, Taylor & Francis Group, New York, 2007.
7. R.K. Gupta, S.D. Gupta, Operational calculus of spheroidal wave angle functions (generalized Legendre transform), Indian J. Pure Appl. Math. 8 (1976) 602–610.
8. R.K. Gupta, S.D. Gupta, Some operational properties of generalized Legendre transform and their applications II, Indian J. Pure Appl. Math. 8 (1976) 589–601.
9. P.L. Butzer, R.L. Stens, M. Wehrens, The continuous Legendre transform, its inverse transform, and applications, Int. J. Math. Math. Sci. 3 (1) (1980) 47–67.
10. E.Y. Deeba, E.L. Koh, Operational calculus for the continuous Legendre transform with applications, Int. J. Math. Math. Sci. 12 (2) (1989) 355–362.
11. A. Carpinteri, F. Mainardi (Eds.), Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Telos, Springer-Verlag, 1998.
12. R. Hilfer (Ed.), Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, Singapore, 2000.
13. R.L. Magin, Fractional Calculus in Bioengineering, Begell House Inc., Redding, CT, 2006.
14. I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, CA, USA, 1999.
15. B.J. West, M. Bologna, P. Grigolini, Physics of Fractal Operators, Springer Verlag, New York, NY, 2003.
16. M. Klimek, O.P. Agrawal, On a regular fractional Sturm-Liouville problem with derivatives of order in (0,1), in: Proceedings of the 13th International Carpathian Control Conference, Vysoke Tatry (Podbanske), Slovakia, 28–31 May 2012. http://dx.doi.org/10.1109/CarpathianCC.2012.6228655.
17. Q.M. Al-Mdallal, An efficient method for solving fractional Sturm-Liouville problems, Chaos Solitons Fractals 40 (2009) 183–189.
18. Q.M. Al-Mdallal, On the numerical solution of fractional Sturm-Liouville problems, Int. J. Comput. Math. 87 (2010) 2837–2845.
19. A. Neamaty, R. Darzi, A. Dabbaghian, J. Golipoor, Introducing an iterative method for solving a special FDE, Int. Math. Forum 4 (2009) 1449–1456.
20. V.S. Erturk, Computing eigenelements of Sturm-Liouville problems of fractional order via fractional differential transform method, Math. Comput. Appl. 16 (2011) 712–720.
21. J. Qi, S. Chen, Eigenvalue problems of the model from nonlocal continuum mechanics, J. Math. Phys. 52 (073516) (2011).
22. T.M. Atanackovic, B. Stankovic, Generalized wave equation in nonlocal elasticity, Acta Mech. 208 (2009) 1–10.
23. M. d'Ovidio, From Sturm-Liouville problems to fractional and anomalous diffusions, Stochastic Process. Appl. 122 (2012) 3513–3544.
24. D. Baleanu, K. Diethelm, E. Scalas, Fractional Calculus: Models and Numerical Methods, World Scientific Publishing Company, Singapore, 2012.
25. A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, Netherlands, 2006.
26. S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach, PA, 1993.
27. D. Baleanu, J.A. Tenreiro Machado, A.C.J. Luo (Eds.), Fractional Dynamics and Control, Springer, New York, NY, 2012.
28. M. Klimek, On Solutions of a Linear Fractional Differential Equations of a Variational Type, The Publishing Office of the Czestochowa University of Technology, Czestochowa, 2009.
29. O.P. Agrawal, Generalized variational problems and Euler-Lagrange equations, Comput. Math. Appl. 59 (2010) 1852–1864.
30. O.P. Agrawal, Some generalized fractional calculus operators and their applications in integral equations, Fract. Calc. Appl. Anal. 15 (4) (2012) 700–711.
31. M. Klimek, O.P. Agrawal, Regular fractional Sturm-Liouville problem with generalized derivatives of order in (0,1), in: Proceedings of the IFAC Joint Conference: 5th SSSC, 11th WTDA, 5th WFDA, Grenoble, France, 4–6 February 2013 (in press).
32. J.L. Forman, M. Soerensen, The Pearson diffusions: a class of statistically tractable diffusion processes, Scand. J. Statist. 35 (2008) 438–465.
33. N.N. Leonenko, M.M. Meerschaert, A.A. Sikorskii, Fractional Pearson diffusion, 2011. Preprint http://www.stt.msu.edu/~mcubed/LMS.pdf.