Yarı İletken Fiziği Serisi Bölüm 3: Katıların Kuantum Teorisine Giriş II

Katıların Kuantum Teorisine Giriş II

Giriş: Üç Boyuta Genişletme

Geçtiğimiz yazımızda özetle, izin verilen/yasaklı enerji bantlarının ne olduğuna dair temel seviyede bir kazanım elde ettik. Bu yazımızda, işlediğimiz konseptleri üç boyuta ve gerçek kristallere genişleteceğiz. Üç boyutlu kristallerin özel karakteristiğini E-k grafikleriyle, yasak bant (bandgap) enerjisiyle ve etkin kütle (effective mass) ile niteliksel olarak ele alacağız. Tekrardan belirtmek isteriz ki bu yazıda ileri seviye detaylı açıklamalar atlanıcaktır, burada asıl amacımız okuyucularımıza bu konseptlere dair temel bir zemin inşa etmektir.

Potansiyel fonksiyonunu üç boyuta genişletmeye çalıştığımızda karşımıza çıkan bir sorun var: kristaldeki atomlar arası mesafenin, kristaldeki yöne göre değişkenlik göstermesi. Farklı yönlerde ilerleyen elektronlar birbirinden farklı potansiyel örüntüleriyle ve dolayısıyla farklı k-uzayı sınırları ile karşılaşırlar. Bu durumda, kristali anlamamız için kristaldeki k-uzayı yönünün bir fonksiyonu olarak enerji diyagramlarına bakacağız.

k - Uzayı Diyagramları: Si ve GaAs

Tekrardan hatırlatalım; Yarı iletken fiziğinde bir elektronun davranışı yalnızca sahip olduğu enerji ($E$) ile değil, aynı zamanda kristal kafes içindeki dalga vektörü ($k$) ile belirlenir. Dalga vektörü ($k$), kuantum mekaniğinde elektronun kristal içindeki momentumuyla doğrudan orantılıdır ($p = \hbar k$).

• Enerji-Momentum İlişkisi: $E-k$ diyagramı, bir elektronun izin verilen enerji bantlarında (Değerlik (valence) Bandı ve İletim (conduction) Bandı) hareket ederken momentumuna bağlı olarak enerjisinin nasıl değiştiğini gösteren bir haritadır.
• Fiziksel Önemi: Elektronların ve hollerin (holes) etkin kütlesi ($m^*$), enerji bandının eğriliğinden ($m^* \propto [\frac{d^2E}{dk^2}]^{-1}$) türetilir. Bu diyagramlar sayesinde malzemenin elektriksel iletkenliği, optik emilimi/ışıması ve taşıyıcı hareketliliği doğrudan analiz edilebilir.

Diyagramları incelemeden önce doğrudan (direct) ve dolaylı (indirect) geçişten kısaca bahsedelim çünkü bu ayrım yarı iletkenleri anlamaya çalışırken bilmemiz gereken bir özelliktir. Doğrudan ve dolaylı geçişler arasındaki farkı tam olarak anlamanın anahtarı Momentumun Korunumu Yasası'dır.

• Doğrudan Geçiş (Direct Transition)

  İletim bandının en düşük enerji seviyesi (minimum) ile değerlik bandının en yüksek enerji seviyesi (maksimum) aynı $k$ değerinde (genellikle $k=0$ yani $\Gamma$ noktasında) üst üste gelir. Elektron tek bir adımda değerlik bandına düşer. Fotonlar yüksek enerji taşırken momentumları ($p_{foton} = h/\lambda$) elektronun momentumuna kıyasla ihmal edilebilecek kadar küçüktür. Dolayısıyla bu geçişte momentum değişimi yaşanmaz ($\Delta k \approx 0$). Enerji doğrudan bir foton (ışık) olarak yayınlanır. Süreç çok hızlıdır ve optik verim yüksektir.

• Dolaylı Geçiş (Indirect Transition)

  İletim bandının minimumu ile değerlik bandının maksimumu farklı $k$ (momentum) değerlerinde bulunur. Elektron alt banda geçerken sadece enerji kaybetmekle kalmaz, aynı zamanda büyük bir konum/momentum kayması yapmak zorundadır. Foton momentum değişimini karşılayamadığından sisteme kristal örgü titreşimi olan bir fonon (ışıl/ısı parçacığı) dahil olmak zorundadır. Elektron + Foton + Fonon etkileşimini gerektiren bu 3'lü süreç çok daha düşük olasılıklıdır. Enerjinin büyük kısmı ışık yerine ısıya (fonon-örgü titreşimi) dönüşür.

Şekil (2), galyum arsenit (GaAs) ve silisyumun (Si) E-k diyagramlarını göstermektedir. Şekilde görüldüğü üzere GaAs'te değerlik bandı maksimumu ile iletim bandı minimumu tam olarak aynı $k$ değerinde ($k=0$) yer alır. İletim bandındaki elektronlar bu noktadaki minimum enerjiye, değerlik bandındaki delikler ise maksimuma toplanır. Geçiş sırasında momentum değişimi gerekmediği için GaAs; LED, yarı iletken lazerler ve optoelektronik cihazlar için ideal bir doğrudan bant malzemesidir. Silisyumda ise iletim bandı minimumu $k=0$ noktasında değil, [100] yönü boyunca $k=0$'dan uzakta bir noktada yer alır. Değerlik bandı maksimumu ise $k=0$'dadır. Elektronların bantlar arası geçişi momentum değişimi gerektirdiğinden (fonon yardımıyla), Si ışık yayma konusunda son derece verimsizdir. Ancak uygun bant aralığı, doğal oksit tabakası ($SiO_2$) ve mükemmel elektriksel özellikleri sayesinde mikroişlemciler, entegre devreler ve güneş pilleri için temel malzeme konumundadır. E-k grafiğinde standart pozitif ve negatif $k$ eksenleri yerine iki farklı kristal yönü temsil edilmektedir. Tek boyutlu modelde E-k diyagramı $k=0$ noktasına göre simetrik olduğundan, negatif ekseni tekrar çizmek bizlere ek bir bilgi sağlamaz. Bu nedenle genel yaklaşım; [100] yönünü sağa doğru, [111] yönünü ise sola doğru çizmektir. Elmas veya çinko blende kristal yapılarında; değerlik bandı maksimumları ile iletim bandı minimumları ya $k=0$'da ya da bu yönler üzerinde ortaya çıkar.

Tıpkı Silisyum (Si) gibi Germanyum (Ge) da dolaylı bant aralıklı bir yarı iletken malzemedir. Germanyumda değerlik bandının maksimum noktası $k = 0$ noktasında yer alırken, iletim bandının minimum noktası [111] yönü boyunca konumlanmıştır. Dolayısıyla Germanyumda da bantlar arası geçişlerde momentumun korunumu için sisteme bir fononun (kristal titreşimi) katılması şarttır.

Etkin Kütle Kavramları (Effective Mass Concepts)

Bir elektronun kristal örgü içerisindeki hareketi, genel olarak serbest uzaydaki hareketinden farklıdır. Örgüdeki elektronun hareketini yalnızca dışarıdan uygulanan bir kuvvet belirlemez; bunun yanı sıra pozitif yüklü iyonlar (veya protonlar) ile diğer negatif yüklü elektronlardan kaynaklanan kristal içi kuvvetler de bu harekete etki eder. Kristal içerisindeki bir parçacığa etki eden toplam kuvvet ($F_{\text{toplam}}$), uygulanan dış kuvvet ($F_{\text{dış}}$) ile iç kuvvetlerin ($F_{\text{iç}}$) toplamıdır:

$$F_{\text{toplam}} = F_{\text{dış}} + F_{\text{iç}} = m \cdot a \quad$$

Burada $a$ parçacığın ivmesini, $m$ ise durgun kütlesini temsil eder. Kristal içindeki tüm iç kuvvetleri tek tek hesaba katmak son derece zor olduğundan, denklem doğrudan dış kuvvetle ivmeyi ilişkilendirecek şekilde basitleştirilebilir:

$$F_{\text{dış}} = m^* \cdot a \quad$$

Buradaki $m^*$ parametresi etkin kütle (effective mass) olarak adlandırılır. Etkin kütle kavramı, parçacığın yalın kütlesi ile kristal içi karmaşık etkileşimlerin toplam etkisini tek bir nicelikte birleştirir.

İletim bandının minimum enerji seviyesi civarındaki $E-k$ eğrisinin bükülme miktarı (eğriliği), elektronun etkin kütlesi (effective mass) ($m^*$) ile doğrudan ilişkilidir:

Kuantum mekaniğinde ve yarı iletken fiziğinde elektronun etkin kütlesi, tek boyutlu $E-k$ modeli için şu denklemle tanımlanır:

$$\frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2E}{dk^2} \tag{1}$$

İkinci Türev ($\frac{d^2E}{dk^2}$): Grafiğin eğriliğini (bükülme miktarını) gösterir. Bükülme ne kadar fazla (grafik ne kadar dik/dar) ise ikinci türev o kadar büyük, dolayısıyla etkin kütle ($m^*$) o kadar küçüktür. Şekil (2)'deki grafiklere tekrar bakacak olursak, galyum arsenitin (GaAs) İletim bandının minimum noktasındaki eğrilik çok büyüktür (keskin bir çukur/bükülme vardır). Bu nedenle GaAs'in iletim bandındaki bir elektronun etkin kütlesi daha küçüktür.

Silisyumunsa (Si) iletim bandı minimumundaki bükülme daha yayvan/düzdür. Bu da Si içindeki elektronların etkin kütlesinin GaAs'e kıyasla daha büyük olduğu anlamına gelir. Etkin kütlesi küçük olan elektronlar kristal içinde elektrik alana karşı daha hızlı tepki verir ve daha yüksek hareketliliğe (mobility) sahip olurlar. GaAs'in yüksek frekanslı ve hızlı devrelerde tercih edilmesinin ana nedenlerinden biri de bu düşük etkin kütledir.

Durum Yoğunluğu Fonksiyonu (Density of States Function)

Yarı iletken elemanların akım-gerilim ($I-V$) karakteristiklerini belirleyebilmek için kristal içindeki serbest elektron ve delik (taşıyıcı) sayılarını bilmemiz gerekir. Akım taşıyıcılarının miktarını hesaplamak ise doğrudan Durum Yoğunluğu Fonksiyonu'na (DoS) dayanır. Pauli İllkesi ve Enerji Seviyeleri: Pauli Dışlama İlkesi'ne göre, belirli bir kuantum durumunda (energy state) yalnızca tek bir elektron bulunabilir. Dolayısıyla iletkenliğe katkı sağlayacak elektron sayısı, elektronların yerleşebileceği kullanılabilir durumların sayısıyla sınırlıdır. Enerji bantları sürekli gibi görünse de aslında birbirine çok yakın, ayrık kuantum seviyelerinden oluşur. Şimdiki temel amacımız ise, elektron ve hol konsantrasyonlarını (yoğunluklarını) hesaplayabilmek için ilk olarak enerjinin bir fonksiyonu olarak izin verilen bu kuantum durumlarının birim hacimdeki yoğunluğunu ($g(E)$) belirlemektir.

Matematiksel Türetim

İzin verilen kuantum durumlarının enerjiye bağlı yoğunluğunu hesaplayabilmek için uygun bir matematiksel modelden yola çıkmamız gerekir. Elektronlar, bir yarı iletkenin iletim bandında nispeten serbest hareket edebilseler de nihayetinde kristal sınırları içinde sınırlanmışlardır. İlk aşamada, bu kristali temsil etmek üzere, üç boyutlu sonsuz potansiyel kuyusuna hapsedilmiş serbest bir elektronu inceleyeceğiz. Söz konusu sonsuz potansiyel kuyusunun potansiyeli ise şöyle tanımlanır:

$$V(x, y, z) = \begin{cases} 0, & 0 \le x \le a, \; 0 \le y \le a, \; 0 \le z \le a \text{ için} \\ \infty, & \text{diğer yerlerde} \end{cases} \tag{2}$$

Burada kristalin $a$ kenar uzunluğuna sahip bir küp olduğu varsayıyoruz. Üç boyuttaki Schrödinger dalga denklemini, değişkenlerine ayırma yöntemiyle (separation of variables) çözebiliriz.

Tek boyuttaki sonsuz potansiyel kuyusunun sonuçlarındaki bilgimizi kullanarak üç boyut için şunu gösterebiliriz:

Dalga Vektörünün ($k$) Bileşenleri Cinsinden:

$$k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} \tag{3}$$

Kuantum Sayıları ($n_x, n_y, n_z$) sınır koşulları uygulandığında küp Kenarı ($a$) Cinsinden:

$$k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \frac{(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)\pi^2}{a^2} \tag{4}$$

şeklini alır. (Burada $n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \dots$ pozitif tam sayı olan kuantum sayılarıdır.)

($n_x$, $n_y$ ve $n_z$ için negatif değerler, pozitif tam sayı değerleriyle aynı olasılık fonksiyonuna ve enerjiye sahip dalga fonksiyonları üretir (yalnızca işaret farkı olur); bu nedenle negatif tam sayılar farklı bir kuantum durumunu temsil etmez.) İzin verilen kuantum durumlarını $k$-uzayında şematik olarak çizebiliriz. Şekil (3.a), $k_x$ ve $k_y$'nin bir fonksiyonu olarak iki boyutlu bir grafiği göstermektedir. Her bir nokta, $n_x$ ve $n_y$'nin çeşitli tam sayı değerlerine karşılık gelen izin verilen bir kuantum durumunu temsil eder. $k_x$, $k_y$ veya $k_z$'nin pozitif ve negatif değerleri aynı enerjiye sahiptir ve aynı enerji durumunu temsil eder. Negatif $k_x$, $k_y$ veya $k_z$ değerleri ek kuantum durumları oluşturmadığından, kuantum durumlarının yoğunluğu Şekil (3.b)'de gösterildiği gibi küresel $k$-uzayının yalnızca pozitif sekizde birlik (1/8) kısmının dikkate alınmasıyla belirleyebiliriz. Örneğin $k_x$ yönünde bitişik iki kuantum durumu arasındaki mesafe şu şekilde verilir:

$$\Delta k_x = k_{x2} - k_{x1} = (n_x + 1) \frac{\pi}{a} - n_x \frac{\pi}{a} = \frac{\pi}{a} \tag{5}$$

Bu sonucu üç boyuta genellersek, tek bir kuantum durumunun kapladığı $V_k$ hacmi:

$$V_k = \left( \frac{\pi}{a} \right)^3 \tag{6}$$

şeklinde elde edilir.

Artık $k$-uzayındaki kuantum durumlarının yoğunluğunu belirleyebiliriz. $k$-uzayındaki diferansiyel bir hacim Şekil 3.b'de gösterilmiş olup $4\pi k^2 , dk$ ifadesiyle verilir. Dolayısıyla, $k$-uzayındaki diferansiyel kuantum durum yoğunluğu şu şekilde yazılabilir:

$$g_T(k) , dk = 2 \cdot \left( \frac{1}{8} \right) \cdot \frac{4\pi k^2 , dk}{\left( \frac{\pi}{a} \right)^3} \tag{7}$$

Şekil (3.a) $k$-uzayında izin verilen kuantum durumlarının iki boyutlu dizilimi. (b) Küresel $k$-uzayının pozitif sekizde birlik (1/8) kısmı.

İlk çarpan olan $2$, her bir kuantum durumu için izin verilen iki spin durumunu (spin-yukarı ve spin-aşağı) hesaba katar. Bir sonraki çarpan olan $1/8$, yalnızca $k_x, k_y, k_z$'nin pozitif değerlerine karşılık gelen kuantum durumlarını dikkate aldığımızı gösterir. $4\pi k^2 , dk$ çarpanı diferansiyel kabuk hacmini, $(\pi/a)^3$ çarpanı ise tek bir kuantum durumunun hacmini temsil eder. Denklemi sadeleştirirsek:

$$g_T(k) , dk = \frac{k^2 , dk}{\pi^2} , a^3 \tag{8}$$

Denklem 8, kuantum durumlarının yoğunluğunu $k$ parametresi aracılığıyla momentumun bir fonksiyonu olarak verir. Artık kuantum durum yoğunluğunu enerji ($E$) cinsinden ifade edebiliriz. Serbest bir elektron için $E$ ve $k$ arasındaki ilişki şöyledir:

$$k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} \tag{9}$$

veya

$$k = \frac{1}{\hbar} \sqrt{2mE} \tag{10}$$

Buradan diferansiyel $dk$:

$$dk = \frac{1}{\hbar} \sqrt{\frac{m}{2E}} , dE \tag{11}$$

olarak bulunur. $k^2$ ve $dk$ ifadelerini Denklem (8)'de yerine koyarsak, $E$ ile $E + dE$ enerjileri arasındaki durum sayısı şu şekilde elde edilir:

$$g_T(E) , dE = \frac{a^3}{\pi^2} \left( \frac{2mE}{\hbar^2} \right) \left( \frac{1}{\hbar} \sqrt{\frac{m}{2E}} \right) dE \tag{12}$$

$\hbar = \frac{h}{2\pi}$ olduğundan, Denklem şu şekli alır:

$$g_T(E) , dE = \frac{4\pi a^3}{h^3} (2m)^{3/2} \sqrt{E} , dE \tag{13}$$

Denklem 13, kristalin $a^3$ kadar olan toplam hacminde $E$ ile $E + dE$ enerjileri arasındaki toplam kuantum durumu sayısını verir. İfadeyi kristal hacmi olan $a^3$'e bölersek, kristalin birim hacmi başına düşen kuantum durum yoğunluğunu elde ederiz:

$$g(E) = \frac{4\pi (2m)^{3/2}}{h^3} \sqrt{E} \tag{14}$$

Kuantum durum yoğunluğu, $E$ enerjisinin bir fonksiyonudur. Bu serbest elektronun enerjisi küçüldükçe, mevcut kuantum durumlarının sayısı da azalır. Bu yoğunluk fonksiyonu aslında "çifte yoğunluk" (double density) niteliğindedir; çünkü birimi birim enerji başına birim hacimdeki durum sayısı ($\text{durum} / (\text{eV} \cdot \text{cm}^3)$ veya $\text{durum} / (\text{J} \cdot \text{m}^3)$) olarak ifade edilir.

Yarıiletkenlere Genişletme

Şimdiye kadar, üç boyutlu sonsuz potansiyel kuyusuna hapsedilmiş $m$ kütleli serbest bir elektron modelini kullanarak, izin verilen kuantum durumlarının yoğunluğuna ait genel bir ifade türettik. Bu genel modeli, iletim bandındaki (conduction band) ve değerlik bandındaki (valence band) kuantum durum yoğunluğunu belirlemek üzere bir yarı iletken için genişletebiliriz. Elektronlar ve holler (holes) yarı iletken kristali içine hapsedildiklerinden, yine temel sonsuz potansiyel kuyusu modelini kullanacağız.

Serbest bir elektronun enerjisi ile momentumu arasındaki parabolik ilişki, $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ olarak verilmişti. Şekil 4.a, indirgenmiş $k$-uzayındaki iletkenlik enerjisi bandını göstermektedir. İletkenlik bandının altındaki ($E_c$) $k = 0$ civarındaki $E - k$ eğrisi bir parabol ile yaklaştırılabilir; dolayısıyla şöyle yazabiliriz:

$$E - E_c = \frac{\hbar^2 k^2}{2m_n^*} \tag{15}$$

Burada $E_c$ iletkenlik bandının en alt kenarı, $m_n^*$ ise elektron durum yoğunluğu etkin kütlesidir.

İletkenlik bandının en altında bulunan bir elektron için genel $E - k$ ilişkisi, kütlenin yerini etkin kütlenin ($m_n^*$) alması dışında serbest bir elektron ile aynıdır. Böylece iletkenlik bandının altındaki elektronu, kendine özgü kütlesi olan "serbest" bir elektron olarak düşünebiliriz.

Denklem 15'in sağ tarafı, durum yoğunluğu fonksiyonunun türetilmesinde kullanılan Denklemin ($E=\frac{p^2}{2m}=\frac{k^2\hbar^2}{2m}$) sağ tarafı ile aynı formdadır. Bu benzerlik ("serbest" iletkenlik elektronu modeli) sayesinde, Denklem 14'teki serbest elektron sonuçlarını genelleştirebilir ve iletkenlik bandında izin verilen elektronik enerji durum yoğunluğunu şu şekilde yazabiliriz:

$$g_c(E) = \frac{4\pi (2m_n^*)^{3/2}}{h^3} \sqrt{E - E_c} \tag{16}$$

, $E \ge E_c$ için geçerlidir. İletkenlik bandındaki elektronun enerjisi azaldıkça (yani $E_c$'ye yaklaştıkça), mevcut kuantum durumlarının sayısı da azalır. Değerlik bandındaki kuantum durum yoğunluğu da aynı sonsuz potansiyel kuyusu modeli kullanılarak elde edilebilir; çünkü hol de yarı iletken kristali içinde sınırlandırılmıştır ve "serbest" bir parçacık olarak ele alınabilir. Holün durum yoğunluğu etkin kütlesi $m_p^*$'dir. Şekil 4.b, indirgenmiş $k$-uzayındaki değerlik enerji bandını göstermektedir. "Serbest" bir hol için $k = 0$ civarındaki $E - k$ eğrisini yine bir parabol ile yaklaştırabiliriz:

$$E - E_v = -\frac{\hbar^2 k^2}{2m_p^*} \tag{17}$$

Denklem (17) yeniden düzenlenirse:

$$E_v - E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m_p^*} \tag{18}$$

Yine Denklem (18)'in sağ tarafı, durum yoğunluğu fonksiyonunun genel türetiminde kullanılan formdadır. O halde Denklem (14)'teki durum yoğunluğu fonksiyonunu değerlik bandına uygulayacak şekilde genelleştirebiliriz:

$$g_v(E) = \frac{4\pi (2m_p^*)^{3/2}}{h^3} \sqrt{E_v - E} \tag{19}$$

denklem (3.75), $E \le E_v$ için geçerlidir. Yasak enerji bant aralığı (bandgap) içinde kuantum durumlarının bulunmadığını ifade etmiştik; bu nedenle $E_v < E < E_c$ aralığında $g(E) = 0$'dır. Şekil 5, enerjinin bir fonksiyonu olarak kuantum durum yoğunluğu grafiğini göstermektedir. Eğer elektron ve hol etkin kütleleri eşit olsaydı ($m_n^* = m_p^*$), $g_c(E)$ ve $g_v(E)$ fonksiyonları $E_c$ ile $E_v$'nin tam ortasındaki enerjiye ($E_{\text{midgap}}$) göre simetrik olurdu.

İstatistiksel Mekanik

Çok sayıda parçacıktan oluşan sistemleri incelerken, tek tek her parçacığın davranışını incelemek yerine parçacık topluluğunun istatistiksel davranışı ile ilgileniriz. Bunun nedeni, parçacık sayısı son derece büyük olduğunda, her parçacığın etkileşim ve hareketlerini hesaplamanın pratik ve gerekli olmamasıdır.

Akışkanlar mekaniğinde olduğu gibi, kristal yapılarda gözlenen elektriksel özellikler de, çok büyük sayıdaki elektronun toplu istatistiksel davranışı tarafından belirlenir. Şimdi, kısaca birkaç istatistiksel dağılım yasasına değinelim.

İstatistik Yasaları

Bir parçacık topluluğunun istatistiksel davranışını belirleyebilmek için öncelikle söz konusu parçacıkların hangi istatistiksel yasaya uyduğunu bilmek gerekir. Parçacıkların kullanılabilir enerji durumları arasında nasıl dağıldığını tanımlayan üç temel dağılım yasası vardır.

1. Maxwell-Boltzmann Dağılımı: Bu yaklaşımda parçacıkların ayırt edilebilir (distinguishable) olduğu ve birbirleriyle etkileşmediği (non-interacting) kabul edilir. Bir diğer ifadeyle, her parçacık birbirinden farklıdır. Ayrıca aynı enerji durumunda bulunabilecek parçacık sayısı için bir üst sınır yoktur. Düşük basınç koşullarındaki bir gazın molekülleri bu dağılıma iyi bir örnek oluşturur.
2. Bose-Einstein Dağılımı: Bu yaklaşımda parçacıklar ayırt edilemez (indistinguishable) ve birbirleri arasında etkileşimsiz kabul edilir, yani parçacıklar birbirleriyle tamamen özdeştir. Dolayısıyla hangi parçacığın hangi durumda bulunduğunu ayırt etmenin fiziksel bir anlamı yoktur. Bununla birlikte, aynı kuantum durumunu paylaşabilecek parçacık sayısının bir sınırı yoktur. Fotonlar ve kara cisim ışıması bu dağılıma uyan sistemlerdendir.
3. Fermi-Dirac Dağılımı: Bu dağılımda da parçacıklar ayırt edilemezler ve etkileşmezler, ancak Bose-Einstein istatistiğinden farklı olarak, her bir kuantum durumunda en fazla bir parçacık bulunabilir. Bu kısıtlama, Pauli Dışarlama İlkesi'nin doğrudan bir sonucudur. Kristal içindeki elektronlar Fermi-Dirac istatistiğine uyarlar.

Burada fark edileceği üzere, bu üç temel dağılımın ortak varsayımı, parçacıkların birbirleriyle etkileşmedikleri kabulüdür. Bu varsayımdan kaynaklanan sapmaları etkin kütle gibi kavramlarla nasıl düzeltebileceğimizi önceki başlıklarda anlatmıştık.

Şimdi Fermi-Dirac istatistiğinden faydalanarak bir yarı iletken içerisindeki elektronların farklı kuantum durumlarına nasıl dağıldığını görelim.

Fermi-Dirac Olasılık Dağılımı Fonksiyonu

Şekil 6'da $i.$ enerji seviyesinin $g_i$ adet kuantum durumunu içerdiği gösterilmektedir. Bu enerji seviyesine $N_i$ elektron yerleştirmek istediğimizi düşünelim.

Pauli dışarlama ilkesini ve elektronların ayırt edilemezliği durumunu göz önünde bulundurduğumuzda, $N_i$ elektronu $i.$ enerji seviyesindeki $g_i$ kuantum durumuna kaç farklı şekilde yerleştirebileceğimiz aşağıda verilen $W_i$ tekrarlı permütasyonu ile ifade edilir.

$$W_i=\frac{g_i!}{N_i!(g_i-N_i)!} \tag{20}$$

Ancak eşitlik (20) tek bir enerji seviyesi için geçerlidir. Sistemde $n$ farklı enerji seviyesi bulunuyorsa, her seviyedeki bağımsız yerleşim sayılarının ($N_1,N_2...N_n$) çarpımını alarak sistemin toplam düzenleme sayısını bulabiliriz:

$$W=\prod_{i=1}^{n} \frac{g_i!}{N_i!(g_i-N_i)!} \tag{21}$$

Burada $W$, sistemde bulunan toplam $N$ elektronun tüm enerji seviyelerine yerleşebileceği farklı durumların toplam sayısıdır.

Toplam elektron sayısı ise

$$N=\sum_{i=1}^{n}N_i \tag{22}$$

şeklindedir.

İstatistiksel mekaniğin temel amacı, bu olası düzenlemeler arasından en yüksek gerçekleşme olasılığına sahip dağılımı, yani bu örneğimizde W'yi maksimum yapan dağılımı bulmaktır. Bu işlem sırasında sistemdeki toplam elektron sayısının ve sistemin toplam enerjisinin sabit tutulmasıyla elde edilen olası dağılım, Fermi-Dirac dağılım fonksiyonu $f_F$ ile ifade edilir:

$$\frac{N(E)}{g(E)}=f_F(E)=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_F}{kT})} \tag{23}$$

$N(E)$ sayı yoğunluğu olup birim hacimdeki birim enerjideki parçacık sayısının bir fonksiyonudur. $g(E)$ fonksiyonu ise birim hacimdeki birim enerjideki kuantum durumlarının sayısını temsil eder. $E_F$ Fermi enerjisi ve $k$ Boltzmann sabitidir.

• Fermi enerjisi: Dengeye ulaşmış bir sistemde, T= 0K'de doldurulan en yüksek kuantum durumunun enerjisidir.

Denklem (23), katı hâl fiziğinin en temel sonuçlarından biridir ve belirli bir enerji $E$'de bulunan bir kuantum durumunun bir elektron tarafından dolu olma olasılığını verir.

Dağılım Fonksiyonu ve Fermi Enerjisi

Dağılım fonksiyonunu daha iyi anlayabilmek için onun enerji $E$'ye göre grafiğini çizebiliriz. Öncelikle $T=0$ limitinde $E<E_F$ durumunu inceleyelim. Bu durumda denklem (23)'teki üstel ifade sıfıra yakınsar ve $f_F(E<E_F, T=0)=1$ olur. $T=0$ limitinde $E>E_F$ kabul edilirse üstel ifade pozitif bölgede sonsuza yakınsar ve böylece $f_F(E>E_F, T=0)=0$ olur. Bu koşullar altındaki dağılım grafiği Şekil 7'de verilmiştir.

Bu grafikten çıkarabileceğimiz sonuç şudur: Mutlak sıfır sıcaklıkta ($T=0 K$); elektronlar mümkün olan en düşük enerji eviyelerini doldururlar, $E<E_F$ bölgesindeki bir kuantum durumunun doldurulma olasılığı kesin iken $E>E_F$ bölgesine denk gelen bir kuantum durumunun doldurulma olasılığı sıfırdır. Başka bir deyişle, mutlak sıfır sıcaklıkta tüm elektronlar Fermi enerjisinden düşük enerjilidir.

Tam olarak burada önemli bir noktaya değinmemiz gerekiyor. Fermi enerjisi $E_F$'nin tanımını yukarıda vermiştik. Birçok ders kitabında, ileride detaylıca ele alacağımız Fermi seviyesi (veya daha yaygın gösterimiyle kimyasal potansiyel $\mu$) ile Fermi enerjisi kavramları eş anlamlı olarak kullanılır ve bu tanımsal geçişlilik kafa karışıklıklarına yol açabilir. Fermi enerjisi olarak isimlendirdiğimiz $E_F$ temel olarak Fermi seviyesinin mutlak sıfır sıcaklıkta aldığı spesifik değerdir. Fermi enerjisi enerji özdeğerleriyle (eigenvalue) ilişkili bir kavram iken Fermi seviyesi tüm termodinamik sistem ile ilgili istatistiksel bir referans enerjidir; sistemde gerçekten var olan bir enerji seviyesi olmak zorunda değildir. Bu tanımsal fark, ileride de göreceğimiz gibi Fermi seviyesinin neden yasaklı bant aralığında bulunabileceğini izah etmektedir. Yazımıza, ders kitaplarıyla olan paralelliğini yitirmemesi amacıyla bu tanımsal geçişliliğe yer vererek devam edeceğiz. Okuyucunun bu ayrımın farkında olması yeterli olacaktır.

Kuantum durum yoğunluğu $g(E)$'nin enerjinin sürekli bir fonksiyonu olduğunu varsayarsak, $N_0$ elektronlu bir sistem için $T=0$K'de bu elektronların kuantum durumlarına dağılımı Şekil 8'de verilmiştir. Bu sistemde $g(E)$ ve $N_0$ biliniyorsa $E_F$ hesaplanabilir.

Şimdi de sıcaklığın mutlak sıfırın üzerine çıktığı ($T>0$K) durumu ele alalım.

Sıcaklık arttığında elektronlar çevreden belirli bir miktar termal enerji kazanarak daha yüksek enerji seviyelerine geçebilir. Dolayısıyla elektronların kullanılabilir kuantum durumları arasındaki dağılımı, mutlak sıfırdaki dağılımdan farklılaşır.

$E=E_F$ olduğu durumda ($T>0$K) denklem (23)'teki üstel ifade sıfır olur, dolayısıyla dağılım fonksiyonumuz:

$$f_F(E_F)=\frac{1}{2} \tag{24}$$

şeklini alır.

Buradan hareketle, mutlak sıfırdan farklı bir sıcaklıkta $E_F$ noktasında bir kuantum durumunun elektron tarafından dolu olma olasılığı 0.5'tir.

Fermi olasılık fonksiyonundaki sıcaklığa bağlı değişim Şekil 9'da verilmiştir. Şekil 9'da görüldüğü gibi sıcaklık arttığında dağılım fonksiyonundaki keskin geçiş giderek yumuşar. Bunun anlamı, artık Fermi enerjisinin üzerindeki bazı kuantum durumlarının dolu olma olasılığı ve Fermi enerjisinin altındaki bazı kuantum durumlarının boş olma olasılığı sıfırdan farklıdır.

Ayrıca, $E_F$'nin $dE$ kadar yukarısında bulunan bir kuantum durumunun dolu olma olasılığıyla $dE$ kadar altında bulunan bir kuantum durumunun dolu olma olasılığı eşittir. Yani Fermi enerjisine göre $f_F(E)$ ile $1-f_F(E)$ simetriktir.

İnceleyeceğimiz son durum ise $E-E_F \gg kT$ olduğu durumdur. Bu durumda denklem (23)'teki payda birden çok daha büyük bir sayı olacaktır, böylece paydada yer alan 1 sayısı ihmal edilebilir ve denklemimiz:

$$f_F(E)\approx exp \left[\frac{-(E-E_F)}{kT}\right] \tag{25}$$

olarak yeniden yazılabilir. Denklem (25), Maxwell-Boltzmann yaklaşımı olarak bilinir. Bu yaklaşımı ilerleyen bölümlerde kullanacağız.

Bu yazımızda elektronların kristal yapılardaki enerji-momentum ilişkilerini inceleyerek etkin kütle kavramına değindik ve durum youğunluğu fonksiyonunu türeterek onu istatistiksel olarak ele aldık. Ayrıca ileride sıklıkla başvuracağımız Fermi enerjisi kavramını tanımladık ve onun sıcaklıkla olan ilişkisini inceledik.

Bir sonraki yazımızda:

• Yük taşıyıcıları ve elektriksel iletim
• Fermi enerji seviyesi
• Doping ve alıcı-verici istatistiği

gibi konulara değinerek yarı iletken teknolojilerini anlama yolculuğumuzda biraz daha yol kat edeceğiz.

Kaynakça

• Semiconductor Physics And Devices by Donald A. Neamen Third Edition
• The Oxford Solid State Basics by Steven H. Simon