Yarı İletken Fiziği Serisi Bölüm 3: Katıların Kuantum Teorisine Giriş

Enerji Bantları ve Kronig-Penney Modeli

Giriş

Tek bir atomun, Pauli dışarlama ilkesinin öngördüğü biçimde ayrık enerji seviyelerine sahip olduğunu bir önceki yazımızdan biliyoruz. Ancak söz konusu görev, yaklaşık olarak $10^{21}$ atom içeren bir yarı iletken malzemenin elektriksel özelliklerini belirlemek olduğunda, ayrık enerji seviyelerinin kümülatif etkileşiminin ayrıca değerlendirilmesi gerekir. Bu etki bizi enerji bantları konseptine götürmektedir. Enerji bandı teorisi, yarı iletken malzeme fiziğinin temel bir ilkesidir ve metaller, yalıtkanlar ile yarı iletkenler arasındaki elektriksel özellik farklarını açıklamak için kullanılmaktadır. Bu bölümde, tek kristalli bir katıdaki izin verilen ve yasaklı enerji bantları konusunu başta nitel, ardından da dalga denklemini kullanarak matematiksel olarak ele alacağız.

Enerji Bantlarının Oluşumu

Enerji bantlarının oluşumu, Pauli dışarlama ilkesinin açıkladığı fiziksel gerçekliğin çok sayıda elektron içeren büyük sistemlerde gözlemlediğimiz doğal bir sonucudur. Bunu anlamak için ilk olarak hidrojen atomunu ele alalım. Şekil 1 (a)'da hidrojen atomunun radyal olasılık dağılımı fonksiyonu gösterilmektedir. İki hidrojen atomu birbirine yaklaştığında, bu elektronların olasılık dağılımı fonksiyonları (b)'de gösterildiği gibi çakışmaktadır. Bu etkileşimden kaynaklanan pertürbasyon, aynı kuantum sayılarına sahip iki elektron aynı atomda bulunamayacağı için enerji seviyelerinde bir ayrılmaya neden olur. Bu ayrılma (c)'de gösterilmiştir.

Benzer biçimde, çok elektronlu sistemler de atomlararası denge uzaklığında bu ayrılmayı deneyimler. Ancak unutulmamalıdır ki Pauli dışarlama ilkesi bize bir sistem (örneğin bir kristal) oluşturmak üzere bir araya gelen atomların toplam kuantum durumu sayısını değiştirmeyeceğini söyler. Yani ayrık enerji seviyeleri, atomlar birbirine yaklaştıkça daha farklı ayrılmalar geliştirerek her elektronun farklı kuantum durumunda kalmasını sağlayan bantlaşmalara neden olmaktadırlar. Bu ayrılma birden fazla elektron için Şekil 2'de şematize edilmiştir. Bantlaşma, atomlar arası mesafe azaldıkça en dış enerji seviyesinden en içtekine doğru sırasıyla gözlemlenir.

Söz konusu sistem, elektron sayısı $10^{20}$ mertebesindeki kristaller olduğunda ayrılan enerji seviyelerinin arasındaki enerji farkı o kadar küçük olur ki oluşan bant yapısının pratik amaçlar doğrultusunda kuasi-sürekli enerji dağılımına sahip olduğu kabul edilir.

Örnek teşkil etmesi açısından kısaca Si atomunu inceleyelim. Si atomunun 14 elektronunun on tanesi $n=1$ ve $n=2$ seviyelerini doldururlar ve atom çekirdeğiyle olan bağları güçlüdür. $n=3$ enerji seviyesindeki 4 elektronun çekirdeğe olan bağları ise daha zayıftır. Bu dış kabuk elektronları sırasıyla $3s$ orbitalinde iki tane ve $3p$ orbitalinde iki tane olmak üzere bulunurlar. Si atomları arasındaki mesafe azaldıkça atomların önce $3s$ ve $3p$ orbitalleri örtüşür. Bu örtüşme sonucunda $3s$ orbitalinde 2 ve $3p$ orbitalinde 6 olmak üzere toplamda 8 adet kuantum durumu 4 düşük enerjili ve 4 yüksek enerjili iki banda ayrılarak yeniden düzenlenirler. Bu bantlaşma Şekil 3'de gösterilmiştir. Sıcaklığın mutlak sıfır olduğu durumda düşük enerjili banttaki tüm kuantum durumları doluyken yüksek enerjili olan bant boş kalacaktır. Bu bantlardan düşük enerjili olanı valans bandı, yüksek enerjili olanı ise iletim bandı olarak isimlendirilir. Bu bantların karakteristik özelliklerine yazımızın ilerleyen bölümlerinde değineceğiz.

Kronig-Penney Modeli

Bir önceki bölümde, atomların bir araya gelip kristal oluştururken izin verilen elektron enerjilerinin dağılımını niteliksel olarak ele aldık. İzin verilen ve yasaklanmış enerji bantları kavramı, kuantum mekaniği ve Schrödinger dalga denklemi ile birlikte daha detaylı bir şekilde geliştirilebilir. Kronig-Penney Modeli, kuantum mekaniğindeki "Tek potansiyel kuyusu" (Single Potential Well) probleminin katı hal fiziğine, yani periyodik kristal yapıya uyarlanmış halidir.

Esasında bu modelin iki temel amacı vardır:

1. Elektronun periyodik potansiyel altında nasıl davrandığını çözmek
2. İzin verilen enerji bantları ve yasak bant aralıklarının (band gap) nasıl ortaya çıktığını görmek

Gerçek bir kristalde potansiyel enerji alanı, pozitif yüklü iyon çekirdeklerinin yakınında çok güçlü (eksi sonsuza giden kuyular) olmakta, atomların arasında ise daha zayıftır; problem ise bu gerçek durumu Schrödinger denkleminde çözmenin neredeyse imkansız olmasıdır. Kronig ve Penney, bu problemi çözülebilir kılmak için gerçek periyodik potansiyeli kare dalga (Square-Wave) formunda periyodik bir potansiyel serisi olarak basitleştirmiştir, özetle; model aslında gerçek kristalin oldukça basitleştirilmiş ve idealize edilmiş 1-boyutlu versiyonudur.

Şekil 4 (a)'da tek, etkileşimde olmayan 1 elektronlu atomun potansiyel fonksiyonu verilmiştir, ayrıca figürde elektron için izin verilen ayrık enerji seviyelerini de görebiliyoruz. (b)'de ise birbirine yakın birkaç atomun tek boyutlu bir dizide düzenlendiği durum için aynı tip potansiyel fonksiyonunu görüyoruz. Son olarak Komşu atomların potansiyel fonksiyonları örtüşür ve bu durum için net potansiyel fonksiyonu da (c)'de görüyoruz. Tek boyutlu tek kristal bir malzemeyi modellemek için Schrödinger dalga denkleminde kullanmamız gereken potansiyel fonksiyon budur.

Kronig ve Penney, elektronun, düzenli aralıklarla dizilmiş iyon çekirdeklerinin oluşturduğu kristal yapı içerisindeki hareketini şu şekilde modeller:

• Potansiyel periyodik olarak tekrar eder; her hücrede bir kuyu ve bir bariyer bölgesi vardır. $a$: serbest hareket bölgesi, $b$: potansiyel bariyeri genişliği ve periyot $(a+b)$ olmak üzere:
• Kuyu Bölgeleri $(0 < x < a)$: Potansiyel enerji sıfırdır $(V = 0)$. Elektron burada nispeten serbesttir (Atom çekirdeğinin içi/yakını gibi düşünülebilir).
• Bariyer Bölgeleri $(-b < x < 0)$: Potansiyel enerji sabittir $(V = V_0)$. Elektronun bir atomdan diğerine geçmek için aşması gereken engeldir.
• Periyot $(a+b)$: Kristalin kafes sabitini (Lattice constant) temsil eder. Potansiyel her $a+b$ mesafede bir kendini tekrar eder: $V(x) = V(x+a+b)$.

Elektron için zamandan bağımsız Schrödinger denklemi (bir boyutta):

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \tag{1}$$

Potansiyel parçalı olduğu için bölgeleri ayrı ayrı çözeriz.

I- Serbest Bölge

$$V(x) = 0$$ $$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + \alpha^2\psi(x) = 0$$

burada $\alpha^2 = \dfrac{2mE}{\hbar^2}$ dir. Çözüm ise:

$$\psi_{I}(x) = Ae^{i\alpha x} + Be^{-i\alpha x}$$

Bu düzlem dalga çözümümüzdür.

II- Bariyer Bölgesi

$$V(x) = V_0$$

Eğer $E < V_0$ ise:

$$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} - \beta^2\psi(x) = 0$$

burada $\beta^2 = \dfrac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}$ dir. Çözüm ise:

$$\psi_{II}(x) = Ce^{\beta x} + De^{-\beta x}$$

Bu üstel (exponential) sönümlü çözümümüzdür (tünelleme davranışı).

---

Burada Bloch teoremini devreye sokuyoruz. Bloch teoremi, bize periyodik bir potansiyel içinde hareket eden bir elektronun dalga fonksiyonunun, bir düzlem dalga ile kristalin periyodikliğini taşıyan bir fonksiyonun $(u(x))$ çarpımı olduğunu söyler:

$$\psi(x) = u(x)e^{ikx} \tag{2}$$

Fonksiyon periyodik olduğundan:

$$u_k(x+d) = u_k(x)$$

Burada $k$ hareket sabitidir, $u(x)$ ise periyodu $a+b$ olan periyodik fonksiyondur.

Önceki bölümlerden de hatırlayacak olursak dalga denkleminin tam çözümü zamandan bağımsız ve zamana bağımlı çözümlerin çarpımı şeklinde yazılır:

$$\Psi(x,t) = \psi(x)\phi(t) = u(x)e^{ikx} \cdot e^{-i\left(\frac{E}{\hbar}\right)t} \tag{3}$$

Bu denklemi şu şekilde de yazabiliriz:

$$\Psi(x,t) = u(x)e^{i\left(kx - \left(\frac{E}{\hbar}\right)t\right)} \tag{4}$$

Bu hareketli dalga çözümü, tek kristalli bir malzeme içerisinde hareket eden elektronun davranışını tanımlamaktadır. Dalganın genliği periyodik bir fonksiyon olup, $(k)$ parametresi dalga sayısı (wave number) olarak adlandırılmaktadır. Şimdi $k$, $E$ ve $V_0$ arasında bir ilişki belirlemeye başlayabiliriz.

Şekil 5'teki bölge I'de $(0 < x < a)$ yani $V(x) = 0$ olan yerde denklem (2)'nin ikinci dereceden türevini alıp ve bunu zamana bağlı Schrödinger dalga denklemine koyarsak:

$$\frac{d^2u_1(x)}{dx^2} + 2ik\frac{du_1(x)}{dx} - (k^2 - \alpha^2)u_1(x) = 0 \tag{5}$$

Burada $u_1(x)$ Bölge I'deki dalga fonksiyonunun genliği ve $\alpha$ parametresi de daha önce tanımlandığı üzere:

$$\alpha^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} \tag{6}$$

Bölge II'de ise, $-b < x < 0$, $V(x) = V_0$ dır. Burada Schrödinger dalga denklemini uygulayalım:

$$\frac{d^2u_2(x)}{dx^2} + 2ik\frac{du_2(x)}{dx} - \left(k^2 - \alpha^2 + \frac{2mV_0}{\hbar^2}\right)u_2(x) = 0 \tag{7}$$

Burada $u_2(x)$ Bölge II'deki dalga fonksiyonunun genliğidir. Ve parametreler arasındaki ilişkiyi şu şekilde tanımlayabiliriz:

$$\frac{2m}{\hbar^2}(E - V_0) = \alpha^2 - \frac{2mV_0}{\hbar^2} = \beta^2 \tag{8}$$

Böylece denklem (7) şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$\frac{d^2u_2(x)}{dx^2} + 2ik\frac{du_2(x)}{dx} + (k^2 - \beta^2)u_2(x) = 0 \tag{9}$$

Dikkat edelim, denklem 8 de eğer $E > V_0$ ise, $\beta$ parametresi reeldir, $E < V_0$ ise $\beta$ sanaldır (imaginary).

Denklem 5'in Bölge I çözümü:

$$u_1(x) = Ae^{i(\alpha - k)x} + Be^{-i(\alpha + k)x}, \quad 0 \le x \le a \tag{10}$$

formundadır.

Denklem 9'un Bölge II çözümü:

$$u_2(x) = Ce^{i(\beta - k)x} + De^{-i(\beta + k)x}, \quad -b \le x \le 0 \tag{11}$$

formundadır. Potansiyel fonksiyonumuz $V(x)$ her yerde sonlu olduğundan, dalga fonksiyonumuz $\psi(x)$ ve onun birinci türevi $\frac{\partial\psi(x)}{\partial x}$ sürekli olmalıdır. Bu süreklilik koşulu aynı zamanda dalga genlik fonksiyonu $u(x)$ ve onun birinci türevi $\frac{\partial u(x)}{\partial x}$'nin de sürekli olmasını gerektirir.

$x = 0$ daki sınırı göz önünde bulundurur ve süreklilik şartını dalga genliğine uygularsak:

$$u_1(0) = u_2(0) \tag{12}$$

Denklem 10 ve denklem 11'i, denklem 12'ye yerleştirirsek elde edeceğimiz eşitlik:

$$A + B - C - D = 0 \tag{13}$$

olur. Şimdi de sıradaki koşulu uygulayalım:

$$\left.\frac{du_1}{dx}\right|_{x=0} = \left.\frac{du_2}{dx}\right|_{x=0} \tag{14}$$

Uyguladığımızda elde edeceğimiz denklem şudur:

$$(\alpha - k)A - (\alpha + k)B - (\beta - k)C + (\beta + k)D = 0 \tag{15}$$

Bölge I'i $(0 < x < a)$ ve bölge II'yi $(-b < x < 0)$ olarak ele aldık. Periyodiklik ve süreklilik koşulu, $x \rightarrow a$ iken $u_1$ fonksiyonunun, $x \rightarrow -b$ iken $u_2$ fonksiyonuna eşit olduğu anlamına gelir. Bu koşulu şu şekilde yazabiliriz: $u_1(a) = u_2(-b)$, $u_1(x)$ ve $u_2(x)$'in çözümlerini bu sınır koşuluna uyguladığımızda:

$$Ae^{i(\alpha - k)a} + Be^{-i(\alpha + k)a} - Ce^{-i(\beta - k)b} - De^{i(\beta + k)b} = 0 \tag{16}$$

Son sınır koşulumuz:

$$\left.\frac{du_1}{dx}\right|_{x=a} = \left.\frac{du_2}{dx}\right|_{x=-b} \tag{17}$$

Uyguladığımızda bize şu sonucu verir:

$$(\alpha - k)Ae^{i(\alpha - k)a} - (\alpha + k)Be^{-i(\alpha + k)a} - (\beta - k)Ce^{-i(\beta - k)b} + (\beta + k)De^{i(\beta + k)b} = 0 \tag{18}$$

Artık elimizde dört adet sınır koşulunun uygulanması sonucunda dört bilinmeyenli dört adet homojen denklem olmuş oldu; 13, 15, 16, 18. Eş zamanlı, doğrusal ve homojen denklem sisteminde, ancak ve ancak katsayıların determinantı sıfır ise, sıfırdan farklı bir çözüm vardır. Bizim durumumuzda, katsayılar $A, B, C$ ve $D$ parametrelerinin katsayılarıdır. Bu $4 \times 4$ matris determinantını burada uzunca çözmeyeceğiz (detay içerikleri kaynakça kısmında verilecektir), elde edeceğimiz sonuç ise:

$$\cos k(a+b) = \frac{-(\alpha^2 + \beta^2)}{2\alpha\beta}(\sin\alpha a)(\sin\beta b) + (\cos\alpha a)(\cos\beta b) \tag{19}$$

Bu denklem (19) $k$ parametresi ile toplam enerji $E$'yi ($\alpha$ parametresi üzerinden) ve potansiyel fonksiyonu $V_0$'yi ($\beta$ parametresi üzerinden) ilişkilendirir.

Daha önce de belirttiğimiz gibi, daha ilginç çözümler, kristal içinde bağlı olan elektron için geçerli olan $E < V_0$ durumu için ortaya çıkar. Bu durumda, $\beta$ parametresi sanal bir niceliktir, $\gamma$ reel bir nicelik olmak üzere şu tanımlamayı yapabiliriz:

$$\beta = i\gamma \tag{20}$$

Denklem (19), $\gamma$ cinsinden şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$\frac{\gamma^2 - \alpha^2}{2\alpha\gamma}(\sin\alpha a)(\sinh\gamma b) + (\cos\alpha a)(\cosh\gamma b) = \cos k(a+b) \tag{21}$$

Denklem (21) analitik bir çözüme elverişli değildir; bu nedenle bunu $k$, $E$ ve $V_0$ arasındaki ilişkiyi elde etmek için sayısal (nümerik) veya grafiksel yöntemler kullanarak çözmeliyiz. Schrödinger dalga denkleminin tek bir bağlı parçacık için çözümü, ayrık (kesikli) izin verilen enerjilerle sonuçlanmıştı. Denklem (21)'in çözümü ise izin verilen enerjilerden oluşan bir enerji bandı ile sonuçlanacaktır. Grafiksel çözüme daha yatkın olan ve dolayısıyla sonuçların doğasını daha iyi açıklayan bir denklem elde etmek için, potansiyel bariyer genişliği $b \rightarrow 0$ ve bariyer yüksekliği $V_0 \rightarrow \infty$ limitine götürülür; ancak bu sırada $bV_0$ çarpımının sonlu kalması sağlanır. Bu durumda Denklem (3.21) şu şekle indirgenir:

$$\left(\frac{mV_0 ba}{\hbar^2}\right)\frac{\sin\alpha a}{\alpha a} + \cos\alpha a = \cos ka \tag{22}$$

$P'$ parametresini şu şekilde tanımlayabiliriz:

$$P' = \frac{mV_0 ba}{\hbar^2} \tag{23}$$

Böylece nihai olarak şu ilişkiyi elde ederiz:

$$P'\frac{\sin\alpha a}{\alpha a} + \cos\alpha a = \cos ka \tag{24}$$

Denklem (24) bize yine $k$ parametresi, toplam enerji $E$ ($\gamma$ parametresi aracılığıyla) ve potansiyel bariyeri $bV_0$ arasındaki ilişkiyi verir. Denklem (24)'ün Schrödinger dalga denkleminin doğrudan bir çözümü olmadığına, aksine Schrödinger dalga denkleminin bir çözümü olabilmesi için gerekli koşulları sağladığına dikkat etmeliyiz. Eğer kristalin sonsuz büyüklükte olduğunu varsayarsak, Denklem (24)'teki $k$ parametresi sürekli değerler alabilir ve reel olmak zorundadır.

k-Uzayı (Dalga Vektörü Uzayı) Diyagramı

Şimdi çözümümüzün doğasını anlamaya başlayabilmemiz için, ilk olarak potansiyelimizin $V_0 = 0$ olduğu durumu inceleyelim. Bu durumda $P' = 0$'dır yani bu potansiyel bariyeri olmadığından bir serbest parçacığa karşılık gelir. Denklem (24)'ten şunu çıkarırız:

$$\cos\alpha a = \cos ka \tag{25}$$

veya

$$\alpha = k \tag{26}$$

Potansiyel sıfır olduğundan, toplam enerji $E$ kinetik enerjiye eşittir. Buradan da:

$$\alpha = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} = \sqrt{\frac{2m\left(\frac{1}{2}mv^2\right)}{\hbar^2}} = \frac{p}{\hbar} = k \tag{27}$$

Burada $p$ parçacığın momentumudur. Hareket sabiti olan $k$ parametresi, serbest elektron için parçacık momentumu ile ilişkilidir. Bu $k$ parametresi aynı zamanda dalga sayısı (wave number) olarak da adlandırılır ve de Broglie bağıntısına göre şu şekilde tanımlanır:

$$k = \frac{p}{\hbar} \tag{3.27}$$

Enerji ve momentum arasındaki ilişkiyi ise şu şekilde kurabiliriz:

$$E = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \tag{28}$$

Şekil 6, serbest bir parçacık için Denklem (28)'de verilen enerji $(E)$ ile momentum $(p)$ arasındaki parabolik ilişkiyi göstermektedir. Momentum ve dalga sayısı lineer ilişkili olduğundan, Şekil 6 aynı zamanda serbest parçacık için $E-k$ grafiğidir. Şimdi, tek bir kristal örgüsü içindeki parçacık için Denklem (24)'ten elde edilen $E$ ve $k$ arasındaki ilişkiyi inceleyelim. $P'$ parametresi arttıkça, parçacık potansiyel kuyusuna veya atomuna daha sıkı bağlanır. Denklem (24)'ün sol tarafını bir $f(\alpha a)$ fonksiyonu olarak tanımlayabiliriz:

$$f(\alpha a) = P'\frac{\sin\alpha a}{\alpha a} + \cos\alpha a \tag{29}$$

Şekil 7a, Denklem (29)'un ilk teriminin $\alpha a$'ya göre grafiğini; Şekil 7b, $\cos\alpha a$ teriminin grafiğini; Şekil 7c ise bu iki terimin toplamını, yani $f(\alpha a)$ fonksiyonunu göstermektedir. Denklem (24)'ten bildiğimiz üzere aynı zamanda şu eşitlik mevcuttur:

$$f(\alpha a) = \cos\alpha a \tag{30}$$

Denklem (30)'un geçerli olabilmesi için, $f(\alpha a)$ fonksiyonunun alabileceği değerler $-1$ ile $+1$ arasında sınırlı olmalıdır (çünkü kosinüs fonksiyonu bu aralığın dışına çıkamaz). Şekil 7c'de, $f(\alpha a)$ fonksiyonunun izin verilen değerleri ve buna karşılık gelen $\alpha a$ aralıkları taralı alanlarla gösterilmiştir. Şekilde ayrıca, Denklem (30)'un sağ tarafından gelen ve $f(\alpha a)$'nın izin verilen değerlerine karşılık gelen $ka$ değerleri de gösterilmektedir.

$\gamma$ parametresi, parçacığın toplam enerjisi $E$ ile ilişkilidir; bu denklem şu şekildedir:

$$\gamma^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$$

Parçacığın enerjisi $E$'nin, dalga sayısı $k$'nın bir fonksiyonu olarak grafiği Şekil 7c'den yararlanılarak oluşturulabilir. Şekil 8 bu grafiği gösterir ve böylece kristal örgüsü içinde ilerleyen bir parçacık için izin verilen enerji bantları kavramını gözler önüne serer. Enerji $E$ değerlerinde süreksizlikler meydana geldiği için, kristal içindeki parçacıklar için aynı zamanda yasak enerji aralıkları (forbidden energies) kavramı da ortaya çıkmış olur.

Denklem (24)'ün sağ tarafı olan $\cos ka$ fonksiyonunu tekrar dikkate alalım. Kosinüs fonksiyonu periyodik bir fonksiyondur, bu nedenle $n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere şu eşitlik yazılabilir:

$$\cos ka = \cos(ka + 2n\pi) = \cos(ka - 2n\pi) \tag{31}$$

Şekil 8'i göz önüne alarak, eğrinin belirli kısımlarını $2\pi$ kadar kaydırabiliriz. Matematiksel olarak Denklem (24) hâlâ sağlanmaktadır. Şekil 9, eğrinin çeşitli segmentlerinin $2\pi$ faktörüyle nasıl kaydırılabileceğini göstermektedir. Şekil 10 ise tüm $E-k$ grafiğinin $-\frac{\pi}{a} \le k \le \frac{\pi}{a}$ aralığı içinde toplandığı durumu göstermektedir. Bu grafik, indirgenmiş k-uzayı diyagramı veya indirgenmiş bölge gösterimi (reduced-zone representation) olarak adlandırılır.

Denklem (27)'de serbest bir elektron için parçacık momentumu ile $k$ dalga sayısı arasında $p = \hbar k$ ilişkisi olduğunu belirtmiştik. Serbest elektron çözümü ile Şekil 8'de gösterilen tek kristal sonuçları arasındaki benzerlik göz önüne alındığında, tek bir kristal içindeki $k$ parametresi kristal momentumu olarak adlandırılır. Bu parametre, elektronun kristal içindeki gerçek momentumu değildir; ancak kristal etkileşimini de içeren bir hareket sabitidir.

Buraya kadar, tek bir kristal örgüsünü modellemek için kullanılan tek boyutlu periyodik bir potansiyel fonksiyonu olan Kronig-Penney modelini inceledik. Bu analizin şu ana kadarki temel sonucu, kristal içindeki elektronların belirli izin verilen enerji bantlarını doldurduğu ve yasak enerji bantlarının dışında tutulduğudur. Gerçek, üç boyutlu tek kristal malzemeler için de benzer bir enerji bandı teorisi mevcuttur. Gelecek bölümlerde, Kronig-Penney modelinden yararlanarak elektrona ait ek özellikleri elde edeceğiz.