Yarı İletken Fiziği Serisi Bölüm 2: Biraz Kuantum Mekaniği

Giriş

Yarı iletken fiziği serimizin ikinci bölümünde; yarı iletken malzemelere fonksiyonelliklerini veren bant yapılarını anlayabilmek için gerekli olan kuantum mekaniksel süreçleri kısaca ele alacak, elektronun bir potansiyel içerisindeki enerji ve konum gibi özelliklerinin klasik cisimlerden nasıl ayrıldığını göreceğiz. Elektronu ayrık ve yalıtılmış bir yaklaşımla kuramsal olarak incelediğimiz bu bölüm, ileride karşılaşacağımız daha büyük sistemler için temel teşkil etmektedir. Ancak unutulmamalıdır ki burada üzerinde duracağımız konseptler çok daha detaylı analizleri gerektirmekte ve asıl amacı kuantum mekaniğinin temellerini anlatmak olmayan bir seride yalnızca özet olarak aktarılabilmektedirler. İşe kısa bir tarihçe ile başlayabiliriz.

Tarihçe

1897 yılında elektronun keşfiyle birlikte J.J. Thomson tarafından gerçekleştirilen katot ışını deneyleri, elektronların klasik parçacıklar olduğu fikrinin kabul edilmesine neden oldu. Ancak, daha sonra yapılan Siyah Cisim ışıması deneyi gibi deneyler, enerjinin sürekli olduğu yönündeki yaygın inanışı değiştirmeye başladı. Bu noktada fizikçiler, ilk olarak Max Planck tarafından önerilen ve enerji paketçiği olarak adlandırılan ayrık yapıları kullanarak deneysel çelişkilere çözümler sunabilecek yeni bir yaklaşımı benimsemeye başladılar. Bu yaklaşım, fotoelektrik etkideki ışığı izah edebilse de, elektronları anlamak için bir süre daha beklememiz gerekiyordu. 1913’lere gelindiğinde, elektron uyarma deneylerinde gözlemlenen belirli frekanstaki ışımalar -bir diğer deyişle süreksiz spektrum- Bohr atom modeli gibi farklı enerji seviyelerine sahip belirli yörüngeler fikrinin doğmasına neden olarak elektronun klasik bir parçacık olmadığı fikrini güçlendirdi. 1924 yılında L. de Broglie tarafından önerilen De Broglie hipotezi, dalga-parçacık ikiliğini klasik cisimlere kadar genişleterek işin matematiksel tutarlılığını gösterdi ve bundan yaklaşık 3 yıl sonra Davisson ve Germer tarafından gerçekleştirilen elektron kırınımı deneyi, elektronların da bu dalga-parçacık ikiliğini taşıdığını kanıtladı. Bu aşamada astronomik benzetimli orbital yaklaşımının sınırları, bilim insanlarını yeni bir yöntem arayışına yönlendirdi. Bu ihtiyaca cevap veren ve modern kuantum mekaniğinin başlangıcı sayılan teorik altyapılar W. Heisenberg’in 1925’te geliştirdiği enerji ve momentum ilişkileri ve E. Schrödinger’in 1926’da bilime kazandırdığı dalga mekaniğidir.

Enerji Paketçiği

Enerjinin ayrık paketçikler halinde yayıldığı fikri, ilk olarak 1900 yılında Alman fizikçi Max Planck tarafından ortaya atılmıştır. Planck, L. Boltzmann’ın istatistiksel yaklaşımını temel alarak, ısıtılan bir yüzeyden yayılan termal radyasyonu “quanta” adını verdiği ayrık enerji paketçikleri ile ifade etmiştir. Bu ifadeye göre bu paketçiklerin taşıdığı enerji

$$E=h\nu \tag{1}$$

ile gösterilir. Burada $E$: enerji, $\nu$: radyasyonun frekansı ve $h$: Planck sabiti.

Bundan yalnızca birkaç yıl sonra, 1905’te; Einstein, fotoelektrik etkiyi benzer bir enerji paketçiği yaklaşımıyla açıklayan modeli geliştirmiştir. Bu model, ışık dalgasındaki enerjinin de “foton” ismi verilen ayrık enerji paketçikleri halinde yayıldığını ifade etmektedir.

Dalga-Parçacık İkiliği

De Broglie hipotezi, 1924’te Louis de Broglie tarafından geliştirilen temel bir kuantum mekaniği konseptidir. Bu konsept, ışığın dalga-parçacık ikiliğini elektron ve proton gibi madde parçacıklarına genişletmektedir.

De Broglie hipotezine göre her obje aynı zamanda bir de Broglie dalga boyuna sahiptir. Bu dalga boyu, makroskobik ölçekte oldukça küçük olduğundan tespit edilmesi olanaksız olsa da, atom-altı ölçekte gözlemlenebilir kuantum etkilere sahiptir. De Broglie dalga boyu, parçacığın momentumuyla ters orantılıdır ve bu ilişki şu şekilde gösterilir:

$$\lambda=h/p \tag{2}$$

Burada; $\lambda$: dalga boyu, $h$: Planck sabiti, $p$: momentum

1927 yılında Davisson ve Germer’in tek kristal yapılı nikel ile gerçekleştirdikleri elektron kırınımı deneyi¹, nikelin periyodik atom diziliminin bir sonucu olan girişim deseninin gözlemlenmesiyle birlikte elektronun ikili doğasına deneysel bir dayanak sağlamıştır.

Belirsizlik İlkesi

Heisenberg Belirsizlik İlkesi, momentum-konum ve enerji-zaman gibi konjuge parametrelerin eşzamanlı olarak kesin biçimde ölçülemeyeceğini ifade eder. Bu parametrelerden birinin ölçümü, bir diğerinin belirsizliğini beraberinde getirmektedir.

Eğer $\Delta p$ momentumdaki belirsizlik ve $\Delta x$ konumdaki belirsizlik ise, belirsizlik ilkesine göre,

$$\Delta p \Delta x \ge \hbar \tag{3}$$

Burada $\hbar: h/2{\pi}$, modifiye edilmiş Planck sabitidir.

$$\hbar=1.054\cdot 10^{-34}js \tag{4}$$

Benzer şekilde, $\Delta E$ enerjideki belirsizlik ve $\Delta t$ zamandaki belirsizlik olmak üzere,

$$\Delta E \Delta t \ge \hbar \tag{5}$$

Heisenberg belirsizlik ilkesi, ölçüm tekniklerinin yetersizliğine işaret etmemekte, aksine kuantumun olasılıksal niteliğine dair temel bir gerçeği sunmaktadır. Bu ilkenin en önemli çıktılarından biri, elektronun atom çekirdeklerinin etrafında bir olasılık bulutu olarak temsil edilmesidir. Bir diğer deyişle, elektronun belirli bir konumda bulunma olasılığını hesaplarız. Yarı iletken teknolojileri de esasen bu olasılık dağılımının manipülasyonu sonucu istenen elektriksel özelliklerin elde edilmesi yoluyla çalışır.

Schrödinger'in Dalga Denklemi

Kuantum mekaniğinin temel postulatı olan dalga denklemi aşağıdaki şekilde gösterilir.

$${\frac{-\hbar^2}{2m}}\cdot{\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}} + V(x)\Psi(x,t)= j\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} \tag{6}$$

Bu denklemde yer alan dalga fonksiyonu $\Psi(x,t)$, bize parçacıklardan oluşan fiziksel bir sistem hakkında önemli bilgiler verir. Ayrıca, $V(x)$ zamandan bağımsız potansiyel fonksiyonunu, $m$ parçacığın kütlesini ve $j$ sanal sayıyı temsil etmektedir.

Bu diferansiyel denklemden anlamlı sonuçlar çıkarabilmek için uygulayabileceğimiz ilk yöntem değişkenlerin ayrılması metotudur. Bu metotta dalga fonksiyonu, yalnızca zamana ve yalnızca konuma bağlı olan iki fonksiyonun çarpımı biçiminde yazılır.

$$\Psi(x,t)= \psi(x) \phi(t) \tag{7}$$

Dalga fonksiyonunu (7) dalga denkleminde (6) yerine koyup eşitliğin her iki tarafını da dalga fonksiyonuna böldüğümüzde aşağıdaki eşitliği elde ederiz.

$${\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi(x)} {\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}}} + V(x)= j\hbar \cdot \frac{1}{\phi(t)} \cdot {\frac{\partial \phi(t)}{\partial t}} \tag{8}$$

Bu eşitliğin sol tarafı yalnızca konumun bir fonksiyonu ve sağ tarafı yalnızca zamanın bir fonksiyonu olduğu için her iki taraf da bir sabite eşit olmalıdır. $\eta$ ayrım sabiti olmak üzere, eşitliğin zamana bağlı kısmı için:

$$\eta = j\hbar \cdot \frac{1}{\phi(t)} \cdot {\frac{\partial \phi(t)}{\partial t}} \tag{9}$$

Yukarıdaki diferansiyel denklemin (9) çözümü:

$$\phi(t) = e^{-j (\eta/\hbar) t} \tag{10}$$

$E=h\nu={h\omega}/{2\pi}$ olduğundan, bu denklemdeki açısal frekans olan $\omega = {\eta}/{\hbar}=E/\hbar$
Böylece ayrım sabitimizin enerjiye eşit olduğunu görebiliriz.

Bu bilgiyi kullanarak denklem (8)'in konuma bağlı kısmını aşağıdaki gibi yazabiliriz.

$$\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))\psi(x) = 0 \tag{11}$$

Son olarak genel dalga fonksiyonumuzu şu şekilde yazabiliriz:

$$\Psi(x,t)= \psi(x)\phi(t)= \psi(x) e^{-j(E/\hbar)t} \tag{12}$$

Bu basit görünümlü fonksiyonun mutlak değerinin karesi, bir parçacığın pozisyonunun olasılık dağılımını belirlemek için kullanılır.

Şimdi de zamandan bağımsız dalga denklemini elektronu farklı potansiyeller altında incelerken kullanacağız.

Serbest Uzaydaki Elektron

İşe olabilecek en basit varsayımsal durumla başlayalım. Bu, elektrona etki eden herhangi bir net kuvvetin bulunmadığı durumdur. Bir diğer deyişle, elektron sabit bir potansiyel $V(x)$ altında hareket etmektedir. Kolaylık sağlaması açısından tüm $x$ değerleri için $V(x)=0$ olduğunu varsayabiliriz. Böylece zamandan bağımsız dalga denklemi şöyle yazılır:

$$\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + \frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)=0 \tag{13}$$

$k$ dalga sayısı ve A ile B katsayılar olmak üzere, bu diferansiyel denklemin çözümü;

$$\psi(x)=A exp(jkx)+B exp(-jkx) \tag{14}$$ $$k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}} \tag{15}$$

Şimdi de eşitlik (10)'da verilen zamana bağlı çözümü kullanarak genel dalga denklemini yeniden yazalım:

$$\Psi(x,t)=A exp[j(kx-wt)]+B exp[-j(kx+wt)] \tag{16}$$

(16)'daki sonucun matematiksel karşılığı ilerleyen dalgadır (traveling wave). $A$ katsayısına sahip birinci terim +$x$ yönünde, $B$ katsayısına sahip ikinci terim -$x$ yönünde hareket eden dalgaları ifade ederler.

İncelememize konvansiyonel olarak +$x$ yönünde ilerleyen dalgayı ele alarak devam edelim. dalga sayısı $k$,

$$k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}=\sqrt{\frac{p^2}{\hbar^2}}=\frac{p}{\hbar} \tag{17}$$

de Broglie dalga boyu eşitliğinden faydalanarak şu sonuca ulaşırız:

$$k=\frac{2\pi}{\lambda} \tag{18}$$

Yani serbest elektron, iyi tanımlı bir momentuma sahiptir.

Ayrıca olasılık yoğunluğu fonksiyonu (the probability density function) $\Psi(x,t)\Psi^*(x,t)= AA^*$, yani konumdan bağımsız bir sabittir. Bunun fiziksel anlamı, iyi tanımlı momentuma sahip serbest elektronun uzayın her noktasında eşit olasılıkla bulunmasıdır, ki bu Heisenberg Belirsizlik ilkesi ile uyumlu bir sonuçtur çünkü iyi tanımlı bir momentum, konumdaki belirsizlik anlamına gelmektedir.

Sonsuz Potansiyel Kuyusu

Sonsuz potansiyel kuyusu, elektronun belirli bir potansiyel ile sınırlandırıldığı en temel konsepttir. Bu konsepte göre elektron, Şekil 1'de gösterildiği üzere iki sonsuz değerli potansiyel bariyerin arasındaki II numaralı bölge ile sınırlandırılmıştır.

![[Infinite_Potential_Well.png]]

Şekil 1. Sonsuz Potansiyel Kuyusu

Dalga denklemimizin zamandan bağımsız kısmını (11) hatırlayacak olursak:

$$\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))\psi(x) = 0 \tag{19}$$

Enerji $E$ sonlu bir değere sahip olduğundan, potansiyelin sonsuz değerli olduğu I ve III numaralı bölgelerde dalga fonksiyonu $\psi(x)$ sıfır olmalıdır. Bunun fiziksel anlamı, elektronun söz konusu iki bölgede bulunma olasılığının sıfır olduğudur.

Bölge II'de ise potansiyel $V$ sıfıra eşittir, böylece zamandan bağımsız dalga denklemini aşağıdaki biçimde yazabiliriz.

$$\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + \frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x) = 0 \tag{20}$$

Bu denklemin özel çözümü:

$$\psi(x)=A_1cos(kx)+A_2sin(kx) \tag{21}$$ $$k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \tag{22}$$

$\psi(x)$'in sürekli bir fonksiyon olması sınır koşulunu kullanarak

$$\psi(x=0)=\psi(x=a)=0 \tag{23}$$

$A_1=0$ olarak bulunur ve $x=a$'da

$$A_2sin(ka)=0 \tag{24}$$

Böylece $n$ pozitif bir tam sayı olmak koşuluyla dalga sayısı $k$ şu şekilde gösterilir

$$k=\frac{n\pi}{a} \tag{25}$$

Şimdi de bir diğer sınır koşulu olan normalizasyonu kullanarak $A_2$ katsayısını tespit edelim. Burada, $\psi(x)$ reel bir fonksiyon olduğu için $\psi(x)=\psi^*(x)$ eşitliğinden faydalanırız.

$$\int_0^a A_2^2sin^2(kx) \,dx = 1 \tag{26}$$ $$A_2=\sqrt{\frac{2}{a}} \tag{27}$$

Bu sayede, n pozitif tamsayı olmak üzere zamandan bağımsız dalga fonksiyonunun aldığı form aşağıdaki gibidir.

$$\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \tag{28}$$

Bir önceki kısımda gördüğümüz serbest elektron hareket eden dalga ile temsil ediliyordu. Bu eşitlik ise bağlı elektronun duran dalga (standing wave) olarak temsil edildiğini göstermektedir. Son olarak, denklem (25) ve (28)'den faydalanarak dalga sayısı $k$ ve toplam enerji $E$ arasındaki ilişkiye bakalım.

$$k_n^2=\frac{2mE_n}{\hbar^2}=\frac{n^2\pi^2}{a^2} \tag{29}$$ $$E=E_n=\frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2ma^2} \tag{30}$$

Bu örnek bize elektronun belirli potansiyeller altında lokalize bir davranış sergileyeceğini matematiksel olarak göstermektedir. Varmamız gereken bir diğer sonuç ise bağlı elektronun enerji seviyelerinin ayrık yapıda olduğudur. Sonsuz potansiyel kuyusu örneği için bu ayrık enerji seviyeleri Şekil 2'de gösterilmektedir. İlerleyen bölümlerde bu enerji seviyeleri ve olasılık dağılım fonksiyonu üzerinde detaylıca duracağız.

![[Sonsuz_Potansiyel_Kuyusu_Enerji_Seviyeleri.png]]

Şekil 2. Sonsuz Potansiyel Kuyusu: (a) En düşük dört enerji seviyesi, (b) Dalga fonksiyonları, (c) Olasılık fonksiyonları

Şimdi de örneğimize bir miktar daha gerçeklik katarak sonlu potansiyele sahip durumu ele alalım.

Potansiyel Bariyer ve Tünelleme

Kuantum dalga fonksiyonlarının potansiyel bariyer penetrasyonu ilk olarak 1927'de F. Hund tarafından teorik olarak incelenmiştir. Kısa bir süre sonra Schrödinger tarafından geliştirilen dalga denklemiyle birlikte daha önceden klasik olarak olanaksız görünen $\alpha$-bozunumu gibi bazı radyoaktif bozunumlar, tünelleme konseptiyle açıklanabilmeye başlanmıştır. 1957'de Leo Esaki tarafından icat edilen tünel diyodunda tünellemenin sadece atom çekirdeğinde değil, aynı zamanda yarı iletkenlerde de gözlemlenebilen fiziksel bir fenomen olduğu anlaşılmıştır. Kuantum tünelleme uygulamaları, 1960-1990 yılları arasında büyük bir çeşitlenme yaşayarak ölçüm teknolojilerinden süperiletkenlere ve kuantum bilgisayarlara kadar nanoteknolojinin birçok alanında önemli bir rol oynamıştır.

Kuantum tünellemeyi anlatmak için seçilebilecek en basit sistem, Şekil 3'te verilen sınırlı yüksekliğe sahip olan kare şekilli potansiyel bir bariyerdir. Bu potansiyel şöyle ifade edilir:

$$U(x)= \begin{cases} 0,\ x<0 \\ U_0,\ 0\le x \le L \\ 0,\ x>L \end{cases} \tag{31}$$

![[Tunneling.png]]

Şekil 3. Potansiyel Bariyer

$E$ enerjisine sahip ve zamandan bağımsız elektron demetinin şekildeki potansiyel bariyere $+x$ yönünde gönderildiğini varsayalım. Zamandan bağımsız dalga denklemini hatırlayacak olursak;

$$\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+U(x)\psi(x)=E\psi(x) \tag{32}$$

Şekil 3'te I numaralı bölgedeki dalga fonksiyonu $\psi_I(x)$, II numaralı bölgedeki dalga fonksiyonu $\psi_{II}(x)$ ve III numaralı bölgedeki dalga fonksiyonu $\psi_{III}(x)$ olmak üzere zamandan bağımsız dalga denklemi her bir bölge için şu biçimlerde yazılabilir:

$$\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi_I(x)}{dx^2}=E\psi_I(x)\quad ,-\infty<x<0 \tag{33}$$

$$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_{II}(x)}{dx^2}+U_0\psi_{II}(x)=E\psi_{II}(x)\quad , 0\le x\le L \tag{34}$$ $$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_{III}(x)}{dx^2}=E\psi_{III}(x)\quad , L<x<+\infty \tag{35}$$

Fonksiyonumuzun sürekli olması gerekiyor, bu nedenle bu örnek için sınır koşullarını tanımlayalım:

$$\psi_I(0)=\psi_{II}(0) \tag{36}$$ $$\psi_{II}(L)=\psi_{III}(L) \tag{37}$$

Ayrıca dalga fonksiyonlarının birinci türevleri de bölge sınırlarında sürekli olmalıdır:

$$\left. \frac{d\psi_I(x)}{dx} \right |_{x=0}= \left. \frac{d\psi_{II}(x)}{dx} \right |_{x=0} \tag{38}$$ $$\left. \frac{d\psi_{II}(x)}{dx} \right |_{x=L}= \left. \frac{d\psi_{III}(x)}{dx} \right |_{x=L} \tag{39}$$

I ve II numaralı bölgelerde dalga fonksiyonları aşağıdaki gibidir.

$$\psi_I(x)=Ae^{+ikx}+Be^{-ikx} \tag{40}$$ $$\psi_{III}(x)=Fe^{+ikx}+Ge^{-ikx} \tag{41}$$

Burada $k=\sqrt{2mE}/\hbar$.

Bölge I'de gelen (incident) ve yansıyan (reflected) olmak üzere iki dalga vardır, bunlar Eşitlik 40'ta $A$ ve $B$ katsayılarına sahip terimlerle ifade edilmektedir. Ancak, bölge III'te yalnızca iletilen (transmitted) dalga vardır; yani $G=0$ olmalıdır.

Bu eşitliklerin yardımıyla, bariyere gelen bir parçacığın tünelleme olasılığını

$$T(L,E)=\frac{|\psi_{tra}(x)|^2}{|\psi_{in}(x)|^2}=\frac{|F||F|^*}{|A||A|^*}=\left |\frac{F}{A}\right |^2 \tag{42}$$

olarak yazabiliriz. Burada $L$ bariyer genişliğini ve $E$ parçacığın toplam enerjisini temsil etmektedir.

Bölge II için eşitlik 34

$$\frac{d^2\psi_{II}(x)}{dx^2}=\beta^2\psi_{II}(x) \tag{43}$$ $$\beta^2=\frac{2m}{\hbar^2}(U_0-E) \tag{44}$$

şeklinde yeniden yazılabilir ve çözümü

$$\psi_{II}(x)=Ce^{-\beta x}+ De^{+\beta x} \tag{45}$$

şeklindedir.

Buradan fark edileceği gibi, bölge II için dalga fonksiyonu salınımlı değil, kademeli zayıflayan bir karakteristiğe sahiptir.

Her üç bölge için çözümler Şekil 4'te görselleştirilmiştir.

![[Zamandan bağımsız Schrödinger denkleminin potansiyel bariyer için üç ayrı çözümü.png]]

Şekil 4. Zamandan bağımsız Schrödinger denkleminin potansiyel bariyer için üç ayrı çözümü

45, 46, 47 ve 48 numaralı eşitliklerde verilen bilgileri kullanarak $F/A$ oranını

$$\gamma = \beta/k\ - k/\beta \tag{46}$$

olmak üzere

$$\frac{F}{A}=\frac{e^{-ikL}}{cosh(\beta L)+i(\gamma /2)sinh(\beta L)} \tag{47}$$

olarak buluruz.

Böylece eşitlik 42 kullanılarak varılacak sonuç şudur:

$$T(L,E)=16\frac{E}{U_0}\left(1-\frac{E}{U_0}\right)e^{-2\beta L} \tag{48}$$

Bu örneğimizde, elektronun kendi enerjisinden yüksek enerjili potansiyelleri tünelleme sayesinde nasıl aşabileceğini gördük. Elektronun klasik fizik çerçevesinde imkansız olan bu davranışı bize kuantum ölçekte sınanabilir ve tutarlı sonuçlar vermektedir.

Dalga Teorisinin Basit Atomlara Genişletilmesi

Şimdiye kadar yalnızca iki boyutlu basitleştirilmiş sistemler üzerinde durduk. Bu bölümü bitirmeden önce hidrojen gibi tek elektronlu bir atom üzerinden dalga denklemimizi üç boyutta yeniden ele alalım ve kuantum sayılarından kısaca söz edelim.

Hidrojen için potansiyel fonksiyonumuz Coulomb potansiyelidir ve şöyle ifade edilir:

$$V(r)=\frac{-e^2}{4\pi \epsilon_0 r} \tag{49}$$

Burada $e$ elektronun yükünün büyüklüğünü, $\epsilon_0$ boş uzayın elektriksel geçirgenliğini, $r$ ise elektronun çekirdeğe olan radyal uzaklığını temsil etmektedir. Potansiyelimiz küresel simetriye sahip olduğundan, zamandan bağımsız dalga fonksiyonumuzu da küresel koordinatta yeniden yazalım.

$$\nabla^2 \psi(r,\theta,\phi)+\frac{2m_0}{\hbar^2}(E-V(r))\psi(r,\theta,\phi)=0 \tag{50}$$

Laplace operatörünün de küresel koordinatlarda yazılması ile dalga denklemimiz

$$\frac{1}{r^2}\cdot \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2 sin^2 \theta}\cdot \frac{\partial^2\psi}{\partial \phi^2}+\frac{1}{r^2 sin\theta}\cdot \frac{\partial}{\partial \theta}\left(sin\theta \cdot \frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)+\frac{2m_0}{\hbar^2}(E-V(r))\psi=0 \tag{51}$$

olarak yeniden yazılabilir.

Değişkenlerin ayrılması metodunu kullanalım.

$$\psi(r,\theta,\phi)=R(r)\cdot \Theta(\theta)\cdot \Phi(\phi) \tag{52}$$

Yeni dalga denklemimiz:

$$\frac{sin^2\theta}{R}\cdot \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial R}{\partial r}\right)+\frac{1}{\Phi}\cdot \frac{\partial^2 \phi}{\partial \phi^2}+\frac{sin\theta}{\Theta}\cdot \frac{\partial}{\partial\theta}\left(sin\theta \cdot\frac{\partial \Theta}{\partial \theta} \right)+r^2sin^2\theta\cdot \frac{2m_0}{\hbar^2}(E-V)=0 \tag{53}$$

Denklem 53'deki ikinci terim yalnızca $\phi$'ın bir fonksiyonu olduğundan önce onu inceleyelim. $m$ ayrım sabiti olmak üzere;

$$\frac{1}{\Phi}\cdot \frac{\partial^2\Phi}{\partial \phi^2}=-m^2 \tag{54}$$

Böylece $\phi$ için çözüm

$$\Phi(\phi)=e^{jm\phi} \tag{55}$$

Bu durumda

$$\Phi(\phi+2\pi)=\Phi(\phi) \tag{56}$$

Yani $m$ bir tam sayı olmalıdır.

$$m=0,\ \pm 1, \ \pm2, \ ... \tag{57}$$

Benzer biçimlerde ayrım sabitleri kullanılarak ve kompleks cebirsel manipülasyonlarla açısal ve radyal çözümler (sırasıyla $\Theta(\theta)$ ve $R(r)$) bulunabilir. Bu çözümlerin yazılabilmesi için Legendre polinomları ve küresel Bessel fonksiyonları gibi çeşitli fonksiyonların kullanılması ve efektif potansiyel gibi genişletilmiş bir potansiyelin tanımlanması gerekir. Bu hesaplamalara burada girmeyeceğiz².

Elektronun enerjisi ise

$$E_n=\frac{-m_0e^4}{(4\pi \epsilon_0)^22\hbar^2n^2} \tag{58}$$

şeklinde tanımlanır.

Cebirsel analiz sonucu ulaşılabilecek kuantum sayılarına Tablo 1'de yer verilmiştir.

Sembol	İsim	Değer Aralığı
$n$	Baş kuantum sayısı	$1, 2, 3, ...$
$l$	Açısal momentum kuantum sayısı	$0,1,2,...,n-1$
$m$	Manyetik kuantum sayısı	$-l,...,0,...,+l$

Tablo 1. Kuantum Sayıları

Tablo 1'deki niceliklerin hepsi, sistemin sınır koşullarından ve simetrisinden türetilirler. Kuantum sayılarının her biri bir kuantum operatöre kaşılık gelen özdeğerlerdir ve bir gözlemlenebiliri (observable) temsil ederler. Baş kuantum sayısı $n$, Schrödinger'in dalga denkleminin radyal çözümünün bir çıktısıdır ve elektronun enerji seviyeleriyle orbital yarıçapları hakkında bilgi verir. Açısal momentum kuantum sayısı $l$, küresel koordinatlarda ifade edilen dalga denkleminin açısal bileşenlerinin ayrılması yoluyla elde edilir ve orbitalin açısal momentumuyla şekli hakkında bilgi verir. Manyetik kuantum sayısı $m$ de (bazı kaynaklarda $m_l$ olarak da ifade edilir) yukarıda gösterdiğimiz üzere açısal denklemden türetilir ve açısal momentumun $z$ komponentini tanımlayarak orbitalin uzaydaki yönelimiyle ilgili bilgi verir.

Dalga denkleminin çözümü, bu üç kuantum sayısına bağlı olarak $\psi_{nlm}$ şeklinde yazılır.

$$\psi_{nlm}=\sqrt{\left(\frac{2}{na_0}\right)^3\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}}e^{-r/na_0} \left(\frac{2r}{na_0}\right)^l [L_{n-l-1}^{2l+1}(2r/na_0)]Y_l^m(\theta,\phi) \tag{59}$$

Burada $n$, $l$, $m$ kuantum sayıları, $a$ Bohr yarıçapı, $Y_l^m(\theta,\phi)$ küresel harmonikler, ve $L_{n-l-1}^{2l+1}$ Laguerre polinomudur.

$$a_0=\frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{m_0e^2}=0.529 \text{\r{A}} \tag{60}$$

Hidrojen için ilk birkaç elektron yoğunluğu dağılımı grafiği Şekil 5'te verilmiştir.

![[Elektron yoğunluk dağılımı.png]]

Şekil 5. Hidrojen için elektron yoğunluk dağılımları. $0<\phi<\pi /2$ aralığı anlaşılırlık için çıkarılmıştır.

Uzamsal dalga fonksiyonundan türetilmeyip öz spinin serbestlik derecesi (intrinsic spin degree of freedom) ile ilgili olan bir diğer kuantum sayısı ise spin kuantum sayısıdır ($m_s$). Bu nicelik, parçacığın öz açısal momentumunu temsil eder ve elektron için yalnızca aşağıda verilen iki değeri alabilir.

$$m_s=+\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \tag{61}$$

Bir atom veya moleküldeki bağlı elektronlar yukarıda açıklanan dört kuantum sayısı tarafından tanımlanır.

Sonraki bölümlerde karşılaşacağımız bant yapılarını anlayabilmek için gerekli olan bir diğer konsept Pauli Dışlama ilkesidir. Bu ilkeye göre iki özdeş fermiyon aynı kuantum durumunda eş zamanlı olarak bulunamaz. Bir diğer deyişle, dört kuantum sayısı da aynı olan iki elektronun varlığı kuantum mekaniksel olarak imkansızdır. Dolayısıyla her orbital ters yönelimli spine sahip en fazla iki elektron bulundurabilir. Bu limitasyon, bir sonraki bölümde ele alacağımız bant yapılarının temel sebebidir.

Bu bölümde elektronun ikili doğasına ve bağlı olduğu durumlarda enerji seviyelerindeki süreksizliğe değinerek basit potansiyel kuyusu konseptlerine bakış attık. Potansiyel bariyer konusunu ayrıca değerlendirerek tünelleme fenomenine dair basit bir giriş yaptık. Son olarak dalga denklemini hidrojen atomunu incelemek için kullanarak kuantum sayılarına değindik ve Pauli Dışlama ilkesinden kısaca söz ettik. Tüm bunlar, anlatılan konularda tam bir kavrayış sağlamak için yeterli olmasalar da serimizin ilerleyen bölümleri için temel bir giriş niteliği taşımaktadırlar. Bir sonraki bölümümüzde katıların kuantum teorisini anlatarak elektronların katı kristal yapılar içerisindeki davranışlarını inceleyeceğiz.

Kaynakça

• Semiconductor Physics And Devices by Donald A. Neamen Third Edition
• Introduction to Quantum Mechanics by D.J. Griffiths and D.F. Schroeter
• Openstax University Physics Volume 3
• https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum-number
• https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum-mechanics

Dipnotlar

Footnotes

1. Kristal yapıları analiz etmede önemli bir yeri olan elektron kırınımı metodunu önümüzdeki bölümlerde detaylı olarak ele alacağız. ↩

2. Ayrıntılı inceleme için bakınız: Introduction to Quantum Mechanics, David J. Griffiths ve Darrell F. Schroeter ↩