Neden Süpersimetri?

Bu Seriyi Neden Yazıyoruz?

Süpersimetri, teorik fiziğin en çok tartışılan ve en kolay yanlış anlaşılan konularından biridir. İlk kez duyan biri için kulağa oldukça garip gelir: Her bozonun bir fermiyon eşi, her fermiyonun da bir bozon eşi olacak. Elektronun skaler bir eşi, kuarkların skaler eşleri, fotonun fermiyonik bir eşi, gluonun fermiyonik bir eşi olacak. İlk bakışta insan doğal olarak şunu sorar: Neden böyle bir şeye ihtiyaç duyalım? Elimizde zaten Standart Model gibi son derece başarılı bir teori yok mu?

Bu soru çok yerindedir. Çünkü süpersimetriyi anlamanın en iyi yolu, onu doğrudan matematiksel denklemlerle başlatmak değildir. Önce şunu anlamamız gerekir: Standart Model nerede başarılıdır, nerede eksik kalır ve neden daha derin bir teori arama ihtiyacı duyarız? Eğer bu motivasyon anlaşılmazsa, süpersimetri yalnızca matematiksel bir oyuncak gibi görünür. Oysa süpersimetri hem yüksek enerji fiziğinde, hem parçacık fiziğinde, hem kuantum alan teorisinde, hem kozmolojide, hem de sicim teorisinde temel bir rol oynar.

Bu seriyi yazmamızın temel nedeni tam olarak budur. Amacımız yalnızca süpersimetri formüllerini yan yana yazıp “işte süpersimetri budur” demek değildir. Amacımız, süpersimetrinin hangi fiziksel problemlerden doğduğunu, hangi matematiksel yapıya sahip olduğunu ve Standart Model'in ötesinde nasıl bir teori kurmaya çalıştığını adım adım anlatmaktır. Bu yüzden bu seri yalnızca “süpersimetri nedir?” sorusuna değil, aynı zamanda “süpersimetri neden düşünülmüştür?”, “hangi problemi çözmeye çalışır?” ve “teorik fizikçiler yeni bir modeli nasıl kurar?” sorularına da cevap vermeye çalışacaktır.

Başlamadan önce bir noktada açık olmak gerekir: Süpersimetri şu ana kadar deneysel olarak doğrulanmış bir teori değildir. Büyük Hadron Çarpıştırıcısı'nda Standart Model parçacıklarının süpersimetrik eşleri doğrudan gözlenmemiştir. Bu yüzden süpersimetriyi anlatırken sanki doğada kesin olarak varmış gibi konuşmak doğru olmaz. Fakat aynı şekilde, deneysel olarak henüz bulunmadı diye süpersimetrinin önemini yok saymak da doğru değildir. Çünkü süpersimetri, kuantum alan teorisinde skaler kütlelerin korunması, ayar bağlaşım sabitlerinin birleşmesi, karanlık madde adayları, süpergravite ve sicim teorisi gibi birçok konuda çok güçlü bir teorik çerçeve sunar.

Bu seride süpersimetrinin nerede güçlü olduğunu, hangi problemi gerçekten çözdüğünü, hangi noktalarda yeni problemler doğurduğunu ve deneysel durumunun ne anlama geldiğini açıkça tartışacağız. Bu yüzden ilk bölümde hemen süpersimetri cebirine girmeyeceğiz. Önce Standart Model'in hangi noktada bizi zorladığını göreceğiz. Çünkü süpersimetriye giden yolu anlamak için önce problemi doğru kurmak gerekir.

Bu Bölümde Ne Yapacağız?

Öncelikle bu yazıyı okuyabilmeniz için maalesef ki kuantum alan teorisi ve parçacık fiziği hakkında temel bilgi sahibi olmanızı bekliyoruz. Hadron nedir, Feynman diyagramı nasıl yazılır gibi konuları burada anlatmayacağım. Eğer bunları bilmiyorsanız hiç merak etmeyin; çok yakında Yaren'in yazdığı Kuantum Alan Teorisi serisine başlayacağız. O seriyi okuyup bu seriye daha sonra dönebilirsiniz.

Şimdi kalanlar için bu bölümde neler yapacağımızdan bahsedelim. Bu bölümde asıl hedefimiz süpersimetriyi doğrudan kurmak değil, süpersimetriye neden ihtiyaç duyulduğunu anlamak olacak. Bunun için önce Standart Model'i kısaca hatırlayacağız. Özellikle Higgs alanının neden gerekli olduğunu, fermiyonlara kütlenin nasıl verildiğini ve elektrozayıf ölçeğin nereden geldiğini açıkça göstereceğiz.

Daha sonra asıl probleme geleceğiz: Higgs kütlesi neden doğallık problemi yaratır? Bu soruya cevap arayacağız.

Hazırsanız başlayalım.

Standart Model'e Kısa Bir Bakış

Standart Model'in temel ayar simetrisi

$$SU(3)_C \times SU(2)_L \times U(1)_Y$$

şeklindedir. Bu ifade çok kısa görünür ama aslında teorinin büyük kısmını özetler.

$SU(3)_C$ güçlü etkileşimi anlatır. Buradaki $C$, renk yükünü gösterir. Kuarklar renk yükü taşır, gluonlar ise bu etkileşimi taşıyan ayar bozonlarıdır.

$SU(2)_L \times U(1)_Y$ ise elektrozayıf etkileşimi anlatır. Buradaki $L$ harfi önemlidir; çünkü zayıf etkileşim sol elli fermiyonlara özel davranır. Sol elli fermiyonlar $SU(2)_L$ dubletleri içinde bulunurken, sağ elli fermiyonlar singlet olarak bulunur.

Elektrik yükü, zayıf izospin ve hiperyük arasında şu ilişki vardır:

$$Q = T_3 + \frac{Y}{2}.$$

Burada $Q$ elektrik yükünü, $T_3$ zayıf izospinin üçüncü bileşenini, $Y$ ise hiperyükü gösterir. Bu yazıda hiperyük konvansiyonunu bu şekilde kullanacağız.

Bunu hemen bir örnekle görelim. Sol elli leptonlar

$$L_L = \begin{pmatrix} \nu_L \\ e_L \end{pmatrix}$$

dubleti içinde bulunur. Bu dublette üst bileşenin zayıf izospini

$$T_3(\nu_L)=+\frac{1}{2}$$

alt bileşenin zayıf izospini ise

$$T_3(e_L)=-\frac{1}{2}$$

olarak alınır.

Nötrinolar elektriksel olarak yüksüzdür:

$$Q(\nu_L)=0.$$

Elektrik yükü bağıntısını nötrino için yazalım:

$$0 = \frac{1}{2}+\frac{Y_L}{2}.$$

Buradan

$$\frac{Y_L}{2}=-\frac{1}{2}$$

ve

$$Y_L=-1$$

bulunur.

Şimdi elektron için aynı bağıntıyı kullanalım. Elektron aynı dubletin alt bileşeni olduğu için hiperyük yine

$$Y_L=-1$$

olur. O hâlde

$$Q(e_L) = -\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}$$

ve buradan

$$Q(e_L)=-1$$

çıkar.

Bu küçük hesap bize önemli bir şey anlatır. Standart Model'de parçacıkların yükleri rastgele verilmez. Hangi alanın hangi simetri altında nasıl dönüştüğü, o alanın yükünü ve etkileşimlerini belirler. Bu yüzden Standart Model bir parçacık kataloğu değildir; simetri ilkeleri üzerine kurulu bir kuantum alan teorisidir. Takdir edersiniz ki bu yüzden Standart Model'i anlamak için kuantum alan teorisini iyi bilmek gerekir.

Kütle Meselesi Neden Önemli?

Şimdi yavaş yavaş asıl meseleye yaklaşalım. Günlük sezgimizde kütle çok doğal bir şeydir. Bir parçacığın kütlesi vardır, bunu denkleme yazarız ve devam ederiz. Fakat Standart Model'de kütle yazmak her zaman serbest değildir. Çünkü kütle terimleri ayar simetrisine uygun olmak zorundadır.

Bir Dirac fermiyonu için kütle terimi genel olarak

$$\mathcal{L}_m=-m\bar{\psi}\psi$$

şeklindedir. Burada Dirac eşleniği

$$\bar{\psi}=\psi^\dagger \gamma^0$$

olarak tanımlanır.

Dirac spinörünü sol ve sağ kiral bileşenlerine ayıralım:

$$\psi=\psi_L+\psi_R.$$

Burada

$$\psi_L=P_L\psi, \qquad \psi_R=P_R\psi$$

ve izdüşüm operatörleri

$$P_L=\frac{1-\gamma^5}{2}, \qquad P_R=\frac{1+\gamma^5}{2}$$

şeklindedir.

Bu operatörlerin temel özellikleri şunlardır:

$$P_L^2=P_L, \qquad P_R^2=P_R, \qquad P_LP_R=P_RP_L=0, \qquad P_L+P_R=1.$$

Şimdi kütle terimini kiral bileşenler cinsinden yazmak istiyoruz. Bunun için önce Dirac eşleniğinin kiral bileşenlerini dikkatli biçimde inceleyelim.

Sol kiral bileşenin Dirac eşleniği

$$\bar{\psi}_L=(\psi_L)^\dagger \gamma^0$$

şeklindedir. Fakat

$$\psi_L=P_L\psi$$

olduğundan

$$\bar{\psi}_L=(P_L\psi)^\dagger\gamma^0.$$

Hermitik eşlenik alırsak

$$\bar{\psi}_L=\psi^\dagger P_L^\dagger\gamma^0.$$

Projeksiyon operatörleri Hermitik olduğundan

$$P_L^\dagger=P_L$$

yazabiliriz. Dolayısıyla

$$\bar{\psi}_L=\psi^\dagger P_L\gamma^0.$$

Şimdi ifadeyi $\bar{\psi}=\psi^\dagger\gamma^0$ biçimine getirmek için araya

$$\gamma^0\gamma^0=1$$

yazalım:

$$\bar{\psi}_L = \psi^\dagger\gamma^0(\gamma^0P_L\gamma^0).$$

Burada

$$\psi^\dagger\gamma^0=\bar{\psi}$$

olduğundan

$$\bar{\psi}_L = \bar{\psi}(\gamma^0P_L\gamma^0).$$

Şimdi

$$P_L=\frac{1-\gamma^5}{2}$$

olduğunu kullanalım:

$$\gamma^0P_L\gamma^0 = \gamma^0\left(\frac{1-\gamma^5}{2}\right)\gamma^0.$$

Bu ifade

$$\gamma^0P_L\gamma^0 = \frac{\gamma^0\gamma^0-\gamma^0\gamma^5\gamma^0}{2}$$

olur. Ayrıca

$$(\gamma^0)^2=1$$

ve

$$\gamma^0\gamma^5\gamma^0=-\gamma^5$$

olduğundan

$$\gamma^0P_L\gamma^0 = \frac{1+\gamma^5}{2}$$

bulunur. Fakat

$$\frac{1+\gamma^5}{2}=P_R.$$

Dolayısıyla

$$\boxed{\bar{\psi}_L=\bar{\psi}P_R}$$

buluruz.

Benzer şekilde

$$\boxed{\bar{\psi}_R=\bar{\psi}P_L}$$

elde edilir.

Dikkat edilmesi gereken önemli nokta şudur:

$$\psi_L=P_L\psi$$

iken

$$\bar{\psi}_L=\bar{\psi}P_R$$

olur. Yani Dirac eşleniği alınca sol ve sağ projektörler yer değiştirir.

Şimdi kütle terimini açalım:

$$\bar{\psi}\psi = (\bar{\psi}_L+\bar{\psi}_R)(\psi_L+\psi_R).$$

Dağıtırsak

$$\bar{\psi}\psi = \bar{\psi}_L\psi_L + \bar{\psi}_L\psi_R + \bar{\psi}_R\psi_L + \bar{\psi}_R\psi_R$$

elde ederiz.

Şimdi aynı kiraliteye sahip terimlerin neden sıfır olduğunu gösterelim. Önce

$$\bar{\psi}_L\psi_L$$

terimine bakalım. Yukarıda bulduğumuz sonuçları kullanalım:

$$\bar{\psi}_L=\bar{\psi}P_R, \qquad \psi_L=P_L\psi.$$

Dolayısıyla

$$\bar{\psi}_L\psi_L = \bar{\psi}P_RP_L\psi.$$

Fakat projektörler için

$$P_RP_L=0$$

olduğundan

$$\boxed{\bar{\psi}_L\psi_L=0}$$

bulunur.

Benzer şekilde

$$\bar{\psi}_R\psi_R = \bar{\psi}P_LP_R\psi.$$

Ama

$$P_LP_R=0$$

olduğu için

$$\boxed{\bar{\psi}_R\psi_R=0}$$

elde edilir.

Geriye yalnızca çapraz terimler kalır:

$$\bar{\psi}\psi = \bar{\psi}_L\psi_R+ \bar{\psi}_R\psi_L.$$

Dolayısıyla Dirac kütle terimi

$$\mathcal{L}_m=-m\bar{\psi}\psi$$

şu şekilde yazılır:

$$\boxed{ \mathcal{L}_m = -m\left(\bar{\psi}_L\psi_R+\bar{\psi}_R\psi_L\right) }$$

Bu sonucun fiziksel anlamı şudur: Dirac kütle terimi sol kiral fermiyon ile sağ kiral fermiyonu birbirine bağlar:

$$\psi_L \leftrightarrow \psi_R.$$

Bu nedenle Dirac fermiyonunun kütle kazanabilmesi için hem sol kiral hem de sağ kiral bileşenin bulunması gerekir.

Özetle,

$$\boxed{ \bar{\psi}\psi = \bar{\psi}_L\psi_R+\bar{\psi}_R\psi_L }$$

olur. Bu yüzden Dirac kütle terimi sol ve sağ kiral bileşenleri birbirine bağlayan bir terimdir.

Eğer sol ve sağ alanlar ayar simetrileri altında farklı davranıyorsa, bu terim simetriyi bozabilir. Standart Model'de sol elli elektron $SU(2)_L$ dubletinin parçasıdır:

$$L_L= \begin{pmatrix} \nu_L\\ e_L \end{pmatrix}.$$

Sağ elli elektron ise

$$e_R$$

şeklinde tek başına bir singlet alandır. Yani sol elli elektron ve sağ elli elektron elektrozayıf simetri altında aynı şekilde davranmaz. Bu nedenle doğrudan

$$-m_e\bar e_L e_R+\text{h.c.}$$

şeklinde bir kütle terimi yazmak Standart Model'in ayar simetrisine uygun değildir.

Peki fermiyonlar nasıl kütle kazanır? Cevap Higgs alanı sayesinde olacaktır. Higgs alanı simetriyi kendiliğinden kırar ve fermiyon kütleleri bu kırılmadan sonra ortaya çıkar. Burada önemli olan şey şudur: Başlangıçta yazdığımız teori ayar simetrisine uygun olmak zorundadır. Kütlelerin ortaya çıkışı ise Higgs alanı vakumda sıfırdan farklı bir değer aldığı içindir.

Higgs Alanı ve Potansiyeli

Standart Model'de Higgs alanı bir $SU(2)_L$ dubletidir:

$$\Phi= \begin{pmatrix} \phi^+\\ \phi^0 \end{pmatrix}.$$

Bu yazıda kullandığımız konvansiyonda Higgs alanının hiperyükü

$$Y_\Phi=+1$$

olarak alınır. Böylece $Q=T_3+Y/2$ bağıntısı ile üst bileşenin yükü $+1$, alt bileşenin yükü ise $0$ olur.

Higgs potansiyeli en basit biçimde

$$V(\Phi) = -\mu^2\Phi^\dagger\Phi + \lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2$$

şeklinde yazılır. Burada $\mu^2>0$ ve $\lambda>0$ olarak alınır. $\lambda>0$ koşulu önemlidir; çünkü büyük alan değerlerinde potansiyelin aşağıya doğru sınırsız gitmesini istemeyiz.

Şimdi bu potansiyelin minimumunu bulalım. Önce

$$x=\Phi^\dagger\Phi$$

diyelim. O zaman potansiyel

$$V(x)=-\mu^2x+\lambda x^2$$

olur.

Minimum için türev sıfır olmalıdır:

$$\frac{dV}{dx}=0.$$

Türevi alırsak

$$\frac{dV}{dx} = -\mu^2+2\lambda x$$

buluruz. Bunu sıfıra eşitlersek

$$-\mu^2+2\lambda x=0$$

olur. Buradan

$$2\lambda x=\mu^2$$

ve

$$x=\frac{\mu^2}{2\lambda}$$

sonucu çıkar.

Fakat $x=\Phi^\dagger\Phi$ idi. Vakumda Higgs alanını

$$\langle\Phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0\\ v \end{pmatrix}$$

şeklinde seçersek

$$\langle\Phi^\dagger\Phi\rangle = \frac{v^2}{2}$$

olur. O hâlde

$$\frac{v^2}{2} = \frac{\mu^2}{2\lambda}.$$

İki tarafı $2$ ile çarparsak

$$v^2=\frac{\mu^2}{\lambda}$$

bulunur.

Bu sonuç bize Higgs alanının vakum beklenti değerinin potansiyeldeki parametrelerden geldiğini söyler. Yani $v$ rastgele ortaya çıkmaz; Higgs potansiyelinin minimumu tarafından belirlenir.

Higgs Kütlesini Türetme

Şimdi fiziksel Higgs bozonunun kütlesini bulalım. Higgs alanını vakumun etrafında açıyoruz. Unitary gauge'de yazarsak

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0\\ v+h(x) \end{pmatrix}.$$

Buradaki $h(x)$ fiziksel Higgs bozonunu temsil eder.

Önce

$$\Phi^\dagger\Phi = \frac{(v+h)^2}{2}$$

olur. Bunu potansiyele koyarsak

$$V(h) = -\mu^2\frac{(v+h)^2}{2} + \lambda\frac{(v+h)^4}{4}$$

elde ederiz.

Kütleyi bulmak için potansiyeldeki $h^2$ terimini okumamız gerekir. Açılımları yazalım:

$$(v+h)^2 = v^2+2vh+h^2$$

ve

$$(v+h)^4 = v^4+4v^3h+6v^2h^2+4vh^3+h^4.$$

Şimdi yalnızca $h^2$ içeren terimleri seçelim. Birinci parçadan

$$-\mu^2\frac{(v+h)^2}{2} \supset -\frac{\mu^2}{2}h^2$$

gelir. İkinci parçadan ise

$$\lambda\frac{(v+h)^4}{4} \supset \lambda\frac{6v^2h^2}{4} = \frac{3}{2}\lambda v^2h^2$$

gelir. Dolayısıyla potansiyeldeki $h^2$ kısmı

$$V(h)\supset \left(-\frac{\mu^2}{2}+\frac{3}{2}\lambda v^2\right)h^2$$

olur.

Yukarıda bulduğumuz sonuçtan

$$\mu^2=\lambda v^2$$

yazabiliriz. Bunu yerine koyarsak

$$-\frac{\mu^2}{2}+\frac{3}{2}\lambda v^2 = -\frac{\lambda v^2}{2}+\frac{3}{2}\lambda v^2$$

olur. Sağ tarafı toplarsak

$$-\frac{1}{2}\lambda v^2+ \frac{3}{2}\lambda v^2 = \lambda v^2$$

elde ederiz. Yani

$$V(h)\supset \lambda v^2 h^2.$$

Bir reel skaler alan için potansiyelde kütle terimi

$$V(h)\supset \frac{1}{2}m_h^2h^2$$

şeklindedir. O hâlde

$$\lambda v^2h^2 = \frac{1}{2}m_h^2h^2$$

olmalıdır. Buradan

$$\boxed{m_h^2=2\lambda v^2}$$

sonucuna ulaşırız. Eşdeğer olarak, $v^2=\mu^2/\lambda$ olduğu için

$$m_h^2=2\mu^2$$

de yazılabilir.

Bu denklem ileride bizim için çok önemli olacak. Çünkü Higgs kütlesinin elektrozayıf ölçekle ilişkili olduğunu gösterir. Ama biraz sonra göreceğiz ki bu kütlenin kuantum düzeltmeleri altında küçük kalması hiç de kendiliğinden açık değildir.

Fermiyon Kütleleri Higgs'ten Nasıl Gelir?

Elektron üzerinden ilerlemeye devam edelim. Elektronun Yukawa etkileşimi

$$\mathcal{L}_Y = -y_e\bar L_L\Phi e_R+\text{h.c.}$$

şeklinde yazılır. Burada $y_e$ elektronun Yukawa bağlaşımıdır.

Bu terimin ayar simetrisine uygun olduğunu kontrol edelim. Sol elli lepton dubletinin hiperyükü

$$Y(L_L)=-1$$

idi. Bu yüzden

$$Y(\bar L_L)=+1$$

olur. Higgs alanı için

$$Y(\Phi)=+1$$

ve sağ elli elektron için

$$Y(e_R)=-2$$

olduğundan toplam hiperyük

$$Y(\bar L_L)+Y(\Phi)+Y(e_R) =+1+1-2=0$$

olur. Yani Yukawa terimi $U(1)_Y$ altında nötrdür. $SU(2)_L$ indeksleri de $\bar L_L\Phi$ çarpımıyla uygun biçimde büzülür.

Sol elli lepton dubleti

$$L_L= \begin{pmatrix} \nu_L\\ e_L \end{pmatrix}$$

idi. Higgs alanı simetri kırıldıktan sonra

$$\Phi = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0\\ v+h \end{pmatrix}$$

şeklindedir.

Şimdi $\bar L_L\Phi$ çarpımını açıkça yazalım:

$$\bar L_L\Phi = \begin{pmatrix} \bar\nu_L & \bar e_L \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0\\ v+h \end{pmatrix}.$$

Matris çarpımı yapılırsa

$$\bar L_L\Phi = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\bar\nu_L\cdot 0+\bar e_L(v+h)\right]$$

olur. İlk terim sıfırdır. Dolayısıyla

$$\bar L_L\Phi = \frac{v+h}{\sqrt{2}}\bar e_L$$

elde edilir.

Bunu Yukawa teriminde yerine koyalım:

$$\mathcal{L}_Y = -y_e\frac{v+h}{\sqrt{2}}\bar e_L e_R +\text{h.c.}$$

Parantezi açarsak

$$\mathcal{L}_Y = -\frac{y_ev}{\sqrt{2}}\bar e_L e_R - \frac{y_e}{\sqrt{2}}h\bar e_L e_R +\text{h.c.}$$

olur.

İlk terim elektronun kütle terimidir. Standart kütle terimiyle karşılaştırırsak

$$\boxed{m_e=\frac{y_ev}{\sqrt{2}}}$$

buluruz. İkinci terim ise Higgs bozonu ile elektron arasındaki etkileşimi verir. Çünkü

$$y_e=\frac{\sqrt{2}m_e}{v}$$

olduğundan

$$-\frac{y_e}{\sqrt{2}}h\bar e_L e_R+\text{h.c.} = -\frac{m_e}{v}h\bar e e$$

şeklinde yazılabilir.

Genel olarak yüklü fermiyonlar için kütleler

$$\boxed{m_f=\frac{y_fv}{\sqrt{2}}}$$

şeklinde yazılır. Burada küçük bir teknik ayrıntıyı belirtmek gerekir: Yüklü leptonlar ve down-type kuarklar Higgs dubleti $\Phi$ ile, up-type kuarklar ise

$$\tilde\Phi=i\sigma^2\Phi^*$$

ile Yukawa etkileşimi kurar. Minimal Standart Model'de nötrino kütleleri ise bu basit Yukawa yapısıyla açıklanmaz; nötrino kütleleri Standart Model'in ötesinde ek bir yapı gerektirir.

Bu sonuç şunu söyler: Standart Model'de fermiyon kütleleri Higgs alanının vakum beklenti değerinden ve Yukawa bağlaşımından gelir. Fakat burada küçük bir problem vardır. Denklem bize $y_f$ değerlerinin neden böyle olduğunu açıklamaz. Elektronun Yukawa bağlaşımı çok küçük, üst kuarkın Yukawa bağlaşımı ise yaklaşık bir mertebesindedir. Peki Standart Model bunu açıklar mı? Hayır. Sadece bu değerleri parametre olarak alır.

Bu da bize şunu gösterir: Standart Model'in yadsınamaz başarıları vardır; ama ona her şeyi açıklayan son teori dersek yanılmış oluruz.

Elektrozayıf Ölçek Nereden Geliyor?

Higgs vakum beklenti değeri yaklaşık

$$v\simeq 246\,\text{GeV}$$

olarak bilinir. Şimdi bu sayının nereden geldiğini görelim.

Düşük enerjili zayıf etkileşimlerde Fermi teorisi kullanılır. Bu teoride dört fermiyonlu etkileşimin katsayısı

$$\frac{G_F}{\sqrt{2}}$$

şeklindedir. Standart Model'de ise bu etkileşim $W$ bozonu değiş tokuşundan gelir.

Düşük enerjide momentum aktarımı $W$ kütlesinden küçükse

$$q^2\ll M_W^2$$

olur. Bu durumda $W$ propagatörü yaklaşık olarak

$$\frac{1}{q^2-M_W^2} \simeq -\frac{1}{M_W^2}$$

şeklinde davranır. Böylece $W$ değiş tokuşu düşük enerjide noktasal bir etkileşim gibi görünür.

Standart Model ile Fermi teorisini karşılaştırınca

$$\frac{G_F}{\sqrt{2}} = \frac{g^2}{8M_W^2}$$

ilişkisi elde edilir. Burada $g$, $SU(2)_L$ ayar bağlaşımıdır.

Higgs mekanizması $W$ bozonuna

$$M_W=\frac{gv}{2}$$

kütlesini verir. Karesini alırsak

$$M_W^2=\frac{g^2v^2}{4}$$

elde ederiz.

Bunu yukarıdaki Fermi bağıntısında yerine yazalım:

$$\frac{G_F}{\sqrt{2}} = \frac{g^2}{8(g^2v^2/4)}.$$

Paydada

$$8\left(\frac{g^2v^2}{4}\right) = 2g^2v^2$$

olur. Dolayısıyla

$$\frac{G_F}{\sqrt{2}} = \frac{g^2}{2g^2v^2}$$

elde ederiz. $g^2$ sadeleştirdiğimizde

$$\frac{G_F}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2v^2}$$

olur. Buradan

$$G_F=\frac{1}{\sqrt{2}v^2}$$

ve

$$\boxed{ v=(\sqrt{2}G_F)^{-1/2}\simeq 246\,\text{GeV} }$$

bulunur.

Şimdi kritik soru şudur: Bu ölçek neden bu kadar küçüktür? Evrenin temel ölçeklerinden biri olan Planck ölçeği yaklaşık

$$M_{\text{Pl}}\sim 10^{19}\,\text{GeV}$$

mertebesindedir. Büyük birleşme teorilerinde beklenen ölçek ise çoğu zaman

$$M_{\text{GUT}}\sim 10^{16}\,\text{GeV}$$

civarındadır. Buna karşılık elektrozayıf ölçek yalnızca

$$v\sim 10^2\,\text{GeV}$$

mertebesindedir. Arada inanılmaz büyük bir fark vardır.

Bu farkın kendisi tek başına sorun olmayabilirdi. Asıl sorun, Higgs gibi skaler alanların yüksek enerji ölçeklerine kuantum düzeyinde çok hassas olmasıdır. Şimdi bunu incelemeye geçebiliriz.

Etkin Teori Bakışı: Ağır Fizik ve Hafif Fizik

Standart Model'in doğanın son teorisi olmadığını söylemiştik. Bu konuda Standart Model'in yerini daha iyi bir bakış açısıyla şöyle tanımlayabiliriz: Standart Model, belirli bir enerji aralığında çalışan bir etkin teoridir. Yani düşük enerjide doğru sonuç verir; ama çok yüksek enerjilerde yerini daha temel bir teoriye bırakabilir.

Bu yeni fiziğin başladığı ölçeğe

$$\Lambda$$

diyelim. Eğer bu ölçek Planck ölçeğiyse

$$\Lambda\sim 10^{19}\,\text{GeV}$$

olabilir. Eğer büyük birleşme ölçeğiyse

$$\Lambda\sim 10^{16}\,\text{GeV}$$

olabilir.

Şimdi önemli nokta şudur: Ağır parçacıkları doğrudan üretmesek bile, onlar kuantum döngüleri içinde sanal olarak ortaya çıkabilir ve düşük enerjili parametreleri etkileyebilir. Özellikle skaler kütleler bu etkilere çok açıktır.

Bir skaler alanın kütlesine gelen tipik bir döngü düzeltmesini şu şekilde yazabiliriz:

$$\delta m^2 \sim \lambda \int^{\Lambda} \frac{d^4k_E}{(2\pi)^4} \frac{1}{k_E^2+m^2}.$$

Burada $k_E$ Öklidyen döngü momentumudur, $\lambda$ etkileşim sabitini temsil eder, $\Lambda$ ise kesme ölçeğidir. Bu noktada küçük bir teknik açıklama yapalım: Minkowski uzayındaki propagatörden Öklidyen forma geçmek için Wick rotasyonu yapılır. Bu yüzden integralde $k_E^2+m^2$ yapısı görünür.

Şimdi şu integrali açıkça hesaplayalım:

$$I(\Lambda) = \int_{|k_E|<\Lambda} \frac{d^4k_E}{(2\pi)^4} \frac{1}{k_E^2+m^2}.$$

Dört boyutlu Öklidyen momentum uzayında küresel koordinatlarda hacim elemanı

$$d^4k_E=2\pi^2k^3dk$$

şeklindedir. O hâlde

$$I(\Lambda) = \frac{2\pi^2}{(2\pi)^4} \int_0^\Lambda dk\, \frac{k^3}{k^2+m^2}$$

olur. Katsayıyı sadeleştirirsek

$$\frac{2\pi^2}{(2\pi)^4} = \frac{2\pi^2}{16\pi^4} = \frac{1}{8\pi^2}$$

buluruz. Dolayısıyla

$$I(\Lambda) = \frac{1}{8\pi^2} \int_0^\Lambda dk\, \frac{k^3}{k^2+m^2}$$

olur.

Şimdi integralin içindeki ifadeyi işlem kolaylığı için şu şekilde yeniden yazalım:

$$\frac{k^3}{k^2+m^2} = k-\frac{m^2k}{k^2+m^2}.$$

O hâlde integralimiz

$$I(\Lambda) = \frac{1}{8\pi^2} \left[ \int_0^\Lambda k\,dk - m^2\int_0^\Lambda\frac{k\,dk}{k^2+m^2} \right]$$

olur.

Burada ilk integral

$$\int_0^\Lambda k\,dk=\frac{\Lambda^2}{2}$$

sonucunu verir.

İkinci integral için

$$u=k^2+m^2$$

değişkenini seçelim. O zaman

$$du=2k\,dk$$

ve

$$k\,dk=\frac{du}{2}$$

olur. Sınırları da değiştirelim. $k=0$ için

$$u=m^2$$

ve $k=\Lambda$ için

$$u=\Lambda^2+m^2$$

olur. Böylece

$$\int_0^\Lambda \frac{k\,dk}{k^2+m^2} = \frac{1}{2} \int_{m^2}^{\Lambda^2+m^2}\frac{du}{u}$$

elde ederiz. Bu integral

$$\frac{1}{2} \ln\left(\frac{\Lambda^2+m^2}{m^2}\right)$$

sonucunu verir.

Bütün sonucu birleştirelim:

$$I(\Lambda) = \frac{1}{8\pi^2} \left[ \frac{\Lambda^2}{2} - \frac{m^2}{2} \ln\left(\frac{\Lambda^2+m^2}{m^2}\right) \right].$$

Yani

$$\boxed{ I(\Lambda) = \frac{1}{16\pi^2} \left[ \Lambda^2 - m^2\ln\left(\frac{\Lambda^2+m^2}{m^2}\right) \right] }$$

olur.

Eğer

$$\Lambda\gg m$$

ise baskın terim

$$I(\Lambda)\simeq\frac{\Lambda^2}{16\pi^2}$$

olur. Dolayısıyla skaler kütle düzeltmesi şematik olarak

$$\boxed{ \delta m^2 \sim \frac{\lambda}{16\pi^2}\Lambda^2 }$$

şeklinde davranır.

Bu sonuç çok önemlidir. Çünkü bize şunu söyler: $\Lambda$ büyüdükçe düzeltme çok hızlı büyür. Bu hesap bir cutoff hesabıdır; yani karesel hassasiyeti sezgisel olarak göstermeye yarar. Daha fiziksel biçimde söylersek, Higgs'e bağlanan ağır bir parçacık varsa, Higgs kütlesi genellikle o ağır ölçeğin karesiyle orantılı eşik düzeltmeleri alır.

Hiyerarşi Problemi Aslında Nedir?

Şimdi Higgs kütlesi için durumu yazalım. Fiziksel Higgs kütlesi, çıplak parametre ve kuantum düzeltmelerinin toplamı gibi düşünülebilir:

$$m_{h,\text{fiz}}^2 = m_{h,0}^2+ \delta m_h^2.$$

Burada $m_{h,0}^2$ çıplak kütle parametresi, $\delta m_h^2$ ise kuantum düzeltmesidir. Bu yazım şematiktir; çünkü çıplak parametre ve düzeltme ayrımı seçilen renormalizasyon şemasına bağlıdır. Fakat fiziksel sorun şudur: Higgs kütlesi ağır fizik ölçeklerine hassastır.

Eğer kesme ölçeği Planck ölçeği civarındaysa

$$\Lambda\sim 10^{19}\,\text{GeV}$$

olur. Bu durumda

$$\Lambda^2\sim 10^{38}\,\text{GeV}^2$$

mertebesindedir. Buna karşılık Higgs kütlesi

$$m_h\sim 10^2\,\text{GeV}$$

mertebesindedir. Dolayısıyla

$$m_h^2\sim 10^4\,\text{GeV}^2$$

olur.

Şimdi yukarıdaki kütle renormalizasyon denklemine bakınca sorun açıkça görülür. Sol tarafta küçük bir sayı vardır. Sağ tarafta ise biri çıplak parametre, diğeri çok büyük kuantum düzeltmesi olan iki katkı vardır:

$$\text{küçük fiziksel değer} = \text{çıplak değer} + \text{çok büyük kuantum düzeltmesi}.$$

Fiziksel Higgs kütlesinin küçük kalması için $m_{h,0}^2$ ile $\delta m_h^2$ arasında inanılmaz hassas bir iptal gerekir. Higgs kütlesinin elektrozayıf ölçekte kalması için büyük katkıların çok hassas biçimde birbirini götürmesi gerekir.

İşte buna hiyerarşi problemi denir. Elektrozayıf ölçek

$$v\sim 10^2\,\text{GeV}$$

iken Planck ölçeği

$$M_{\text{Pl}}\sim 10^{19}\,\text{GeV}$$

mertebesindedir. Bu iki ölçek arasında muazzam bir fark vardır. Higgs kütlesi kuantum düzeltmeleri yoluyla bu büyük ölçekten etkileniyorsa, neden büyük ölçekte değil de elektrozayıf ölçekte kalıyor?

Bu sorunun tatmin edici bir cevabı yoksa, Standart Model doğal görünmez.

Doğallık Ne Demek?

Burada “doğallık” kelimesini biraz açalım. Fizikte bir parametrenin küçük olması başlı başına problem değildir. Küçük bir sayı olabilir. Asıl soru şudur: Bu küçük değeri koruyan bir sebep var mı?

Bir parametre sıfıra götürüldüğünde teorinin simetrisi artıyorsa, o parametrenin küçük olması doğal kabul edilir. Çünkü simetri, kuantum düzeltmelerinin o parametreyi büyütmesini engeller. Bu fikre teknik doğallık denir.

Fermiyon kütleleri bu açıdan iyi bir örnektir. Bir fermiyonun kütlesi sıfıra götürüldüğünde teori kiral simetri kazanır. Bu yüzden fermiyon kütlesine gelen düzeltmeler genellikle

$$\delta m_f \sim \frac{g^2}{16\pi^2}m_f \ln\left(\frac{\Lambda}{m_f}\right)$$

şeklindedir. Burada dikkat edelim: düzeltme $m_f$ ile orantılıdır. Eğer fermiyon kütlesi küçükse, düzeltme de küçük olur. Eğer

$$m_f=0$$

ise

$$\delta m_f=0$$

olur. Yani kütlesiz fermiyon durumu simetriyle korunur.

Ayar bozonları için de benzer bir durum vardır. Fotonun kütlesiz olması tesadüf değildir. Elektromanyetik ayar simetrisi foton kütlesini yasaklar. Bir foton kütle teriminin

$$\frac{1}{2}m_\gamma^2 A_\mu A^\mu$$

şeklinde yazılabileceğini düşünebilirsiniz; fakat bu terim $U(1)$ ayar simetrisine uygun değildir. Dolayısıyla fotonun kütlesizliği ayar simetrisiyle korunur.

Peki Higgs için durum nedir? Higgs bir skaler alandır. Skaler kütleyi sıfıra götürdüğümüzde Standart Model içinde onu güçlü biçimde koruyan yeni bir simetri ortaya çıkmaz. Bu nedenle Higgs kütlesi yüksek enerji ölçeklerine karşı savunmasızdır.

Süpersimetri tam burada devreye girer. Süpersimetri, Higgs gibi skaler alanları fermiyonlarla aynı simetri yapısına yerleştirir. Fermiyon kütlelerini koruyan mekanizmaya benzer bir koruma, skaler kütleler için de ortaya çıkabilir.

Ve Sonunda Süpersimetri

Şimdi artık süpersimetri fikrine ilk adımı atabiliriz. Süpersimetri, bozonlarla fermiyonları birbirine bağlayan bir simetridir. Bozonlar tam sayı spinli parçacıklardır:

$$s=0,1,2,\ldots$$

Fermiyonlar ise yarım tam sayı spinlidir:

$$s=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\ldots$$

Standart Model'de madde parçacıkları, yani kuarklar ve leptonlar fermiyondur. Kuvvet taşıyıcı parçacıklar ise bozonlardır. Higgs bozonu da spin-$0$ skaler bir bozondur.

Süpersimetri şunu söyler: Bozonik ve fermiyonik serbestlik dereceleri birbirinden tamamen kopuk değildir. Aynı simetrik yapının farklı parçaları olabilirler. Bunu sembolik olarak

$$Q\,|\text{bozon}\rangle \sim |\text{fermiyon}\rangle$$

ve

$$Q\,|\text{fermiyon}\rangle \sim |\text{bozon}\rangle$$

şeklinde ifade ederiz. Burada $Q$, süpersimetri üretecidir.

Bu ifadeyi bu bölümde çok teknik olarak incelemeyeceğiz. Onu sonraki bölümlerde yapacağız. Şimdilik anlamamız gereken şey şudur: Süpersimetri, spin değerini değiştiren bir simetridir. Bu yüzden sıradan bir iç simetri değildir. Mesela renk simetrisi bir kuarkın rengini değiştirebilir ama kuarkı bozona dönüştürmez. Süpersimetri ise bir skaler alanı fermiyonik bir alanla aynı çoklunun parçası hâline getirebilir.

Bu da doğallık problemi açısından çok önemlidir. Çünkü skaler alanlar yalnız başına bırakıldığında kuantum düzeltmelerine karşı hassastır. Ama bir skaler alan fermiyonla süpersimetrik olarak eşlenirse, fermiyon döngülerinden gelen katkılar skaler döngülerden gelen tehlikeli katkıları iptal edebilir.

Bozon ve Fermiyon Katkıları Nasıl İptal Olur?

Bir skaler alanın kütlesine bozonik döngüden gelen katkı şematik olarak

$$\delta m_{\text{bozon}}^2 \sim + \frac{g_B^2}{16\pi^2}\Lambda^2$$

şeklindedir. Buradaki artı işaret bozonik katkının işaretini temsil eder.

Fermiyon döngüsü ise kapalı fermiyon döngülerinden gelen eksi işaret nedeniyle ters işaretlidir:

$$\delta m_{\text{fermiyon}}^2 \sim - \frac{g_F^2}{16\pi^2}\Lambda^2.$$

Genel bir teoride $g_B$ ve $g_F$ birbirinden bağımsızdır. Bu yüzden iki katkının birbirini götürmesini beklemeyiz. Ama süpersimetrik bir teoride bozonik ve fermiyonik bağlaşımlar aynı simetri tarafından ilişkilendirilir. Ayrıca bozonik ve fermiyonik serbestlik dereceleri de uygun biçimde eşleşir. Bu nedenle uygun katsayılarla

$$\delta m_{\text{toplam}}^2 = \delta m_{\text{bozon}}^2 + \delta m_{\text{fermiyon}}^2 = 0$$

olabilir.

Burada dikkat etmemiz gereken nokta şudur: Bu iptal elle yapılan bir ince ayar değildir. Yani iki bağımsız büyük sayıyı rastgele seçip birbirini götürmesini sağlamıyoruz. İptal, simetriden gelir. Fizikte iyi açıklama genellikle böyle olur: küçük bir sayıyı koruyan şey rastlantı değil, simetridir.

Basit Bir Süpersimetrik Modelde İptal Örneği

Bu iptali biraz daha somut görmek için basit bir Wess-Zumino tipi model düşünelim. Bir kompleks skaler alan

$$\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}(A+iB)$$

ve bir fermiyon alanı olsun. Burada $A$ ve $B$ reel skaler alanlardır.

Süpersimetrik teorilerde etkileşimler çoğu zaman süperpotansiyel denen bir fonksiyondan türetilir. Basit bir örnek olarak

$$W(\phi) = \frac{1}{2}m\phi^2 + \frac{1}{3}\lambda\phi^3$$

alalım. Burada $m$ kütle parametresi, $\lambda$ ise etkileşim sabitidir.

Skaler potansiyel

$$V(\phi) = \left|\frac{dW}{d\phi}\right|^2$$

şeklinde yazılır. Şimdi türevi açıkça alalım:

$$\frac{dW}{d\phi} = \frac{d}{d\phi} \left( \frac{1}{2}m\phi^2 + \frac{1}{3}\lambda\phi^3 \right).$$

İlk terim için

$$\frac{d}{d\phi}\left(\frac{1}{2}m\phi^2\right) = m\phi$$

olur. İkinci terim için

$$\frac{d}{d\phi}\left(\frac{1}{3}\lambda\phi^3\right) = \lambda\phi^2$$

olur. Dolayısıyla

$$\frac{dW}{d\phi} = m\phi+ \lambda\phi^2$$

ve

$$V(\phi) = |m\phi+ \lambda\phi^2|^2$$

bulunur.

Bu modelde önemli olan nokta şudur: Skalerlerin kendi aralarındaki etkileşimleri ve fermiyonlarla olan etkileşimleri aynı $\lambda$ parametresi tarafından belirlenir. Yani bozonik ve fermiyonik sektörler birbirinden bağımsız seçilmez. Süpersimetri onları birbirine bağlar.

Bu yüzden skaler kütle düzeltmesine gelen katkılar şematik olarak

$$\delta m_A^2\big|_{A} \sim +3\lambda^2I(\Lambda),$$ $$\delta m_A^2\big|_{B} \sim +\lambda^2I(\Lambda),$$ $$\delta m_A^2\big|_{\psi} \sim -4\lambda^2I(\Lambda)$$

şeklinde organize olur. Burada $I(\Lambda)$ ortak karesel ıraksayan integral parçasını temsil eder. Sayısal katsayılar modelin etkileşim yapısından ve serbestlik derecesi sayımından gelir.

Toplam katkı

$$\delta m_A^2 \sim (3+1-4)\lambda^2I(\Lambda)$$

olur. Parantez içini toplarsak

$$3+1-4=0$$

buluruz. Dolayısıyla

$$\boxed{ \delta m_A^2\big|_{\text{karesel}}=0 }$$

sonucuna ulaşırız.

Bu basit örnek süpersimetrinin temel fikrini çok iyi gösterir. Skaler kütleye gelen en tehlikeli $\Lambda^2$ katkıları bozon ve fermiyon döngüleri arasında iptal olur. Böylece skaler kütle yüksek enerji ölçeğine karşı korunmuş olur.

Süpersimetri Doğada Gerçekten Var mı?

Burada hemen ciddi bir soru gelir. Eğer süpersimetri doğada tam olarak korunuyorsa, her Standart Model parçacığının aynı kütlede bir süpereşi olmalıydı. Mesela elektronun skaler süpereşi elektronla aynı kütlede olmalıydı. Kuarkların skaler eşleri, ayar bozonlarının fermiyonik eşleri de benzer şekilde gözlenmeliydi.

Ama böyle bir parçacık spektrumu görmüyoruz. Bu nedenle doğada süpersimetri varsa, tam olarak korunmuş olamaz. Kırılmış olmalıdır.

Fakat kırılma dikkatli yapılmalıdır. Eğer süpersimetri rastgele ve sert biçimde kırılırsa, az önceki güzel iptal bozulur ve hiyerarşi problemi geri gelir. Bu yüzden gerçekçi süpersimetrik modellerde yumuşak süpersimetri kırılması denen yapı kullanılır.

Yumuşak kırılmanın fikrini basit bir propagatör açılımıyla anlayabiliriz. Öklidyen momentum uzayında diyelim ki skaler kütleye süpersimetri kırılmasından gelen bir ek katkı var:

$$m^2\rightarrow m^2+\Delta m^2.$$

Bu durumda propagatör

$$\frac{1}{k_E^2+m^2+\Delta m^2}$$

şeklindedir. Bunu $\Delta m^2$ küçük bir ekleme gibi açalım:

$$\frac{1}{k_E^2+m^2+\Delta m^2} = \frac{1}{k_E^2+m^2} \frac{1}{1+\frac{\Delta m^2}{k_E^2+m^2}}.$$

Küçük $x$ için

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots$$

olduğundan

$$\frac{1}{k_E^2+m^2+\Delta m^2} = \frac{1}{k_E^2+m^2} - \frac{\Delta m^2}{(k_E^2+m^2)^2} + \cdots$$

elde edilir.

İlk terim süpersimetrik durumda fermiyon katkısıyla iptal olan parçadır. İkinci terimin yüksek momentum davranışı

$$\frac{\Delta m^2}{k_E^4}$$

şeklindedir. Dört boyutlu integralde

$$d^4k_E\sim k^3dk$$

olduğundan

$$\int^\Lambda d^4k_E\frac{\Delta m^2}{k_E^4} \sim \Delta m^2\int^\Lambda\frac{k^3dk}{k^4} = \Delta m^2\int^\Lambda\frac{dk}{k} \sim \Delta m^2\ln\Lambda$$

olur. Yani yumuşak kırılma karesel ıraksamayı geri getirmez; yalnızca logaritmik bir hassasiyet bırakır. Şematik olarak

$$\delta m^2 \sim \frac{g^2}{16\pi^2}m_{\text{soft}}^2 \ln\left(\frac{\Lambda}{m_{\text{soft}}}\right)$$

gibi bir yapı oluşur.

Bu yüzden süpersimetrik modellerde süperpartnerler Standart Model parçacıklarıyla aynı kütlede olmak zorunda değildir. Daha ağır olabilirler. Ama çok ağırlaşırlarsa bu kez doğallık avantajı zayıflar. Bu da süpersimetri fenomenolojisinin en önemli tartışmalarından biridir.

Son

Bu bölümde süpersimetriyi henüz matematiksel olarak kurmadık. Bunu bilerek yapmadık. Çünkü önce süpersimetriye neden ihtiyaç duyulduğunu anlamak istedik.

Önce Standart Model'in simetri yapısını hatırladık. Sonra fermiyonlara doğrudan kütle yazılamadığını ve Higgs alanının bu nedenle gerekli olduğunu gördük. Higgs potansiyelini minimize ederek

$$v^2=\frac{\mu^2}{\lambda}$$

sonucuna ulaştık. Daha sonra Higgs kütlesini

$$m_h^2=2\lambda v^2$$

olarak türettik. Fermiyon kütlelerinin ise

$$m_f=\frac{y_fv}{\sqrt{2}}$$

şeklinde Yukawa bağlaşımlarından geldiğini gördük.

Ardından elektrozayıf ölçeğin

$$v\simeq 246\,\text{GeV}$$

olduğunu Fermi sabitiyle ilişkilendirdik. Sonra asıl probleme geçtik: skaler kütlelere gelen kuantum düzeltmelerinin

$$\delta m^2 \sim \frac{\lambda}{16\pi^2}\Lambda^2$$

şeklinde yüksek enerji ölçeğinin karesiyle büyüdüğünü gösterdik. Bu, Higgs kütlesinin neden doğal olmadığını açıklar.

Son olarak süpersimetrinin bu probleme nasıl bir fikirle cevap verdiğini gördük. Süpersimetri bozon ve fermiyon katkılarını birbirine bağlar. Fermiyon döngülerinden gelen eksi işaret sayesinde, skaler kütleye gelen karesel düzeltmeler iptal olabilir. Bu iptal rastgele değil, simetri kaynaklıdır.

Dolayısıyla bu bölümü şu şekilde özetleyebiliriz:

Süpersimetriye giden en güçlü yollardan biri, Higgs kütlesini kuantum düzeltmelerine karşı doğal biçimde koruma ihtiyacıdır.

Sonraki Bölümde Ne Yapacağız?

Bu bölümde daha çok fiziksel motivasyonu kurduk. Sonraki bölümde artık süpersimetrinin matematiksel yapısına girmeye başlayacağız.

İlk olarak süpersimetri üretecinin ne olduğunu soracağız. Bir simetri dönüşümü bozonu fermiyona dönüştürüyorsa, bu dönüşümün üreteci nasıl bir nesne olmalıdır? Sıradan Lie cebirleriyle süpersimetri cebiri arasındaki fark nedir? Komütatör yerine neden antikomütatörler ortaya çıkar?

Daha sonra süpersimetri cebirinin temel bağıntısını yazacağız:

$$\{Q_\alpha,\bar Q_{\dot\beta}\} = 2(\sigma^\mu)_{\alpha\dot\beta}P_\mu.$$

Bu denklemi sonraki bölümde yalnızca yazmakla kalmayacağız; ne anlama geldiğini de açacağız. Özellikle iki süpersimetri dönüşümünün neden bir uzay-zaman ötelemesine karşılık geldiğini göreceğiz. Bu nokta süpersimetrinin sıradan bir iç simetri olmadığını anlamak için çok önemlidir.

Ardından süperçoklulara geçeceğiz. Kiral süperçoklu ve vektör süperçoklu gibi yapılarla tanışacağız. Hangi alanlar aynı çoklu içinde bulunabilir, bozonik ve fermiyonik serbestlik dereceleri nasıl eşleşir, yardımcı alanlara neden ihtiyaç duyulur gibi soruları ele alacağız.

Sonraki bölümde görüşmek üzere, sağlıklı günler diliyorum.