Seriler ve Diziler Bölüm 1

Dizi Nedir?

Matematikte diziler, belirli bir düzene göre fonksiyonların sıralanmasını içeren bir sistem olarak, modern matematiksel analizde de kendine yer bulmuştur. Diziler, fonksiyonların belirli bir düzene göre sıralandığı yapılar olarak görülür. Antik çağlarda, aritmetikte bölme ile ilgili soruların yer aldığı Rhind Papirüsü'nde görülen örnek gibi, dizilere dair birçok örnek vardı. Antik Babilliler dizileri, tarım ve astronomilerinde kullanılan geometrik ilerlemeler olarak gördüler. Yunanlılar dizileri ve bunların toplamlarını, yani serileri, felsefi konular olarak ele aldılar. Zeno'nun paradoksları, bir mesafenin yarıya bölünmesiyle oluşturulan bir dizinin, dizide sonsuz sayıda terim olsa bile nasıl sonlu bir sonuç verebileceğini açıklamaya çalıştı. Arşimet, parabolik bir segmentin alanını bulurken geometrik bir diziyi topladı. Dizi görüldüğü üzere tarihte birçok medeniyet tarafından gerek tarımda gerek gökyüzünü keşfetmekte kullanılmıştır. Ama biz ne tarım, ne astronomik düzeyde bakacağız; biz seriye tamamen matematiksel olarak yaklaşacağız bu yazıda. Birçok örnek ve ispatlar ile dizilerin ne olup ne olamadığını kavrayabileceksiniz.

Dizilerin Tanımı

Tanım
Tanım kümesi pozitif tam sayı ($\mathbb{Z}^+$) olan herhangi bir fonksiyona dizi denir.

$$f(1) = a_1, \quad f(2) = a_2, \quad \dots, \quad f(n) = a_n$$

Burada $n$ doğal sayısına karşılık gelen $a_n$ sayısına dizinin genel terimi denir.

Örnek
$a_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^3}$

denilince, terimleri

$a_1 = 2, \quad a_2 = \frac{5}{8}$

olan dizi anlaşılır.

Örnek
$\left( \frac{n^6}{(n+1)^2} \right)$

dizisinin 4. terimini bulunuz.

Çözüm
$a_4 = \frac{4^6}{(4+1)^2} = \frac{2^4}{25} = a_4$

bulunur.

Dizi Çeşitleri ve Genel Gösterimleri

Tanım
$a_{n+1} - a_n = d$

olacak biçimde bir $d \in \mathbb{R}$ var ise $(a_n)$ dizisine aritmetik dizi, $d$ sayısına ortak fark denir.

Örnek
$a_n = 6n + 11$

dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz.

Çözüm
$a_n = 6n + 11$

$a_{n+1} = 6(n+1) + 11$

ve

$a_{n+1} - a_n = 6 \in \mathbb{R}$

bulunduğundan, $(a_n)$ bir aritmetik dizidir.

Şimdi;

$$a_n = kn + t$$

aritmetik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamını bulalım.

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$ $$a_1 = k + t$$ $$a_2 = 2k + t$$ $$a_3 = 3k + t$$ $$\vdots$$ $$a_n = kn + t$$

Buradan,

$$S_n = \frac{n}{2}\left[k(n+1) + 2t\right]$$

elde edilir.
Ayrıca,

$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$

bulunur.

Tanım
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$

olacak biçimde $r \in \mathbb{R}$ varsa $(a_n)$ bir geometrik dizidir.

Örnek
$a_n = 3 \cdot 2^n$

dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz.

Çözüm
$a_n = 3 \cdot 2^n$

$a_{n+1} = 3 \cdot 2^{n+1} = 6 \cdot 2^n$

Dolayısıyla,

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3 \cdot 2^{n+1}}{3 \cdot 2^n} = 2$

olduğundan $(a_n)$ bir geometrik dizidir ve ortak çarpanı

$r = 2$

dir.

Şimdi geometrik dizide ilk $n$ terimin toplamını bulalım.

$$a_{n+1} = r a_n$$

olursa,

$$a_2 = r a_1$$ $$a_3 = r a_2 = r^2 a_1$$ $$a_4 = r a_3 = r^3 a_1$$ $$\vdots$$ $$a_n = r^{n-1} a_1$$

bağıntısı elde edilir.
Buna göre,

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$ $$S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n-1}$$

olur.
Buradan,

$$S_n = a_1\left(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right)$$

elde edilir.

$$S_n = a_1\left(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right)$$

olsun.

$$r S_n = a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^n$$

olur.
Taraf tarafa çıkarılırsa,

$$(1 - r)S_n = a_1 - a_1 r^n$$

elde edilir.
Dolayısıyla,

$$S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$$

bulunur.

Monotonluk

Tanım
$a_n < a_{n+1} \iff (a_n) \ \text{artan}$

$a_n > a_{n+1} \iff (a_n) \ \text{azalan}$

$a_n \leq a_{n+1} \iff (a_n) \ \text{azalmayan}$

$a_n \geq a_{n+1} \iff (a_n) \ \text{artmayan}$

Artan veya azalan dizilere monoton diziler denir.

Örnek
$\left( \frac{2^n}{(n+1)!} \right)$

dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz.

Çözüm
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^n} = \frac{2}{n+2}$

olur.

$n + 2 > 2$

olduğundan,

$\frac{2}{n+2} < 1$

ve dolayısıyla,

$\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$

elde edilir.
Buna göre,

$a_{n+1} < a_n$

olur. O halde $(a_n)$ azalandır.

Dizilerde Sınır Kavramının Tanımı

Tanım
Her $n \in \mathbb{N}$ için

$a_n \leq M$

olacak biçimde $M \in \mathbb{R}$ var ise, $a_n$ dizisine üstten sınırlı denir.
Benzer biçimde,

$a_n \geq m$

olacak biçimde $m \in \mathbb{R}$ var ise, dizi alttan sınırlıdır.

Örnek
$\left( (-1)^n \frac{n}{n+1} \right)$

dizisinin sınırlılık durumunu inceleyiniz.

Çözüm
$-1 < -\frac{n}{n+1} \leq (-1)^n \frac{n}{n+1} \leq \frac{n}{n+1} < 1$

olduğundan, dizi hem alttan hem üstten sınırlıdır; yani sınırlıdır.

Dizilerin Yakınsaklığı

Bir $(a_n)$ dizisinin sonlu sayıda terimleri bir yana, diğer hepsi $a$ sayısının her komşuluğunda bulunuyorsa, dizi $a$ sayısına yakınsıyor veya $(a_n)$ dizisinin limiti $a$'dır denir.

$$\lim a_n = a$$

veya

$$(a_n) \to a$$

şeklinde gösterilir.
Bir dizi ya yakınsaktır ya da ıraksaktır.

$$|a_n - L| < \varepsilon$$

bağıntısı her $\varepsilon > 0$ için uygun bir $N$ doğal sayısı bulunarak tüm $n \geq N$ için sağlanıyorsa,

$$\lim a_n = L$$

olur.

Örnek
$a_n = \frac{1}{n}$

dizisinin 0'a yakınsadığını gösteriniz.

Çözüm
$L = 0$

olsun.

$|a_n - L| < \varepsilon$

eşitsizliği,

$\left| \frac{1}{n} - 0 \right| < \varepsilon$

şeklindedir.
Yani,

$\frac{1}{n} < \varepsilon$

olmalıdır.
Bu ise,

$n > \frac{1}{\varepsilon}$

demektir.
Bu nedenle,

$N = \left[ \frac{1}{\varepsilon} \right]$

seçilirse,

$n \geq N$

için

$\left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon$

olur.
Dolayısıyla,

$(a_n) \to 0$

elde edilir.

Dizilerde Limit ve Özellikleri

$$\lim a_n = a, \quad \lim b_n = b, \quad \delta \in \mathbb{R}$$

olsun.

1. $\lim(a_n + b_n) = a + b$

2. $\lim(a_n b_n) = ab$

3. $b_n \neq 0, \quad b \neq 0$ ise,

$$\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$$

4. $\lim(\delta a_n) = \delta a$

5. Eğer $\lim a_n = a$ ise,

$$\lim \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}{n} = a$$

dır.

İspat

$$\lim(a_n + b_n) = a + b$$

olsun.

$$a_n + b_n = c_n$$

diyelim.

$$\lim c_n = a + b$$

ise, her $\varepsilon > 0$ için öyle bir $N > 0$ vardır ki,

$$n > N$$

iken,

$$|c_n - (a + b)| < \varepsilon$$

olur.
Yani,

$$|a_n + b_n - a - b| < \varepsilon$$

eşitsizliği sağlanır.
Buradan,

$$|(a_n - a) + (b_n - b)| \leq |a_n - a| + |b_n - b|$$

elde edilir.
$a_n \to a$ olduğundan her $\varepsilon_1 > 0$ için öyle bir $N_1$ vardır ki,

$$n > N_1$$

iken,

$$|a_n - a| < \varepsilon_1$$

olur.
Benzer biçimde $b_n \to b$ olduğundan her $\varepsilon_2 > 0$ için öyle bir $N_2$ vardır ki,

$$n > N_2$$

iken,

$$|b_n - b| < \varepsilon_2$$

olur.

$$\varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{2}, \quad \varepsilon_2 = \frac{\varepsilon}{2}$$

seçilirse,

$$N = \max(N_1, N_2)$$

alınarak ispat tamamlanır.

---

$$(a_n) \to a$$

olsun.
Gösterelim ki,

$$\lim \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}{n} = a$$

olur.

İspat

$$|a_n - a| < \varepsilon$$

olacak biçimde

$$n > N_0$$

ve uygun bir $\varepsilon > 0$ seçilebilir.
Toplamı iki parçaya ayıralım:

$$\lim \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_{N_0}}{n} + \lim \frac{a_{N_0+1} + a_{N_0+2} + \cdots + a_n}{n}$$

ifadesini elde ederiz.
İlk kısımda sonlu sayıda terim bulunduğundan,

$$\lim \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_{N_0}}{n} = 0$$

olur.
Dolayısıyla,

$$\lim \frac{a_{N_0+1} + a_{N_0+2} + \cdots + a_n}{n} = a$$

elde edilir.
Bu kısımda yaklaşık olarak $n - N_0$ tane terim vardır.
Her terim $a$ civarında düşünüldüğünde toplam yaklaşık olarak

$$a(n - N_0)$$

olur.
Böylece,

$$\frac{a(n - N_0)}{n} = a\left(1 - \frac{N_0}{n}\right)$$

ifadesi elde edilir.

$$\lim_{n \to \infty} a\left(1 - \frac{N_0}{n}\right) = a(1 - 0) = a$$

olduğundan,

$$\boxed{\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}{n} = a}$$

sonucu elde edilir.

2., 3. ve 4. teoremlerin ispatı okuyucuya alıştırma olarak bırakılmıştır.

Sonuç

Bu yazıda dizilerin tarihçesi, özellikleri, geometrik ve aritmetik dizilerin genel gösterimleri, dizilerin yakınsaklığı, artanlığı ve azalanlığı formal ispatlarla tamamen formal bir şekilde aktarılmıştır. Daha çok şey sığacağını düşünürdüm ama bu seferlik böyle olsun. Gelecek yazıda, geometrik ve aritmetik dizilerin yakınsaklığına çok daha soyut bir şekilde değineceğim. Kendinize iyi bakın.

Referanslar

• Balcı, M. (2020). Genel Matematik 1. Palme Yayınları.
• Apostol, T. M. Calculus, Vol. 1, 2nd ed., Wiley, 1967.