Görelilik Serisi Part 5 - Görelik Dinamik

Önceki bölümde vektörler ve tensörlerden bahsetmiştik bu bölümde göreli dinamikten bahsedeceğiz.

Newton mekaniğinde bir parçacığın 3 boyuttaki hareketini zamanın bir fonksiyonu şeklinde ($\vec{r}(t)$) ifade ederiz. Fakat Minkowski uzay zamanı için kullandığımız bu eski formülleri yenileriyle değiştirmeliyiz. Şimdiye kadar yaptıklarımız ile Newton mekaniğinde parçacığın konumu ifadesini zaten genelleştirdik ($x^\mu$), özel görelilik için yapacağımız sıradaki işimiz ise hız kavramını tekrardan düzenlemektir.

Dört Hız Vektörü (4-Velocity)

Bir parçacığın uzay zamanda aldığı yol eğrisine hayat çizgisi (worldline) demiştik. Parçacığın konum vektörünün bu eğri üzerinde $\tau$ ile parametrize edilmiş olan tanjant vektörüne, $u^\mu\equiv dx^\mu/d\tau$, dört hız vektörü denir. Bu vektörün bileşenlerini tek tek inceleyelim.

$$u^0=\frac{dx^0}{d\tau}=\frac{cdt}{d\tau}=\frac{c}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}=\gamma c$$

Burada $dt=\gamma d\tau$ kullanılmıştır. $\mu=1,2,3$ değerlerini tek tek yazmak yerine bu koordinatlar için $i$ indisini kullanacağız.

$$\frac{dx^i}{d\tau}=\frac{dx^i}{dt}\frac{dt}{d\tau}=\gamma \frac{dx^i}{dt}= \gamma \mathbf{v}$$

Burada $\mathbf{v}$ Newton mekaniğinden bildiğimiz 3 boyuttaki hız vektörüdür. Bulduklarımız sayesinde $u^\mu$ vektörünü

$$u^\mu=(\gamma c, \gamma \mathbf{v})$$

şeklinde yazarız. Bu hız vektörünün büyüklüğünü hesaplayalım.

$$||\mathbf{u}||^2=\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=u_\nu u^\nu$$

$\eta$ metriğinin diyagonal bir matris olduğunu hatırlarsak, $\mu=\nu$ değerleri dışındaki $\eta_{\mu\nu}$'ler sıfıra eşit olacaktır.

$$||\mathbf{u}||^2=\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=\eta_{00}u^{0}u^{0}+\eta_{11}u^{1}u^1{}+\eta_{22}u^{2}u^{2}+\eta_{33}u^{3}u^{3} = - \gamma^2c^2+\gamma^2||\mathbf{v}||^2 =-c^2$$

Dört İvme Vektörü (4-Acceleration)

4 boyutta ivme vektörü de tahmin edebileceğiniz gibi Newton mekaniğindeki vektör kavramına benzer bir şekilde tanımlanacaktır.

$$a^\mu\equiv \frac{du^\mu}{d\tau}=\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}$$

İvme vektörünün bileşenlerini açıkça yazalım.

$$a^\mu=\frac{du^\mu}{d\tau}=\gamma\frac{du^\mu}{dt}=\gamma \frac{d}{dt}(\gamma c,\gamma \mathbf{v})=\gamma (c \frac{d\gamma}{dt}, \frac{d\gamma}{dt}\mathbf{v}+\gamma \frac{d\mathbf{v}}{dt})$$

Ele aldığımız bir parçacık için parçacığın eylemsiz referans sisteminden gözlem yaptığımızı düşünelim. Bu durumda $\mathbf{v}=0$ ve $\gamma=1$ olur. Bunları kullanarak hız ve ivme vektörümüzün bileşenlerini yazalım. Denklemleri parçacığın kendi referans sistemine göre yazacağımızdan bunu belirtmesi için $=$ yerine $\doteq$ kullanacağız.

$$u^\mu\doteq(c,\mathbf{0})\ \ \ \ \ \ a^\mu\doteq(0,\frac{d\mathbf{v}}{dt})$$

Böylece parçacığın gözlem çerçevesinde $a^\mu$'nün sıfıra eşit olabilmesi için uzaysal üç boyutlu ivme vektörünün sıfıra eşit olması gerekmektedir. Fakat hız vektörü asla sıfıra eşit olamayacaktır. İvme vektörünün bilinmesi gereken bir başka özelliği ise hız vektörü ile ortogonal olduğudur.

$$a_\mu u ^\mu=0$$

Bunu ispat etmek için daha önce bulduğumuz $||\mathbf{u}||^2=-c^2$ denkleminin $\tau$'ya göre türevini alalım.

$$0=\frac{d}{d\tau}(-c^2)=\frac{d}{d\tau}(u_\mu u ^\mu)=\frac{d}{d\tau}(\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu) =\frac{d}{d\tau}(\eta_{\mu\nu})u^\mu u^\nu+\eta_{\mu\nu}\frac{d}{d\tau}(u^\mu u^\nu) \\=\eta_{\mu\nu}u^\nu\frac{d}{d\tau}(u^\mu)+\eta_{\mu\nu}u^\mu\frac{d}{d\tau}(u^\nu) =u_\mu\frac{d}{d\tau}(u^\mu)+u_\nu\frac{d}{d\tau}(u^\nu)=2a^\mu u_\mu$$

Burada son adımda indislerin bir önemi olmadığı için $\mu$ veya $\nu$ dememiz herhangi bir fark yaratmayacaktır. Ayrıca işlemler arasında $d\eta_{\mu\nu}/d\tau=0$ eşitliğinden yararlanılmıştır.

Dört Momentum Vektörü (4-Momentum)

Newton mekaniğine benzer olarak dört momentum vektörünü aşağıdaki şekilde tanımlarız.

$$p^\mu=m u^\mu$$

Burada $m$ parçacığın kütlesini temsil etmektedir. Genellikle durgun kütle olarak öğretilen bu değer, tüm referans çerçevelerine göre sabittir. Bu momentum vektörünün bileşenleri ise şu şekilde yazılmaktadır.

$$p^\mu=\gamma m(c,\mathbf{v})=(\gamma mc, \gamma m\mathbf{v})=(\gamma mc,\mathbf{p})$$

Momentum vektörünün sıfırıncı koordinatı olan zaman koordinatını başka bir şekilde tanımlamak da mümkündür. Örneğin konum vektörü için zaman koordinatını tanımlarken bildiğimiz bilgiler ve birim analizi sayesinde bir sonuca varmıştık. Bir parçacığın konumunun bağlı olduğu tek bir değişken vardır, zaman. Ayrıca ışık hızının bütün gözlemciler için de sabit bir değer olması oluşturacağımız konum vektöründe de önemli bir kısıtlayıcı olmuştur. Bu bilgiler ışığında ve boyut analizi kullanarak konum vektörünün sıfırıncı koordinatının $ct$ olarak tanımladık. Aynı şekilde şimdi de momentum vektörü için bir tahminde bulunabiliriz. Klasik fizikten bildiğimiz üzere bir parçacığın momentumu ve enerjisi arasında $E=p^2/2m$ ile ifade edilen bir ilişki vardır. Doğrudan bu ilişkiyi temel almak yerine bizim için önemli olan 2 parametreyi ($E$ ve $c$) ele alarak $p^0=E/c$ olacak şekilde çok sade bir tanımlama yapabiliriz.

$$p^\mu \equiv \left(\frac{E}{c},\mathbf{p}\right)$$

Bu tanımlama sayesinde, zamanı uzaysal konum ile eşleşen bir öge olarak tanımladığımız gibi enerjiyi de üç boyutlu uzaysal momentumla eşleşen bir nicelik olarak düşünebiliriz.
Bu elde ettiğimiz bilgileri kullanarak şimdi $p^\mu p_\mu$ çarpımını inceleyelim.

$$p^\mu p_\mu=\eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu=m^2\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=m^2u^\mu u_\mu=-m^2c^2$$

Aynı zamanda bu çarpım şuna da eşittir.

$$p^\mu p_\mu=\eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu=-\frac{E^2}{c^2}+||p||^2$$

Ve sonuç olarak

$$E^2=||p||^2c^2+m^2c^4$$

eşitliğine ulaşılır. Parçacığın kendi eylemsiz referans sisteminde ($\mathbf{v}=0$) ise meşhur

$$E\doteq mc^2$$

denklemine ulaşırız!

Evet Görelelik Serisinde bu bölümle birlikte benim kısmım sona eriyor. Bir sonraki bölümde Furkan size Enerji Momentum Tensörünü anlatacak.

Kaynakça

[1] F. Rahaman, (2014). The Special Theory of Relativity. (India, Springer)
[2] V. Faraoni, (2013). Special Relativity. (Switzerland, Springer)
[3] L.F. Landau, E.M. Lifshitz, (1980). The Classical Theory of Fields: Volume 2. (Butterworth-Heinemann)
[4] S.M. Carroll, (2003). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. (Addison-Wesley)