Görelilik Serisi Part 3 - Uzay Zaman

Serimizin bir önceki yazısında da belirttiğimiz gibi Lorentz dönüşümlerinde görüldüğü üzere gerçekleşen bir olayı tasvir etmek için 4 adet değişken kullanıldı. Bunlardan üçü uzay ve bir tanesi de zaman boyutundadır. Fizikte uzay zaman kavramı 3 uzaysal boyut ve 1 adet zaman boyutundan oluşan 4 boyutlu matematiksel bir model olarak tanımlanmaktadır.

Uzay Zaman Diyagramı

Uzay zaman diyagramları özel görelilik içerisinde gerçekleşen olayları tasvir ettiğimiz bir görsel araçtır. Uzay zaman diyagramları sayesinde zaman genişlemesi ve Lorentz kısalması gibi olaylar basitçe açıklanabilmektedir.

Uzay zamandaki herhangi bir noktaya olay denir. Parçacığın alacağı yol uzay zaman üzerinde bir eğri oluşturacaktır. Bu eğriye ise parçacığın hayat çizgisi (worldline) denmektedir.

Şekilde gösterildiği üzere bir parçacığın ileri ve geçmiş ışık konisi görülmektedir. Çizilen bu koni içerisinde parçacığın olası gelecek ve geçmiş konumları bulunmaktadır. Bu koninin dışında gerçekleşen bir olay ise bu parçacık için gözlemlenmesi mümkün değildir. Bu koninin sınırlarının 45$^\circ$'lik açıyla çizilmesinin sebebi $c=1$ almamızdan kaynaklanmaktadır. Eğer $c$'yi orijinal değeriyle ele alsaydık kağıda çizmesi çok zor bir şekil olurdu. Ayrıca çizdiğimiz bu şekilde $x$ ve $ct$ eksenleri belirtilmiş olsa da 3 boyutlu gibi gözükmesi için derinlik verilmiştir. Böylece şekildeki grafikte $(ct,x,y)$ uzayı resmedilmektedir. $(ct,x,y,z)$ uzayını resmetmek imkansızdır.

Hareketli Referans Çerçevesinin Uzay Zaman Diyagramı

Önceki bölümde gösterdiğimiz hiperbolik formdaki Lorentz dönüşümünü tekrar hatırlayalım.

$$\begin{pmatrix} ct'\\x'\\y'\\z' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ct\cosh \theta -x \sinh \theta \\ -ct\sinh \theta +x\cosh \theta \\ y\\ z \end{pmatrix}$$

Hareketli referans çerçevesinin uzay zaman diyagramını $ct'$ ve $x'$ eksenleri için çizeceğiz. Bunları çizebilmemiz için ise bu koordinatların doğru denklemlerini bulmalıyız. $ct'$eksenini bulmak için $x'=0$ yazalım.

$$0=-ct\sinh \theta +x\cosh \theta$$ $$ct=x \coth \theta=x \left( \frac{c}{v}\right)$$

Aynı şekilde $x'$ eksenini bulmak için de $ct'=0$ yazalım.

$$ct \cosh \theta- x \sinh \theta=0$$ $$ct=x \tanh \theta=x \left(\frac{v}{c}\right)$$

Bu şekilde çizilecek doğrular hareketli referans sisteminin uzay zaman diyagramını verecektir.

Uzay Zaman Aralığı

Gerçekleşen bir olay 2 farklı değişken ile ifade edilir: biri olayın nerede gerçekleştiği diğeri ise olayın ne zaman gerçekleştiğidir. Böylece bir olay 3 uzaysal koordinat ve 1 zaman koordinatına sahip olacak şekilde ifade edilebilir. Belirtilen özelliklere sahip 4 boyutlu uzaylara Minkowski Uzay Zamanı denir.

3 boyutlu uzayda iki nokta arasındaki $\Delta d$ uzaklığını

$$(\Delta d)^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2$$

şeklinde ifade ederiz. Bu $\Delta d$ uzaklığı seçtiğimiz koordinat sisteminden bağımsız olarak her zaman aynı kalacaktır, yani $\Delta d$ mesafesi invaryanttır 4 boyutlu uzaylarda ise mesafe kavramına benzer olarak aralık kavramı tanımlanmaktadır. Burada zaman dördüncü bir boyut olarak eklenmektedir. Uzay ve zamanı bu şekilde birleştirmemizin sebebi iki nicelik ayrı ayrı ele alındığında invaryant olmamaktadır. Ayrı gözlemcilerin yaptığı gözlemler sonucu iki olay arasında ölçülen zaman (zaman genişlemesinden dolayı) veya iki olay arasındaki uzaklık (uzunluk kısalmasından dolayı) aynı olmayacaktır. Özel görelilik teorisi ise bu iki kavramı birleştirerek uzay zaman aralığı olarak tanımladığımız bir invaryant oluşturmaktadır. Bu sayede iki olay arasında uzaklık ve zaman ölçümü yapan bütün gözlemciler hesapları sonucunda aynı değere ulaşacaktır.
4 Boyutlu Minkowski uzay zamanında aralık kavramı şu şekilde tanımlanmaktadır:

$$(\Delta s)^2 = -(c\Delta t)^2+(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2$$

Eğer iki olay birbirine sonsuz derecede yakın ise $ds$ aralığı şu şekilde de yazılabilir.

$$ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$

Bu uzay zaman aralığını tanımlarken invaryant olduğunu söylemiştik. Şimdi bunun neden invaryant olduğunu açıkça gösterelim. $S$ gözlem çerçevesindeki gözlemcinin iki olay arasındaki ölçtüğü uzay zaman aralığını $ds^2$ ve $S'$ gözlemcisinin ölçtüğü uzay zaman aralığını da ${ds'}^2$ ile gösterelim. ${ds}^2$ ve ${ds'}^2$ birbirine bağlı nicelikler olduğundan ${ds'}^2$'yi Taylor serisine açalım.

$$ds'^2=\alpha+\beta ds^2+\gamma (ds^2)^2+ \dotsb$$

$(ds^2)^2$ ve sonraki terimleri çok küçük oldukları için ihmal edelim. $\alpha$'yı bulmak için $ds^2=0$ olduğu durumu inceleyelim.

Bu durumda

$$ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2=0$$ $$c^2dt^2=dx^2+dy^2+dz^2$$

olacaktır. Bu durum $S$ çerçevesi için ışığın aldığı yolu ifade etmektedir. Işığın hızı bütün gözlemciler için aynı olacağından

$$c^2=\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{dt^2}=\frac{{dx'}^2+{dy'}^2+{dz'}^2}{{dt'}^2}$$

yazılabilir. Görüleceği üzere eğer $ds=0$ ise aynı zamanda $ds'=0$ olur. Bunu kullanrak $\alpha=0$ buluruz. Böylece $ds$ ve $ds'$ arasındaki ilişki

$$ds'^2=\beta ds^2$$

olmuş olur. Buradaki $\beta$ katsayısı sadece iki referans sistemi arasındaki göreli hızın mutlak değerine bağlı olacaktır. Koordinat veya zamana bağlı bir katsayı olamaz. Bu katsayının koordinat veya zamana bağlı olması demek farklı bir zaman veya uzay koordinatında farklı $\beta$ değerleri elde edecek olmamız anlamında gelir. Bu ise uzay zamanın homojen yapısıyla çelişmektedir. Aynı şekilde $\beta$ katsayısı uzayın izotropi özelliğiyle de çelişeceğinden göreli hızın yönüne bağlı olamaz. Bu yüzden $\beta$ katsayısı iki referans sistemi arasındaki göreli hızın mutlak değerine bağlı olmalıdır.

Şİmdi ise $S$, $S_1$, $S_2$ olacak şekilde 3 referans sistemi ele alalım. $S_1$ ve $S_2$ sistemlerinin $S$'e göre olan hızları da sırasıyla $V_1$ ve $V_2$ olsun. Bulduğumuz sonuçları kullanarak

$$ds^2=\beta(V_1){ds_1}^2\ \ \ \text{ve}\ \ \ ds^2=\beta(V_2){ds_2}^2$$

yazabiliriz. Ayrıca $S_1$ ve $S_2$ için de aynısını yazalım.

$$ds_{1}^{2}=\beta(V_{12})ds_{2}^{2}$$ $$\beta(V_{12})=\frac{{ds_1}^2}{{ds_2}^2}=\frac{\beta(V_2)}{\beta(V_1)}$$

Fakat buradaki sorun $V_{12}$ sadece $V_1$ ve $V_2$ hızlarına değil ayrıca bu iki koordinat sistemi arasındaki açıya da bağlıdır. Bu açı bilgisi ise eşitliğin sağ tarafında gözükmemektedir. Bu eşitliğin doğru olması için tek yol bir sabite eşit olmasıdır ve bu da yalnızca bire eşit olabilir.

Böylece $ds^2={ds'}^2$ yazılır.

Uzay Zamanın Matematiği

Bu kısımdan itibaren uzay zaman koordinatlarını indis notasyonuyla göstereceğiz. Her bir koordinat 0'dan 3'e kadar olacak şekilde numaralandırılmıştır. Burada 0. koordinat zaman koordinatını temsil etmektedir.

$$x^{\mu}: \begin{pmatrix} x^0=ct\\x^1=x\\x^2=y\\x^3=z \end{pmatrix}$$

Buradaki üst indisler kuvvet olarak düşünülmemelidir. İndis notasyonu sayesinde uzay zaman aralığını daha sade bir şekilde yazabiliriz. Bunu yapabilmek için öncelikle \textit{Minkowski metriğini} tanımlayalım. Minkowski metriğinin elemanları 4x4 bir matriste şu şekilde tanımlanır.

$$\eta _{\mu \nu }= \begin{pmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}$$

Metrik kavramının ne olduğuna ise daha sonra değineceğiz, şimdilik bu bilgiler öğren-\diklerimizi geliştirmek için yeterlidir. Bu metrik sayesinde uzay zaman aralığımızı şu şekilde yazabiliriz.

$$ds^2= \sum_{\mu=0}^{3}\sum_{\nu=0}^{3}\eta_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$$

Bunun gerçekten de bizim tanımladığımız uzay zaman aralığına karşılık geldiğini gösterelim. Önce $\nu$ değişkenleri üzerinden toplam alalım.

$$ds^2=\sum_{\mu=0}^{3}\left(\eta_{\mu 0}dx^{\mu}dx^{0}+\eta_{\mu 0}dx^{\mu}dx^{1}+\eta_{\mu 0}dx^{\mu}dx^{2}+\eta_{\mu 0}dx^{\mu}dx^{3}\right)$$ $$ds^2=\eta_{00}dx^0dx^0+\eta_{10}dx^1dx^0+\eta_{20}dx^2dx^0+\eta_{30}dx^3dx^0+\eta_{01}dx^0dx^1+\eta_{11}dx^1dx^1+\eta_{21}dx^2dx^1 \\ +\eta_{31}dx^3dx^1+\eta_{02}dx^0dx^2+\eta_{12}dx^1dx^2+\eta_{22}dx^2dx^2+\eta_{32}dx^3dx^2 +\eta_{03}dx^0dx^3+\eta_{13}dx^1dx^3+ \\ \eta_{23}dx^2dx^3+\eta_{33}dx^3dx^3$$

Bu hesabı kolaylaştırmak için $\eta$ matrisinin köşegen bir matris olduğunu hatırlayalım. Köşegen elemanları dışında ($\mu \neq \nu$) bütün $\eta_{\mu \nu}$'ler sıfıra eşit olacaktır.

$$ds^2=\eta_{00}dx^0dx^0+\eta_{11}dx^1dx^1+\eta_{22}dx^2dx^2+\eta_{33}dx^3dx^3$$

İndis notasyonunda karşılık gelen koordinat değerlerini de yerine yazarak

$$ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$

tanımladığımız uzay zaman aralığını elde etmiş oluruz. Bu aralık kavramını toplam sembollerinden kurtularak daha basit bir şekilde de ifade edebiliriz.

$$ds^2=\eta_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$$

Buna Einstein toplama kuralı denmektedir. Bu kurala göre tekrarlanan üst ve alt indisler alacağı bütün değerler üzerinden toplanmaktadır. Ayrıca bu yazılan ifadeyi matris formunda da şu şekilde yazarız.

$$ds^2=(dx)^T \eta (dx)$$

Burada $(dx)^T$ $dx$ matrisinin transpoze edilmiş halidir.
Uzay zaman diyagramına tekrar dönecek olursak aralık kavramından görüleceği üzere $ds^2$ sıfırdan küçük,eşit veya büyük olabilmektedir. Uzay zaman diyagramında bulunan bir $p$ noktası için şu yorumları yapabiliriz.

$\bullet$ Eğer $ds^2 <0$ ise $p$ noktası ışık konisinin içinde kalmaktadır. Bu durumda ışık konisinin içindeki herhangi bir nokta $p$ noktasından zamansal olarak ayrılmıştır (timelike separated) denir.\
$\bullet$ Eğer $ds^2=0$ ise $p$ noktası ışık konisinin üzerinde bulunmaktadır. Işık konisi üzerinde bulunan herhangi bir nokta ise $p$ noktası ile ışıksal olarak ayrılmıştır (lightlike separated) denir.\
$\bullet$ Eğer $ds^2>0$ ise $p$ noktası ışık konisinin dışında kalmaktadır. Işık konisinin dışında bulunan herhangi bir nokta $p$ noktasından uzaysal olarak ayrılmıştır (spacelike separated) denir.\
Şimdi ise özel görelilikte önemli bir yeri olan uygun zaman (proper time) ifadesini tanımlayalım. Uzay zaman boyunca alınan yol üzerinde bulunan eylemsiz referans sisteminin ölçtüğü zamana uygun zaman denir. Bu nicelik de aralık kavramı gibi invaryant bir niceliktir ve şu şekilde tanımlanır.

$$(d\tau)^2=-(ds)^2=-\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$$

Zamansal olarak ayrılmış (timelike separated) noktalar için aralık kavramı negatif olacağından uygun zamanı aralığın eksi işareti ile çarpılmış hali olarak tanımlıyoruz.

Durgun $S$ sistemini ele alalım. Bu $S$ sistemine göre $v$ hızıyla ilerleyen bir saat düşünelim. Ayrıca bu saati merkezine alacak şekilde saatle birlikte hareket eden eylemsiz bir $S'$ referans sistemi ekleyelim. Herhangi bir anda $S$ sistemindeki bir gözlemci $S'$ sistemindeki saatin hareketini $dt$ zaman aralığı içerisinde ölçecek ve bu zaman içinde aldığı yolu da $\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}$ olarak ölçecektir. $S'$ sistemindeki gözlemci de saatin hareketini $d\tau$ zaman aralığında ve $dx=dy=dz=0$ mesafesini katedecek şekilde ölçecektir. Çünkü $S'$ ve saatin birbirine göre hızları sıfırdır. Böylece iki olay arasındaki aralığı yazarsak

$$ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2=-c^2{d\tau}^2+{dx'}^2+{dy'}^2+{dz'}^2=-c^2{d\tau}^2$$ $$\${d\tau}^2=\frac{-ds^2}{c^2}$$

Her iki tarafın da karekökünü alırsak

$$d\tau=\frac{\sqrt{c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}}{c}=dt\left[1-\frac{1}{c^2}\left({\frac{dx}{dt}}\right)^2\right]^{1/2}=dt\sqrt{1-v^2/c^2}$$ $$d\tau=\gamma dt$$

elde ederiz.

Bu bölümün de sonuna geldik bir sonraki bölümde vektörler, dual vektörler ve tensörlere bakcağız.