Görelilik Serisi Part 2 - Lorentz Kısalması Ve Zaman Genişlemesi

Bir önceki bıraktığımız yerde size Lorentz dönüşümlerinden bahsetmiştik, şimdi bu dönüşümleri kullanarak, Lorentz kısalması ve zaman genişlemesini açıklayacağız.

Lorentz dönüşümlerinin sonucunda çeşitli yeni olgular ortaya atılmıştır. Eylemsiz $S$ sisteminde hareketsiz olarak duran $l$ uzunluğundaki bir çubuğun uzunluğu, $v$ hızıyla hareket eden başka bir $S'$ eylemsiz referans sisteminde ölçüldüğünde sonuçlar farklı olacaktır, bu uzunluk farklılığına Lorentz Kısalması denmektedir.

Lorentz Kısalması

Bahsettiğimiz bu çubuğun $S$ sisteminde ölçülen uç noktalarının koordinatları, $A(x_A,0,0)$ ve $B(x_B,0,0)$ olarak verilir. Yani $S$ sisteminde bu çubuğun uzunluğu $l=x_B-x_A$ olarak ölçülür.

$$l=\frac{l'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

ile verileceğini göstermiş oluruz. Buradan görüleceği üzere hareketli referans sisteminde ölçülen uzunluk, durgun referans sisteminde ölçülen uzunluğa kıyasla daha düşük çıkmaktadır.

Zaman Genişlemesi

Lorentz dönüşümlerinin sonuçlarından bir başkası ise Zaman Genişlemesi kavramıdır. Durgun $S$ referans sisteminde $(x,0,0)$ koordinatlarında bulunan bir saat düşünelim.

$$t'_2-t'_1=\frac{(t_2-t_1)}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

olarak ölçülür. Buradan görüleceği üzere:

$$t'_2-t'_1 \\ge t_2-t_1$$

olur. Yani hareketli referans sistemi için durgun referans sisteminde çalışan saat daha yavaş çalışmaktadır. Bu olaya zaman genişlemesi denir.

Hız ve İvme Dönüşümleri

Newton mekaniğinin aksine özel görelilik teorisinde göreli hızlar hesaplanmak istendiğinde hızları basit bir şekilde toplayarak sonuca ulaşamayız.

$$u'_x=\frac{u_x-v}{1-(vu_x/c^2)}$$ $$u'_y=\frac{u_y}{\gamma(1-(vu_x/c^2))}$$ $$u'_z=\frac{u_z}{\gamma(1-(vu_x/c^2))}$$

Eğer $S'$ sistemi $c$ ışık hızında hareket eden bir sistem olsaydı ve hareketli parçacık da $S'$ sistemine göre $c$ hızıyla hareket ediyor olsaydı:

$$u_x=\frac{c+c}{1+(cc)/c^2}=\frac{2c}{2}=c!$$

Böylece Einstein'ın postulatlarıyla tutarlı bir sonuca ulaştık.

Lorentz Dönüşümlerinin Matris Formunda Gösterilmesi

Lorentz dönüşümü lineer bir koordinat dönüşümüdür ve 4x4 bir matris ile temsil edilebilir.

$$L_v= \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \beta & 0 & 0\\ -\gamma \beta & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Ve bu haftaki konumuzda böylece bitmiş oldu bir sonraki kısımda uzay zaman diagramlarına bakacağız şimdilik görüşürüz bizi okumaya devam edin :)