Eğri Kavramı

3-Boyutlu Öklid Uzayı’nda Eğri Kavramı

Tanım

$E^3$ üzerinde bir eğri $\alpha : I \subset \mathbb{R} \to E^3$ biçimindeki bir kuraldır. $\alpha$ diferensiyellenebilir ise (burada diferensiyellenebilmekten kastımız koordinat bileşenlerinin diferansiyellenebilir oluşudur.) bu eğriye diferansiyellenebilir eğri adı verilir. [1]

⚠️ Bu noktadan itibaren bir eğriden bahsettiğimizde aksini belirtmedikçe o eğrinin diferansiyellenebilir olduğunu kabul edeceğiz.

Tanım

$\alpha : I \subset \mathbb{R} \to E^3$ bir eğri olsun, eğer her $t \in I$ için

$$\alpha'(t) \neq 0$$

oluyorsa bu eğriye düzgün (regüler) eğri denir.

⚠️ Aksi belirtilmedikçe bu seride bahsedilecek bütün eğrileri düzgün (regüler) olarak kabul edeceğiz.

Şimdi burada sorgulamamız gereken bir husus var. Neden türevi hiçbir noktada sıfır vektörü değilse bu eğriye neden "düzgün" diyelim? Yani türevi bir noktada sıfır vektörü olunca ne oluyor ki? Azıcık sabredin, birazdan sebebini anlayacaksınız.

Tanım

$\alpha^{*} : I^{*} \subset \mathbb{R} \to E^{3}$ ile $\alpha : I \subset \mathbb{R} \to E^{3}$ eğrilerini göz önüne alalım. Eğer bu iki eğri arasında

$$\alpha^{*}(t) = (\alpha \circ \phi)(t)$$

eşitliğini sağlayan bir $\phi : I^{*} \to I$ diffeomorfizması mevcut ise $\alpha^{*}$'a $\alpha$'nın reparametrizasyonu (daha Türkçe karşılığıyla bir başka parametrizasyonu) denir. [2]

⚠️ Diffeomorfizma, tersi olan (yani birebir ve örten olan) ve hem kendisi hem de tersi diferansiyellenebilir fonksiyonlara denir.

Tanım

$\alpha : I \subset \mathbb{R} \to E^{3}$ bir eğri olsun. Bu eğrinin bir $[t_0, t]$ aralığındaki yay uzunluğu

$$s(t) = \int_{t_0}^{t} \|\alpha'(\xi)\|\, d\xi$$

ile hesaplanır. Şayet eğer her $t \in I$ için $\|\alpha'(t)\| = 1$ ise bu eğriye yay uzunluğu ile parametrize edilmiş eğri denir ve bunu belirtmek için $t$ parametresi yerine $s$ parametresi kullanılır. Yani biz $\alpha(s)$ notasyonunu gördüğümüzde anlarız ki $\alpha$ eğrisi yay uzunluğu ile parametrize edilmiştir. [1]

Şimdi neden düzgün eğri dendiğini anlamışsınızdır. Şayet bir $t^{*} \in I$ için $\alpha'(t^{*}) = 0$ olursa

$$\left.\frac{ds}{dt}\right|_{t=t^{*}} = \|\alpha'(t^{*})\| = 0$$

sonucuna ulaşırız. Burada problem yok gibi gözüküyor olabilir ancak uzunluk kavramına ters düşen bir şeyler var. Uzunluk fonksiyonunun sürekli artması gerekiyor çünkü eğriye her eklediğiniz nokta eğrinin uzunluğunu arttıracaktır fakat bu denkleme göre böyle bir durum söz konusu değil dolayısıyla uzunluk algımızla çelişen bir durum bu, işte bu yüzden düzgün eğrilere "düzgün" deniyor.

Örnek

$\alpha : [0,1] \to E^{3}$ eğrisi $\alpha(t) = (t, t^{2}, t-1)$ olarak tanımlansın, $\alpha'(t) = (1, 2t, 1) \neq 0$ olduğundan dolayı $\alpha$ düzgün bir eğridir.

Örnek

$\alpha : [0,1] \to E^{3}$ eğrisi $\alpha(t) = (t^{2}, t^{3})$ olarak tanımlansın, bu eğriye yarı kübik parabol (semicubical parabola) denir. $\alpha'(t) = (2t, 3t^{2})$ olduğundan $\alpha'(0) = 0$ olacaktır, dolayısıyla bu eğri düzgün bir eğri değildir.

Yarı Kübik Parabol örneğindeki grafikten[3] görüyoruz ki düzgünlüğü bozan nokta olan $t = 0$ noktası için $\alpha(0)$ noktası sivri bir uca sahiptir. Bu bir tesadüf değildir, düzgün olmayan eğrilerin düzgünlüğü bozan noktaları sivri uca sahiptir.

Teorem

Bir düzgün eğrinin bütün reparametrizasyonları düzgündür. [2]

kanıt.

$\alpha : I \subset \mathbb{R} \to E^{3}$ bir düzgün eğri ve $\alpha^{*} : I^{*} \subset \mathbb{R} \to E^{3}$ bir reparametrizasyonu olsun. Dolayısıyla bu iki eğri arasında

$$\alpha^{*}(t) = (\alpha \circ \phi)(t)$$

eşitliğini sağlayan bir $\phi : I^{*} \to I$ diffeomorfizması mevcuttur. O halde,

$$\frac{d\alpha^{*}}{dt}=\frac{d(\alpha\circ\phi)}{dt}=\frac{d\alpha}{d\phi}\frac{d\phi}{dt}$$

olur. $\phi$ bir diffeomorfizma olduğundan türevi hiçbir noktada sıfır olamaz, çünkü eğer olursa $\phi$'nin tersinden söz edemeyiz. $\alpha$'nın türevi sıfır vektöründen farklı olmak zorunda çünkü düzgün bir eğri, dolayısıyla eşitliğin sağ tarafı sıfır olamaz, dolayısıyla sol tarafı da sıfır olamaz yani $\alpha^{*}$ düzgündür. □

Örnek

$\alpha : \mathbb{R} \to E^{3}$ eğrisi $\alpha(t) = (t, t^{2}, 0)$ olarak tanımlansın. Bu eğri $xy$-düzleminde bir parabol belirtir. Biz bu eğriyi aynı zamanda $\beta(t) = (t^{3}, t^{6}, 0)$ ile tanımlanan $\beta : \mathbb{R} \to E^{3}$ eğrisi olarak da tanımlayabiliriz, sonuçta grafikleri aynı eğriyi gösterecektir. Fakat $t = 0$ noktasında $\alpha$ düzgün iken $\beta$ düzgün değildir. Bir eğri hem düzgün olup hem nasıl düzgün olmayabilir? Tabii ki olamaz, çünkü $\beta$ ile $\alpha$ arasında

$$\beta(t) = \alpha(t^{3})$$

ilişkisi vardır. $\phi(t) = t^{3}$ fonksiyonu bir diffeomorfizma değildir, dolayısıyla $\beta$ bir reparametrizasyon belirtmez.

Örnek

$\alpha : [0, 2\pi) \to E^{3}$ eğrisi $\alpha(t) = (\cos t, \sin t, 0)$ ile tanımlansın. Bu eğri $xy$-düzlemindeki birim çemberden başkası değildir. Bu çemberin yay uzunluğunu hesaplayalım.

$$s(t) = \int_{0}^{t} \|\alpha'(\xi)\|\, d\xi$$

Burada $\alpha'(t) = (-\sin t, \cos t, 0)$ olarak bulunur, yani $\alpha$ eğrisi düzgün bir eğridir (sin ve cos fonksiyonları asla aynı anda sıfır olmaz.) ve ayrıca $\|\alpha'(\xi)\|=\sqrt{\sin^{2}\xi+\cos^{2}\xi}=1$ olarak hesaplanır. Yani $s(t)$ yay uzunluğu fonksiyonumuz

$$s(t)=\int_{0}^{t} dt = t$$

olarak bulunur. Bunun hakkında çeşitli yorumlarda bulunabiliriz. Öncelikle eğrinin bütün yay uzunluğunu bulmak istiyorsak $t=2\pi$'ye bakmalıyız ki burada çemberin uzunluğu formülünü (hani şu lisede öğretilen 2 pii reee var ya, heh o.) doğrularız. İkinci olarak, ki bu birinciden çok daha önemli, $t$'nin yay uzunluğu parametresi ile aynı şey olduğunu yani çemberimizin yay uzunluğu ile parametrize edildiğini görürüz. Kalkülüs sayesinde bir vektör değerli fonksiyonun türevinin o vektör değerli fonksiyona teğet olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla $\alpha$ çemberimizin teğeti $\alpha'$ eğrisidir. Ayrıca aşağıdaki grafiklerden görebileceğimiz üzere $\alpha$ ile $\alpha'$ aynı görüntüye sahiptir.

Yani, aslında çemberin türevi çemberin bir reparametrizasyonudur (diffeomorfizmayı da göstereyiverin gari.). Bitti mi, bitmedi. Aynı grafiği çizmelerine rağmen aynı yolu izleyerek bunu yapmazlar. Bunun sebebi de basit bir geometri bilgisidir, çemberin yarıçapı çemberin teğetine diktir. Peki bu nedendir ? Ah evet dershaneler kralı geometrici Burak hocalar, güldünüz... güldünüz... Hadi açıklayalım.

$$\langle \alpha(s), \alpha(s)\rangle = \|\alpha(s)\|^{2} = \cos^{2}s + \sin^{2}s = 1$$

Buradan eşitliklerin en sağ ve sol kısımlarının $s$ parametresine göre türevini alsak (hiç unutmuyorum diferansiyel geometri hocam hiçbir şey bilmiyorsanız bu derste gördüğünüz her şeyin türevini, alın ille bir şeyler çıkar derdi...)

$$\frac{d}{ds}\langle \alpha(s), \alpha(s)\rangle = \langle \alpha'(s), \alpha(s)\rangle + \langle \alpha(s), \alpha'(s)\rangle = 2\langle \alpha'(s), \alpha(s)\rangle = 0$$

ifadesine ulaşırız, dolayısıyla $\langle \alpha'(s), \alpha(s)\rangle = 0$ olur, ki bu da $\alpha' \perp \alpha$ anlamına gelir, yani bize yıllar önce elinde plastik bardağıyla yarıçap teğete diktirrr diyen geometri hocamızın dediğine geldik. Hocalarım, saygılar...

Espri bir yana, bu durum aslında bize bir fikir verir, o da şudur, yay uzunluğu ile bir eğriyi parametrize etmek bize sadece bir türev alma işlemiyle o eğriye dik başka bir eğri verir. Biz bu eğriye teğet adını vereceğiz.

Tanım

$\alpha : I \to E^{3}$ eğrisinin birim teğet eğrisi $T(s)$ ile gösterilir ve $T(s) = \alpha'(s)$ olarak tanımlanır.

Teorem

$\alpha : I \to E^{3}$ eğrisinin birim teğeti $T(s)$ olsun. O halde $T(s) \perp \alpha(s)$, $\forall s \in I$.

kanıt.

$\alpha(s)$ yay uzunluğu parametrizasyonuna sahip olduğundan, $\langle \alpha(s), \alpha(s)\rangle = 1$ olur. $s$'ye göre iki tarafın türevini alsak

$$\frac{d}{ds}\langle \alpha(s), \alpha(s)\rangle = \langle \alpha'(s), \alpha(s)\rangle + \langle \alpha(s), \alpha'(s)\rangle = 2\langle \alpha'(s), \alpha(s)\rangle = 0$$

sonucuna ulaşırız, buradan da $\alpha' \perp \alpha$ yorumunu yapmak pek zor olmasa gerek. □

Teoride her şey çok güzel, elimizde yay uzunluğu parametrizasyonuna sahip bir eğri varsa onun teğetini (birim teğet yerine sadece teğet diyeceğiz, birim olmayan teğetler bizim için hükümsüzdür !) çok rahat bulabiliyoruz. Fakat siz de ben de biliyoruz ki hayat güllük gülistanlık değil. Peki elimizde yay uzunluğu parametresi ile verilmemiş bir eğri varsa ne yapabiliriz ? İki şey yapabiliriz.

1. Yay uzunluğu parametresini hesaplamaya çalışabiliriz. Yani $s$ için verilen integrali çözüp $t$ parametresini $s$ cinsinden yazmayı deneyebiliriz.

2. Birinci şık teoride her zaman mümkün olsa da pratikte değildir. Bu durumda zincir kuralından faydalanabiliriz. Şöyle ki,

$$\frac{d\alpha}{dt} = \frac{d\alpha}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{d\alpha}{ds}\|\alpha'(t)\|$$

$T(s)=\frac{d\alpha}{ds}$ olduğundan,

$$\frac{d\alpha}{dt} = T(s(t))\|\alpha'(t)\|$$

ve buradan,

$$T(t)=\frac{1}{\|\alpha'(t)\|}\frac{d\alpha}{dt}$$

eşitliğine ulaşılır. Burada fark ettiyseniz $T$'nin parametresini yavaş yavaş $s$'den $t$'ye doğru kaydırdım, bunu yapabilirim çünkü $s$ aslında $t$'nin bir fonksiyonu. Sonuç olarak teğet eğrisini hiç yay uzunluğu parametresine girmeden hesaplayabilmenin bir yolunu bulmuş olduk. Şimdi bunu uygulayalım.

Örnek

$\alpha : [0, 2\pi) \to E^{3}$ eğrisi $\alpha(t) = (4\cos t, \sin t, t)\alpha(t) = (2\cos t, \sin t, t)$ ile tanımlansın. Bu eğri eliptik helis adı verilen bir eğridir. Bu eğrinin teğetini yukarıda elde ettiğimiz formülle hesaplayacağız. Fakat elle değil, bu iş için Python kullanacağız, SymPy kütüphanesini kullanarak bu hesabı rahatlıkla yapabiliriz. Daha sonra da NumPy ve matplotlib kütüphanelerini kullanarak grafiklerini çizdireceğiz. Hesabı aşağıdaki betik ile yapıyoruz.

import sympy as smp
from sympy import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# parametrenin oluşturulması
t=smp.symbols('t')
# eğrinin oluşturulması
alpha=smp.Matrix([4*smp.cos(t),smp.sin(t),t])
# eğrinin türevi
alpha_turev=smp.diff(alpha)
# T vektörünün oluşturulması
T=alpha_turev/alpha_turev.norm()
# Çizdirilecek aralığın oluşturulması
tt=np.linspace(0,2*np.pi,100)
# x, y, z eksenlerinin oluşturulması
ax = plt.figure().add_subplot(projection='3d')
# eğrinin ve teğetinin koordinat bileşenlerinin NumPy kütüphanesine aktarılması
rr_1=smp.lambdify([t],alpha[0])(tt)
rr_2=smp.lambdify([t],alpha[1])(tt)
rr_3=smp.lambdify([t],alpha[2])(tt)
rrp_1=smp.lambdify([t],T[0])(tt)
rrp_2=smp.lambdify([t],T[1])(tt)
rrp_3=smp.lambdify([t],T[2])(tt)
# Grafiğin oluşturulması
ax.plot(rrp_1,rrp_2,rrp_3, label='Teğet',color='orange')
ax.plot(rr_1,rr_2,rr_3,label='Eğri')
ax.legend()
plt.show()

Görüleceği üzere teğet vektörü sanki bir Pringles'a benzemektedir. Tabii programlama bilgisi olmayan okuyucuların kağıt kalem alıp çözmesini isteyeceğim. Ancak sonucu şuraya yazayım, kontrol etmek isterseniz diye:

$$T(t)=\left( -\frac{4\sin(t)}{\sqrt{15\sin^{2}(t)+2}}, \ \frac{\cos(t)}{\sqrt{15\sin^{2}(t)+2}}, \ \frac{1}{\sqrt{15\sin^{2}(t)+2}} \right)$$

Sonuç ve Gelecek Bölümde...

Bu bölümde eğri kavramı ve onun bazı özelliklerinden bahsettik, gelecek bölümde ise eğrilerin üzerine yeni tanımlar yükleyip onları daha anlamlı kılacağız. İlerleyen bölümlerde ise bazı özel eğrilere gireceğiz. Kendinize iyi bakın !

Kaynakça

[1] Do Carmo, M. P. (2016). Differential geometry of curves and surfaces: revised and updated second edition. Courier Dover Publications.

[2] Pressley, A. N. (2010). Elementary differential geometry. Springer Science & Business Media.

[3] Visualizing Differentials in Two and Three Dimensions - Scientific Figure on ResearchGate. Available from: https://www.researchgate.net/figure/a-semi-cubical-parabola_fig4_37143313 [accessed 8 Apr, 2022]