Diferansiyel Geometri Serisi 3. Bölüm

Öklid Geometrisi

Menüde ne var ?

Herkese merhaba! Umuyorum ki her şey yolundadır. Çıktığımız diferansiyel geometri yolculuğumuzun bu bölümü çok özel bir matematikçi hakkında olacak; Öklid. Zira her ne kadar artık modern geometri’nin Öklid ile bir bağı neredeyse kalmamış olsa da, her şeyi başlatan kişi Öklid idi. Öklid’in elemanlar kitabından ve Öklid’in aksiyomlarından biraz bahsedip ardından beşinci postülatı hakkındaki tartışmalara değineceğiz. Sonra da Öklid uzayını tanımlayacağız.

Kim bu Öklid ?

Öklid, Antik Yunanistan’ın Afrika’ya kadar uzanmış olduğu bir dönemde M.Ö. 330 yılında İskenderiye’de dünyaya geldi.

Yaşadığı döneme göre doğduğu topraklar bilim açısından en doyurucu topraklardan biri olsa da Öklid’in eğitimini tamamladığı dönemlerde henüz geometri belirli formüllere ve teorilere sahip bir alan değildi, daha çok gündelik problemlerin çözümlerinde kullanılan bir araçtı. Öklid, yazdığı 13 ciltlik ”Elemanlar” adlı çalışmasıyla geometriyi 23 tane tanım 5 tane aksiyom ile tamamen baştan kurgulamıştır. Elemanlar aracılığıyla kurgulanan bu geometri bütün dünyada tarafından yüz yıllar boyunca kabul görmüş ve Öklid’in onuruna Öklid geometrisi olarak adlandırılmıştır. Böyle isimlendirince Öklid geometrisi sadece dünyada belirli bir zümre tarafından bilinen bir şey olarak zannedilebilir ancak aslında lise mezunu herkes Öklid geometrisi ile tanışmıştır çünkü lisede geometri adı altında anlatılanlar Öklid geometrisinden başka bir şey değildir.

Öklid Aksiyomları

Tanımlar

Elbette Öklid aksiyomlarından önce Öklid’in ilk ciltte yapmış olduğu temel tanımları vermemiz gerekiyor. [1]

• Nokta, büyüklüğü olmayandır.
• Bir çizginin uçları noktalardır.
• Yüzey, yalnızca uzunluğu ve eni olandır.
• Bir yüzeyin uçları çizgilerdir.
• Düzlem, üzerindeki doğrulara göre eşit olarak yatan yüzeydir.
• Çizgi, eni olmayan uzunluktur.
• Doğru, üzerindeki noktalara göre eşit olarak yatan çizgidir.
• Herhangi bir şeyin ucuna sınır denir.
• Bir sınır veya sınırlar arasında kalana şekil denir.
• Düzlemaçısı, aynı doğru üzerinde olmayan ve birbirine dokunan çizgilerin birbirine göre eğimidir.
• Ve açıyı oluşturan çizgiler doğru ise açıya düzkenar denir.
• Bir doğruya çizilen bir başka doğru iki komşu açıyı eşit kılıyorsa her iki açıya da dik denir ve bu düz çizgi, üzerine çizildiği düz çizgiye diktir denir.
• İçindeki bir noktadan, üzerindeki her noktaya çizilen doğruların birbirine eşit olduğu düzlem şekline çember denir.
• Ve o noktaya da çemberin merkezi denir.
• Çemberin merkezinden geçen ve her iki yönde de çemberin çevresi tarafından sınırlanan doğruya çemberin çapı denir, ve bu çeşit her doğru çemberi ikiye böler.
• Dik açıdan büyük olan açıya geniş açı denir.
• Dik açıdan küçük olan açıya dar açı denir.
• Dörtkenarlılara gelince, kenarları birbirine eşit ve dik açılı olanına kare, dik açılı ama kenarları birbirine eşit olmayanına dikdörtgen, kenarları birbirine eşit ama dik açılı olmayanına eşkenar dörtgen, karşılıklı kenarları ve açıları eşit olan ama eşkenar ve dik açılı olmayanına eğik dörtgen denir. Ve bunların dışında kalan dört kenarlılara da yamuk densin.
• Paralel doğrular aynı düzlemde olan ve iki yöne de istenildiği kadar uzatıldığında birbirlerini kesmeyen doğrulardır.
• Çap ve onun kestiği çevre arasında kalan şekle yarıçember denir. Ve yarıçemberin merkezi çemberin merkeziyle aynıdır.
• Doğrular tarafından sınırlanan şekillere düzkenarlı şekiller denir. Üç doğruyla sınırlananlara üçgen, dört doğruyla sınırlananlara dörtgen, ve çok doğruyla sınırlananlara çokgen denir.
• Üç kenarlı şekillerden üç kenarı da birbirine eşit olanına eşkenar üçgen, yalnız iki kenarı eşit olanına ikizkenar üçgen ve tüm kenarları farklı olana çeşitkenar üçgen denir.
• Ayrıca, üç kenarlı şekillerin bir dik açısı olanına dik üçgen, geniş açısı olanına geniş açılı üçgen, ve üç açısı da dar olanına dar açılı üçgen denir.

Aksiyomlar

Öklid, Elemanlar kitabının birinci cildinde bu tanımların hemen ardından aşağıdaki beş aksiyomu sıraladı. [2]

1. İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.
2. Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekilde uzatılabilir.
3. Merkezi ve üzerinde bir noktası (yarıçapı) verilen bir çember çizilebilir.
4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5. İki düz çizgi üzerine düşen bir doğru, aynı taraftaki iç açıları iki dik açıdan daha az yapıyorsa, iki düz çizgi, eğer sonsuza kadar uzatılırsa, açıların iki dik açıdan daha az olduğu tarafta kesişir. (Bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilebilir.)

Bütün aksiyomlar ilk bakışta açık ve akla yatkın görünmesine rağmen beşinci aksiyom bazı matematikçilerin kafasını karıştırmıştır çünkü bu aksiyomun yazılmasına gerek olmadığı çünkü bunun ilk dört aksiyom kullanılarak çıkartılabileceği yönünde düşünüyorlardı. Daha sonradan Paralellik Aksiyomu olarak adlandırılacak olan aksiyomu bu ilk dört aksiyom kullanılarak çıkartma çabalarının her biri tek tek boşa çıkmıştır. Sonuç olarak modern geometride paralellik aksiyomunun gerçekten bir aksiyom olduğunu, yani kanıtı olmadığını biliyoruz. Anlaması ilk okuyuşta oldukça güç olan paralellik aksiyomuna denk bazı aksiyomlar sonradan ortaya atılmıştır, en bilinenlerinden biri Playfair Aksiyomu’dur.

Playfair Aksiyomu

Bir düzlemde, belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruyu asla kesmeyen en fazla bir doğru çizilebilir.

Şu ana kadar yeterince tarihi dozumuzu aldığımızı düşünüyorum, klasik geometri’nin atasını ziyaret ettik geometriyi nasıl inşa ettiğini kendisinden dinledik. Şimdi geçen bölümde gördüğümüz alt yapı ile bunları harmanlama vakti.

3- Boyutlu Öklid Uzayı

Bu bölümde Öklid Uzayları’nın en hası’nı göreceğiz. Üç boyutlu Öklid uzayı her şeyin başladığı yerdir, bütün aksiyomlar ve matematiğin öbür disiplinleri harmanlanılarak klasik anlamda diferansiyel geometri ilk bu uzayda yapılmıştır. Biz de kronolojiyi takip edeceğiz, hatta çoğunlukla bu uzayın dışına çıkmayacağız, çıksak bile üç boyutta kalmaya özen göstereceğiz.

Tanım

$\langle . , . \rangle : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ iç çarpımı

$\forall v=(v_1,v_2,v_3),\ w=(w_1,w_2,w_3)\in\mathbb{R}^3$

için

$$\langle v, w\rangle = v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3$$

ile tanımlansın. Bu iç çarpıma Öklid iç çarpımı adı verilir. Ayrıca bu iç çarpım ile tanımlanan norm’a Öklid normu adı verilir. [3]

Elbette matematik sorgulayıcı bir şey (bilim diyen var, dil diyen var biz hiç bu tartışmaya girmeyelim) olduğundan bize körü körüne inanmayıp bunun gerçekten bir iç çarpım olduğunu kanıtlamanızı öneririz (bölüm 2’de verdiğimiz iç çarpım özelliklerini sağlıyor mu onları bir kontrol ediverin size zahmet.).

Tanım

$\langle . , . \rangle : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ Öklid iç çarpımı olsun, o halde

$$E^3 = (\mathbb{R}^3,\langle . , . \rangle)$$

ile tanımlanan iç çarpım uzayına 3-boyutlu Öklid uzayı denir. [3]

Tanımdaki $E$ harfi elbette ki Öklid’in İngilizce yazımından geliyor, yani Euclid’in $E$’si. Bu iki tanımı özetleyecek olursak 3-boyutlu Öklid uzayı aslında bir iç çarpım uzayıdır. Bu iç çarpıma da özel olarak Öklid iç çarpımı denir, ki bu iç çarpımı fizikle haşır neşir olan okur iyi biliyor olsa gerek çünkü kendisi nam-ı diğer nokta çarpımıdır. Bu uzay, Öklid’in verdiği tanımlar çerçevesinde kurulan o beş aksiyom üzerine kuruludur ve ek olarak iç çarpım tanımlıdır. İç çarpımın bize çok faydası olacak, çünkü açı, uzunluk gibi kavramları tanımlayabileceğiz.

Tanım

$u=(u_1,u_2,u_3),\ v=(v_1,v_2,v_3)\in E^3$ olsun. $u$ ile $v$’nin dış çarpımı (vektörel çarpım da denir) $u\wedge v$ ile gösterilir ve,

$$u\wedge v = \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$$

ile tanımlanır. Burada $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$, $e_3=(0,0,1)$ vektörleridir. [3]

Bu tanım da lineer cebir, mekanik gibi dersleri gören okura tanıdık gelecektir. Şimdi Öklid uzayında iki vektör arasındaki açı’dan bahsedelim.

Tanım

$\|\ \|$ Öklid normu ve $u,v\in E^3$ olsun, $u$ ile $v$ arasındaki Öklidyen açı

$$\theta=\arccos\left(\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}\right)$$

olarak tanımlanır.

Tanım

$u,v\in E^3$ olsun, $u$ ve $v$ vektörleri arasındaki Öklidyen açı $\frac{\pi}{2}$ radyan olduğunda $u$ ve $v$ birbirine diktir denir ve $u\perp v$ ile gösterilir.

Teorem

$u,v\in E^3$ o halde,

$$u\perp v \iff \langle u,v\rangle = 0$$

Kanıt

Gayet kolay bir ispatı vardır, $u\perp v$ olduğunu kabul edelim, o halde $u$ ile $v$ arasındaki Öklidyen açı $\frac{\pi}{2}$ radyandır. O halde

$$\arccos\left(\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}\right)=\frac{\pi}{2}$$

ve dolayısıyla $\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}=0$ olacaktır. Buradan da $\langle u,v\rangle=0$ sonucu çıkar. Tersini kanıtlamak istersek de $\langle u,v\rangle=0$ olduğunu kabul edelim, çok açık biçimde

$$\arccos\left(\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}\right)=\frac{\pi}{2}$$

olduğu görülür ki bu da ispatı bitirir. $\square$

Gelecek Bölümde...

Bir bölümün daha sonuna geldik, bu bölümde diferansiyel geometri’ye klasik anlamda bir giriş yaptık. Bir sonraki bölümde bizi eğriler ve onlar hakkında yapacağımız bazı tanımlar bizleri bekliyor olacak. Kendinize iyi bakın !

Kaynakça

[1] Tanımlar. (n.d.). A. S. Sertöz (Çeviri), Öklid’in Elemanları (8 Mayıs 2018 sürümü ed., pp. 1–2).

[2] Wikipedia (2005, Mart 17). Öklid geometrisi. Vikipedi. Mart 7, 2022 tarihinde alındı, https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%96klid_geometrisi#Aksiyomlar

[3] Manfredo, P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 1976.