Harmoniklik ve Minimalizm

Herkese merhaba, umarım her şey yolundadır. Geçtiğimiz bölümde bir yüzeyin temel formlarından bahsetmiştik. Aslında sadece iki tane temel form yok, buna ilerleyen kısımlarda değineceğiz ancak şimdilik iki tanesiyle yetinelim. Birinci temel form ile neler yapabildiğimiz açıktır, aslında bir yüzey üzerinde metrikten bahsediyoruz. Yani bir karıncanın yürüdüğü en kısa mesaf... aa jeodezik. Pekala daha fazla sır bozmak yok. Tatlı bir iki örnekle başlayalım.

Örnek

$x(u,v) = (u \cos v, u \sin v, u)$ yüzeyini ele alalım. Birinci temel form'u

$$I = 2du^2 + u^2dv^2$$

olarak buluruz. Görüleceği üzere $F = 0$ olarak bulundu. Yani bu

$$\langle x_u, x_v \rangle = 0$$

demek. Buradan da parametrizasyonun dik olduğu sonucuna varılır. Peki burada bir soruya varmamız gerekir, her yüzey için bir dik parametrizasyon var mıdır? Cevabı evet ama öncesinde bir iki tanım yapmamız gerekecek. Önce bu yüzeyin ikinci temel formunu vereyim de bakacağız ona. Bu yüzeyin normali

$$N = (-\cos v, \sin v, 1)$$

olarak hesaplanır. Dolayısıyla ikinci temel form katsayıları buradan hesaplanabilir, ahanda ödev.

Tanım

$x$ yüzeyinin bir $(u,v)$ parametrizasyonu

$$\langle x_u, x_v \rangle = 0$$

özelliğine sahipse bu parametrizasyona dik parametrizasyon (orthogonal parametrization) denir.

Teorem

Her düzgün yüzey lokal olarak dik parametrizasyona sahiptir.

Kanıt

Aah ah, bu teoremi sonra kanıtlayalım diyip manifoldlar'a geçtikten sonra ahanda Weyl tensörü falan yapsaydım fena mı olurdu? Gerçi o zaman bir üniversite profesöründen ne farkım kalırdı? Biraz tanımlar vermem ve kompleks sayılarla ilgilenmemiz gerekecek. Ama önce, elimizdeki malzemelere bir bakalım. Yüksek lisans tezimde de bahsetmiş olduğum bir kısma dönüyoruz, reel dünyadan kompleks dünyaya geçiş biletlerimiz olan şu operatörleri hatırlayalım:

Tanım (Kompleks Türev Operatörleri).

$\mathbb{R}^2$'deki koordinatlarımız $(u,v)$ olsun. $z = u + iv$ kompleks değişkenini tanımladığımızda, türev operatörleri şöyle şekil değiştirir:

$$\frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial u} - i \frac{\partial}{\partial v} \right), \qquad \frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial u} + i \frac{\partial}{\partial v} \right)$$

Şimdi, yüzeyimizin üzerindeki o meşhur Birinci Temel Formu

$$ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2$$

alıp, bu kompleks operatörlerin diline çevirelim. Biraz cebirsel jimnastik yaparsak (ki aradaki o sıkıcı işlem kalabalığını atlıyorum, sonuçta burası bir matematik çöplüğü değil), metriği şu şık formda yazabiliriz:

$$ds^2 = \lambda(z)|dz + \mu(z)d\bar{z}|^2$$

Burada $\lambda$ pozitif bir reel fonksiyon, $\mu$ ise kompleks değerli bir fonksiyondur. İşte dananın kuyruğunun koptuğu yer burası! Biz istiyoruz ki yeni bir $w$ koordinat sistemi bulalım ve metrik sadece $|dw|^2$ ile orantılı olsun yani $d\bar{w}$ gibi terimler "çöp" olsun, ortalık "konform" olsun.

Bunun olması için $w(z)$ fonksiyonunun şu denklemi sağlaması gerekir:

$$\frac{\partial w}{\partial \bar{z}} = \mu(z) \frac{\partial w}{\partial z} \tag{1}$$

İşte buna Beltrami Denklemi diyoruz. Eğer $\mu = 0$ olsaydı, bu denklem Cauchy-Riemann denklemlerine dönüşürdü ($\partial w / \partial \bar{z} = 0$, yani holomorfik fonksiyon). Ama genel durumda $\mu \neq 0$.

Varlık Kanıtı (Grand Finale):

Diferansiyel geometrinin "analiz" kanadındaki ağır abilerin örneğin Morrey veya Ahlfors-Bers ispatladığı derin teoremler der ki: Eğer $\mu$ fonksiyonu "uslu" duruyorsa ki bizim yüzeyimiz düzgün olduğu için uslu duruyor, $|\mu| < 1$ sağlanır, (1) numaralı denklemin yerel olarak bir $w$ homeomorfik çözümü vardır.

Bu $w$ çözümünü $w = \xi + i \eta$ olarak yazarsak, $(\xi,\eta)$ bizim aradığımız izotermal koordinatlardır. Çünkü bu koordinatlarda metrik:

$$ds^2 = \Lambda(\xi,\eta)(d\xi^2 + d\eta^2)$$

halini alır. Yani $E = G$ ve $F = 0$ olur.

Sonuç:

Yüzeyin üzerinde dik ve ölçekli bir ızgara çizmek, aslında kompleks analizde bir denklem çözmekten ibaretmiş. Geometri ve Analiz... Yine bir elmanın iki yarısı gibi. Bu kanıtta biraz fazla detay ve daha görmemize çok olan şeylere ucundan dokunmak zorunda kaldım, ama umarım her şey açıktır... Cauchy-Riemann denklemi'ni kompleks analiz derslerinden hatırladığınızı umut ediyorum. Şayet bir fizikçiyseniz de, yapacağım bir şey yok bu hayatı siz seçtiniz.

Elimizi yüzümüzü matematiğe buladık, peki bu teorem bize ne verdi? Şayet birinci temel formu

$$I = \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}$$

biçiminde bir matris halinde yazarsak ve yukarıdaki teorem uyarınca $E = G$, $F = 0$ olan bir parametrizasyon seçersek $I$ bir köşegen matris halinde belirtilebilir. Bu da bize hesap yaparken yardımcı olur, ayrıca teorik olarak da çok güzel bir şeye sebebiyet verir: lokal olarak düz olma. Yani Isothermal koordinat dediğimiz koordinat sistemi bizim yüzeyimizin lokal olarak aynı düzleme benzediğini söyler. Yani düz dünyacılar kendi çaplarında haklı diyebilir miyiz? Demeyelim ya yine de.

Bu teoremi unutmayalım, ileride manifoldları tanımlarken işimize yarayacak. Ayrıca konusu açılmışken harmonikliğe de değinmek istiyorum. Yüzeyimiz için Laplace-Beltrami operatörü'nü tanımlamamız gerekecek. Laplace-Beltrami operatörü aslında çok düz haliyle yüzeyimiz üzerinde alınan ikinci türevlerin toplamıdır. Yani bir fonksiyonun yüzeyimiz üzerinde Laplace'ını (Beltrami düzgün) hesaplamak istiyorsak yüzeyimizin parametrelerine göre ikinci türevlerinin nelerin köşesinden dolaşıyorum kovaryant türev demek için görüyorsunuz değil mi, hani bana yeşil pasaport?) toplamını almamız gerekecek. Biraz formal takılacak olalım ve tanımları verelim artık.

Tanım (Harmonik Fonksiyon).

Bir $S$ yüzeyi üzerinde tanımlı, reel değerli, diferansiyellenebilir bir $f : S \to \mathbb{R}$ fonksiyonunu düşünelim. Eğer bu fonksiyon, yüzeyin geometrisini hesaba katan Laplace-Beltrami Operatörü $(\Delta)$ altında sıfırlanıyorsa, yani:

$$\Delta f = 0$$

ise, bu fonksiyona Harmonik Fonksiyon denir.

Peki bu operatör neye benzer?

Bizim $E,F,G$ dilinde bu operatörün açık hali şöyledir burada $W = \sqrt{EG - F^2}$ alan elementidir:

$$\Delta f = \frac{1}{W} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{G f_u - F f_v}{W} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{E f_v - F f_u}{W} \right) \right]$$

Gönül ister ki neden ikinci türevlerin bunlar olduğunu uzun uzadıya anlatayım ama çok dağılacak, biraz sezgisel bakış ile yaklaşalım. Esasında Laplace-Beltrami operatörü yüzey üzerinde fonksiyonun değerlerinin ortalamalarını hesaplamak diyebiliriz.

Olayın Özü (Sezgisel Bakış):

Dostum, bir fonksiyonun harmonik olması demek, o fonksiyonun bir noktadaki değerinin, etrafındaki komşu noktaların değerlerinin ortalamasına eşit olması demektir.

• Fiziksel olarak: Gergin bir zarın şekli veya ısıl dengedeki bir levhanın sıcaklık dağılımı harmoniktir.

• Geometrik olarak: İzotermal koordinatlarda $(E = G, F = 0)$, o yukarıdaki karmaşık formül şuna dönüşür:

$$\Delta f = \frac{1}{E} (f_{uu} + f_{vv})$$

Yani yüzey üzerindeki "harmoniklik", bildiğimiz düzlemdeki $(f_{xx} + f_{yy} = 0)$ haline indirgenir. İzotermal koordinatların sihirli olmasının sebebi de budur; eğri büğrü yüzeyi, analiz yapabileceğimiz düz bir kağıt gibi hissettirir.

Teorem

İzotermal koordinatlar $(u,v)$, yüzey üzerinde harmonik fonksiyonlardır.

Kanıt

Christoffel sembollerine artık her ne ise onlar hiç bulaşmadan, "Eski Usul" hesapla bu işi bitirelim. Elimizde diferansiyel geometrinin İsviçre çakısı olan Laplace-Beltrami Operatörü'nün $E,F,G$ cinsinden genel formülü var. Herhangi bir $\phi$ fonksiyonu için bu operatör şöyledir:

$$\Delta \phi = \frac{1}{W} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{G \phi_u - F \phi_v}{W} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{E \phi_v - F \phi_u}{W} \right) \right]$$

Burada $W = \sqrt{EG - F^2}$ bizim alan elementimizdir, yani birinci temel formun determinantı.

Şimdi elimizdeki İzotermal Koordinat kozunu oynayalım. Neydi kuralımız?

$$E = G = \lambda(u,v) \qquad \text{ve} \qquad F = 0$$

Bu durumda $W$ ne olur?

$$W = E$$

Hadi şimdi bu sadeleşmiş değerleri yukarıdaki o korkunç formülde yerine yazalım. Formül bir anda süt dökmüş kediye dönüyor:

$$\Delta \phi = \frac{1}{E} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{E\phi_u - 0}{E} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{E\phi_v - 0}{E} \right) \right]$$

Parantez içindeki $E$'ler birbirini götürür işte izotermal koordinatların büyüsü burada!:

$$\Delta \phi = \frac{1}{E} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(\phi_u) + \frac{\partial}{\partial v}(\phi_v) \right] = \frac{1}{E} (\phi_{uu}+\phi_{vv})$$

Şimdi final vuruşunu yapalım. Biz $u$ ve $v$ koordinatlarının harmonik olduğunu kanıtlamak istiyoruz.

1. $u$ için kontrol edelim $(\phi = u)$:

$$u_u = 1, \qquad u_{uu} = 0$$ $$u_v = 0, \qquad u_{vv} = 0$$

Yerine koyarsak:

$$\Delta u = \frac{1}{E}(0+0)=0$$

2. $v$ için kontrol edelim $(\phi = v)$:

$$v_v = 1, \qquad v_{vv} = 0$$ $$v_u = 0, \qquad v_{uu} = 0$$

Yerine koyarsak:

$$\Delta v = \frac{1}{E}(0+0)=0$$ $$\square$$

Aslında buradan şunu görebiliriz, izotermal koordinatlar yüzeyin üzerinde alınan bir fonksiyonun saçılmalarını minimize eder. Evet, minimize. Buradan da şunu görebiliriz, izotermal koordinat üzerinde bir parametreyi sabitleyelim. diğer parametre hareketli olacak. Yani aslında bir level curve çizmiş oluyoruz, hadi yine iyisiniz he fizikçiler açıklamama gerek kalmadan bir kavramı anladınız. İşte bu eğri bize yüzey üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa yolu verir, yani jeodezik eğrisidir. Şimdi bunu güzel bir örnek ile açıklayalım. Mercator projeksiyonu.

Örnek 1.2.

Elimizde birim küre $S^2$ olsun. Klasik coğrafi koordinatlarla enlem $\theta$, boylam $\phi$ şöyle parametrizasyon ederiz:

$$x(\theta,\phi) = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$$

Burada $0 < \theta < \pi$ ve $0 < \phi < 2\pi$. Bu haliyle metrik katsayılarına bakarsak $E = 1$, $G = \sin^2\theta$ çıkar. Yani $E \neq G$, dolayısıyla bu "izotermal" yani açı koruyan bir harita değildir.

Sihirli Dokunuş:

Parametreleri şöyle değiştirelim:

$$u = \ln \tan\left(\frac{\theta}{2}\right), \qquad v = \phi$$

Bu dönüşümü yapıp $y(u,v)$ parametrizasyonunu yazarsak ki burada biraz trigonometrik jimnastik yapıyoruz:

$$x(u,v) = (\operatorname{sech} u \cos v, \operatorname{sech} u \sin v, \tanh u)$$

Şimdi bu yeni $y$ parametrizasyonu için Birinci Temel Form katsayılarını $(E,F,G)$ hesaplayalım. Türevleri alıp iç çarpım yaptığımızda şu muazzam sonucu görürüz:

$$E = \langle x_u, x_u \rangle = \operatorname{sech}^2 u, \qquad F = 0, \qquad G = \langle x_v, x_v \rangle = \operatorname{sech}^2 u$$

Sonuç:

Gördüğün gibi $E = G = \lambda^2(u,v) = \operatorname{sech}^2 u$ ve $F = 0$. Yani Mercator abimiz, enlem çizgilerini logaritmik bir fonksiyonla esneterek küreyi izotermal hale getirmiş. Bu yüzden Google Maps'te Grönland, Afrika kadar büyük görünür; açıları korumak için alanlardan feragat etmiştir.

Örnek (Lagrange (1779): Her Dönel Yüzey Bir Güne İzotermal Olacak!).

Sadece küre mi? Hayır! Lagrange abimiz demiş ki: "Bir fonksiyonu kendi etrafında döndürerek oluşturduğunuz her yüzey (Dönel Yüzey), izotermal hale getirilebilir."

Genel bir dönel yüzeyi şöyle parametrize edelim:

$$x(\theta,\phi) = (f(\phi)\cos\theta, f(\phi)\sin\theta, g(\phi))$$

Burada yüzeyi $\phi$ parametresi profil eğrisi ve $\theta$ parametresi dönme açısı ile kuruyoruz. Normalde bunun metriği

$$E = f(\phi)^2$$

ve

$$G = (f')^2 + (g')^2$$

gibi karışık bir şey çıkar.

Sihirli Dokunuş (Lagrange Usulü):

Parametreleri değiştirelim. $u = \theta$ kalsın ama diğer parametre için şu integrali tanımlayalım:

$$v = \int \frac{ \sqrt{(f'(\phi))^2 + (g'(\phi))^2} }{ f(\phi) } \, d\phi$$

Bu integrali çözüp, ters fonksiyon teoremiyle yeni bir parametrizasyon $(y(u,v))$ yazdığımızda, Birinci Temel Form katsayıları şu hale gelir:

$$E = G = f^2(v) \qquad (\text{Burada } f \text{ aslında } f \circ h^{-1} \text{ dir}), \qquad F = 0$$

Sonuç:

Yine $E = G$ ve $F = 0$ yakaladık. Yani bir vazoyu, bir huniyi veya bir simidi bile uygun bir integral dönüşümüyle "düzlemde kareli kağıt" gibi düşünebiliriz.

Tabii, bu örnek spesifik bir örnekti biz çok daha iyisini zaten kanıtladık. Kumda oyna Lagrange.

Harmoniklik ve Jeodezikler: Doğanın Kısa Yolları

Hazır elimizde bu kadar güzel $E = G$ olan metrikler varken, iki önemli özelliğe değinelim.

Bu Koordinatlar Neden Harmonik?

Önceki bölümde kanıtladığımız gibi, izotermal koordinatlarda $(u,v)$ Laplace-Beltrami operatörü

$$\Delta u = 0 \qquad \text{ve} \qquad \Delta v = 0$$

verir.

Mercator örneğine bakalım $(E = G = \operatorname{sech}^2 u)$. Metrik katsayıları sadece $u$'ya bağlı. Laplace operatörümüz şuna dönüşür:

$$\Delta \psi = \frac{1}{E} (\psi_{uu} + \psi_{vv})$$

Eğer $\psi = u$ alırsak, $u_{uu} = 0$, $u_{vv} = 0$ olduğundan sonuç direkt sıfır çıkar. Yani Mercator haritasındaki enlem ve boylam çizgileri, matematiksel olarak "harmonik" fonksiyonlardır. Yüzey üzerindeki gerginliği minimize ederler.

Sabit Parametre Eğrileri Neden Jeodeziktir?

Hesap kitap işine pek girmeden sabit koordinatların burada en kısa mesafeleri belirlemesini açıklayayım. Sorumuz şu: Mercator haritasındaki o düz dikey çizgiler (meridyenler), küre üzerinde gerçekten "en kısa yol" mudur?

Cevap kocaman bir EVET. Ama neden?

Simetri Reisin Gücü (Ayna Testi)

Dönel yüzeyleri küre, silindir, vazo, huni düşün. Bu şekillerin hepsi bir eksen etrafında dönerek oluşur. Metriğimizin

$$ds^2 = \lambda(u)(du^2 + dv^2)$$

sadece $u$'ya enleme bağlı olması, $v$'ye boylama/dönme açısına bağlı olmaması demek, yüzeyin kendi etrafında döndüğünde geometrisinin değişmemesi demektir.

Şimdi bir meridyen çizgisini haritadaki dikey çizgi düşün. Bu çizgi yüzeyi tam ortadan ikiye böler ("Slices of an orange" gibi).

• Eğer bu çizginin sağına ve soluna bakarsan, geometri tamamen simetriktir.

• Bir cisim bu çizgi üzerinde hareket ederken, sağa gitmesi için de sola gitmesi için de hiçbir sebep yoktur. Çünkü iki taraf da birbirinin aynasıdır!

• Sonuç: Cisim sapmadan dümdüz yoluna devam eder. İşte "sapmadan gitmek" demek, Jeodezik olmak demektir.

Bu yüzden, dönel yüzeylerdeki tüm meridyenler yukarı-aşağı gidenler otomatik olarak jeodeziktir. Denklem gerek yok, simetri yeter!

Mercator, Uçaklar ve Büyük Çemberler

Şimdi Mercator haritasını gözünün önüne getir. Hani şu Grönland'ın devasa göründüğü harita.

• Haritada: Meridyenler boylamlar yukarıdan aşağıya inen dümdüz, paralel çizgilerdir.

• Küre Üzerinde: Bu çizgiler, Kuzey Kutbu'ndan Güney Kutbu'na giden yaylardır. Bu yayları tamamlarsan, dünyanın merkezinden geçen devasa çemberler elde edersin. Biz bunlara Büyük Çember (Great Circle) diyoruz.

Havacılıkta bu oldukça önemli: (Editör notu: kendisi aratık pilot olduğu için tabiki de buna değinecekti)

İstanbul'dan New York'a uçan bir uçak, haritada düz bir çizgi çizerek gitmez buna Loksodrom denir ve yolu uzatır. Uçak, kuzeye doğru kavis çizer. Neden? Çünkü küre üzerinde en kısa yol, Büyük Çember yayıdır.

ANCAK! Eğer İstanbul'dan tam güneye, mesela Güney Afrika'ya uçacaksan durum değişir. Rotan bir Meridyen üzerindedir.

1. Küre üzerinde bu bir Büyük Çemberdir En kısa yoldur.

2. Mercator haritasında bu dümdüz bir dikey çizgidir.

İşte izotermal koordinatların Mercator'un büyüsü buradadır: Normalde haritadaki düz çizgiler en kısa yolu göstermezken, dikey çizgiler (sabit boylamlar) hem haritada düzdür hem de gerçek dünyada en kısa yoldur.

Özetle:

Dönme simetrisi olan bir yüzeyde Küre gibi, metriğiniz açıdan bağımsızsa ($G_v = 0$, değineceğiz buna), dönme eksenine dik olan o dikey çizgiler üzerinde yürüyen bir karınca, sağa ya da sola sapmak için hiçbir sebep bulamaz. Dümdüz yürür. O yürüdüğü yol da, iki nokta arasındaki en kısa mesafedir.

Özet

Bu bölüm aslında eğrilik kavramına girerim diye düşünmüştüm ama açıklamam gereken bir sürü şey olduğunu farkettim. Bu kavramların hepsi eğrilik ve metrik kavramlarıyla çok daha kolay açıklanabiliyor ancak bu biraz tavuk yumurta ikilemi gibi olduğundan öncesinde şu ana kadar geliştirdiğimiz seziler ve metotlarla açıklamalar yapmak istedim. Bir sonraki bölümde umarım eğriliğe giriş yapıp yavaş yavaş manifoldlara üstü kapalı değineceğiz. O zamana kadar kendinize iyi bakın.