Bu Seri Tam Olarak Nedir?
1. Bu Seri Tam Olarak Nedir ?
Diferansiyel geometri serisi matematik ve fizik bölümlerinde okutulan diferansiyel geometri derslerinin birazcık daha dışına taşmayı hedefleyen bir Biricik Bilim projesidir. Diferansiyel geometrinin tarihçesi ile başlayan ve ucunun nerede olacağı muallakta olan bir seri ile karşınızdayız. Genel olarak diferansiyel geometri’nin tarihçesi, 2 ve 3 boyutlu Öklid uzaylarının yapılarından bahsedip işi n−boyutlu Öklid uzayına genelleştirmeyi planlıyoruz. Ardından genelde 3 boyutlu Öklid uzayı ağırlıklı olmak üzere bu uzaylarda eğrilerin ne olduğundan bahsetmek istiyoruz.
Daha sonra, Frenet çatıları ve bunların uygulamaları üzerine konuşup Helis, Bertrand eğri çiftleri gibi özel eğrilerden bahsedip konuyu yüzeyler’e taşımak istiyoruz. Sonrası ise gerçekten muallak, Riemann manifoldlarına da girebiliriz, Öklidyen olmayan uzaylara da girebiliriz. Ancak şu ana kadar planladığımız kısım genel olarak üniversitelerin diferansiyel geometri için ders programlarına paralel olacak olup, bir tık fazla detay içerektir. Sözü daha fazla uzatmadan bu serüvene başlayalım.
2. Diferansiyel Geometri’nin Tarihçesi
Adından anlaşılacağı üzere diferansiyel geometri, geometri’nin bir alt dalıdır. Dolayısıyla tarihi geometri’nin tarihi ile başlar.
Geometri esasında milattan önce yaklaşık beş bin yıl kadar önce Mezopotamya ve Antik Mısır’da insanların günlük hayattaki problemlerini çözerken temellerini attığı bir disiplindir. Bu problemler Nil nehri’nin taşma miktarının hesaplanması, bir arsayı eşit parçalara bölme yöntemleri, bir cismin hacmini ölçme gibi durumlardır. Görüleceği üzere şu an bize oldukça basit görünen bu problemlerin gerçekten bir problem olduğu bir dünyadaki geometri tanıdığımız geometriden oldukça ilkel olacaktır, dolayısıyla tam olarak geometri olarak nitelendirmek pek doğru olmaz. Özetle bu zamanlarda yapılan işlerin pek teorik alt yapısı yoktur, hani diyoruz ya şunun kanıtı nedir diye, o zamanlar problemler sadece çözülürmüş, çözümünün gerçekten bir çözüm olup olmadığı pek sorgulanmazmış.
Lakin arada ilginç işler de çıkmış. Can Ozan Oğuz hocamızın Nesin Matematik Köyü’nde yapmış olduğu geometri tarihi derslerinde görmüş olduğumuz bir örneği burada paylaşmak isteriz. ([1]) Bu örnekte geometri ile ilgili bilinen en eski tabletlerden biri olan Babillerin YBC 7289 isimli tabletin barındırdığı bir özellikten bahsedeceğiz. Tabletin bir fotoğrafını aşağıda görebilirsiniz.
Bu tablette bir kare şekil var ve bunun köşegen uzunluğu hesaplanmış. Babiller döneminde sayılar 60−tabanında yazılıyordu(gün 24 saat, bir saat 60 dakika, bir daire 360 derece, aaa ne tesadüf değil mi ?) dolayısıyla uzunluklar 60 tabanındaki sayılardır. Bu hesapta bir kenarı 30 (10−tabanında 1/2) olan bir karenin köşegen uzunluğu 42, 25, 35 olarak hesaplanmış ve 1, 24, 51, 10 sayısının 10−tabanına dönüştürülmüş hali bize √2 için oldukça iyi bir yaklaşım verir.
Tarihçiler bu tabletin milattan önce 1800 ile 1600 yılları arasında bir öğrenci tarafından kullanıldığına inanmaktadırlar, yani Pisagor’un doğumundan çok uzun zaman önce. Pisagor teoremi henüz ortada dahi yokken Babil döneminde bir tablette Pisagor teoremi’nin bir uygulamasına rastlamak oldukça heyecan verici. En azından bu hesabın bir teoriye dayanmadığını biliyoruz, fakat işin esasında çok güçlü bir teoriye bağlı olduğu yüzyıllar sonra ortaya çıkıyor.
Mezopotamya ve Antik Mısır’dan sonra sahneye Antik Yunan çıkıyor, bu dönem biraz daha filozofların cirit attığı bir dönem olduğundan bir şeyler sorgulanmaya başlıyor dolayısıyla bir şeyleri ispat etmek artık gereklilik oluyor. Bu da günümüzdekine en benzer şekildeki geometrinin doğuşu anlamına geliyor. Öklid, Pisagor hep Antik Yunan döneminde yaşamıştır. Pisagor kendine sıkı sıkıya bağlı müritleri ve teoremi, Öklid ise 13 ciltlik elemanlar kitabıyla tarih ve matematik kitaplarında kendine yer bulmuştur.
Pisagor’un hikayesi biraz ilginçtir, her ne kadar ispatlanmamış olsa da Pisagor bir katildir. Madem laf lafı açıyor, anlatalım. Pisagor döneminde adeta bir şeyh muamelesi görürmüş, ona sıkı sıkıya bağlı insanlar varmış, halk tarafından çok sevilirmiş. Pisagor sayılara oldukça önem veren bir insanmış, onların evrenin dili olduğuna ve kutsal olduklarına inanırmış, sayı dediysek zaman Antik Yunan zamanı, öyle π’ler falan yok, henüz rasyonel sayılara kadar biliniyor. Pisagor’un bir dönem kafasında ikizkenar dik üçgende hipotenüs uzunluğu bir cetvel vs ile nasıl ölçülebilir diye bir soru varmış, sayılar kutsal ya, her şeyi sayı ile(rasyonel) ifade edebileceğine inanıyormuş. Hippasus isminde bir öğrencisi ikizkenar dik üçgende hipotenüs uzunluğunun kesirli bir şekilde ifade edilemeyeceğini kanıtlamış, bunun üzerine Pisagor’un müritleri Hippasus’u suda boğmuş. Bu kanıtı size şu anda vermeyi çok isterdik ama bizim editör Pisagor’u çok seviyor, şimdi hiç ortalığı bulandırmayalım.
Öklid ise bahsettiğimiz gibi 13 ciltlik bir elemanlar kitabı yazmış ve geometrinin adeta bütün temellerini atmıştır, bu kitaplar Öklid’in tanımları ve aksiyomları bölümleriyle başlar ve burada bir nokta’dan çember’e her şeyin nasıl tanımlanacağından ve bazı kurallardan bahseder. Bunlara ilerleyen kısımlarda gireceğimizden şimdilik detayları bir kenara bırakalım.
Bu antik dönemlerin ardından Arap yarımadasından Müslüman bilim insanları parlayıverir, Avrupa’da ise derebeylikler dönemi başlar ve birkaç yüz yıllığına bilim Arapların ellerine bırakılır. Elbette geometri de buradan nasibini alır. Öklid’den kalan bir miras devraldığının bilincinde olan Müslüman bilim insanları işleri biraz daha ilerletip günlük hayat problemlerine üçgen, daire çizip dikmeler indirmek yerine açılardan, oranlardan ve cebirsel özdeşliklerden yararlanarak çözümler üretmeye başlarlar. Trigonometri’nin doğuşu bu dönemde olur, açıların trigonometrik fonksiyonlar altındaki değerleri ile ilgili tablolar görmüşsünüzdür, işte o tablolar hep bu dönemde yazıldı.
Birkaç yüzyıl süren bu gelişmelerin ardından İtalya çizmesinden fırlayan bir akım ile bilim yeniden Akdeniz’in tuzlu sularını aşarak Avrupa kıtasına geldi, Rönesans. Bu dönemde işler biraz daha sanatsal, göz doyurucu nitelikte olmaya başladı ve böylece geometriye perspektif geometri denilen bir alan kazandırılmış oldu. Rene Descartes ve Pierre de Fermat isimli matematikçiler de koordinatlar kullanarak geometri yapmayı akıl ederek diferansiyel geometrinin temellerinin atılmasına yardımcı oldular. Ayrıca Sir Isaac Newton’un(Leibniz’i de unutmadık.) çalışmaları da kalkülüs denilen bir alan doğurdu, elbette geometriciler bundan beslenmese olmazdı. Diferansiyel geometri işte tam olarak yeni doğan perspektif geometri ile kalkülüs’ün çakıştığı zamanlarda ortaya çıktı.
Bir Alman dahisi Carl Friedrich Gauss, Fransız matematikçi Jean Frederic Frenet’in, Bernhard Riemann’ın ve daha bir çok matematikçinin katkılarıyla geometride türev ve integral kavramları kullanmaya başlandı. Bu sayede artık bir eğrinin analitik denklemi oluşturulabiliyor, o eğrinin eğrilik ve burulma gibi özellikleri incelenebiliyor ve belirli yorumlar yapılabiliyordu. Sadece eğriler değil, yüzeyler hakkında da bir çok şey söylenebilir hale geldi. Gauss, yüzeyler’e oldukça fazla sayıda katkılar yapmıştır, topoloji ile geometriyi birleştiren Gauss-Bonnet teoreminin fikir babasıdır.
Elbette matematikçiler sadece eğri ve yüzeylerle yetinmeyecekti, Bernhard Riemann, doktora hocası Gauss’un fikrini n−boyuta genelleştirerek manifold kavramını ortaya attı, bu tam olarak Öklidden sonra geometriye yepyeni bir soluk getirdi. Çünkü Öklid uzayı düz bir uzaydı, eğrilik yoktu. Gauss ise eğriliğe sahip yüzeylerin üzerinde de diferansiyel geometri yapılabileceğini söylüyordu. Riemann ise bunun sadece yüzeylerle sınırlı kalmadığını söyleyerek adeta son noktayı koymuştur, bu saatten sonra hiçbir şey eskisi gibi olmayacaktı.
Lorentz ve Minkowski, kendisi isimlerini taşıyan ve Öklidyen yapıda olmayan bir uzay inşa etti, literatürde genelde adı Minkowski uzayı olsa da Lorentz-Minkowski uzayı olarak da adlandırılan bu uzayı Öklid uzayından ayıran tek şey üzerinde kurulan metriğin bir eksi işaretine sahip olmasıdır, bu üç farklı eğri ve yüzey tipi ortaya çıkarır. Buradan rölativiteye kapılar ardına kadar açılır ve sonrasında söz Einstein’ındır. Einstein manifoldları üzerinde geometri günümüzde hala popüler konulardandır.
Fakat Riemann’ın başlattığı bu saltanatın devam ettiğini düşünüyorsanız yanılıyorsunuz. Hilbert ve Minkowski’nin öğrencisi olan Hermann Weyl, Riemann manifoldlarını da genişleterek Weyl manifoldlarını oluşturarak bir başka Alman olarak geometri tarihinde yerini aldı. Lakin bu manifold tipi fiziğe uyarlarken sıkıntılar doğurduğundan fizikçileri pek sevindirmedi ve ilginç bir matematiksel obje olarak kaldı. Günümüzde geometri alanında çalışmalar bazı özel tip manifoldlar üzerine yoğunlaşmıştır.
Kaynakça
[1] Oğuz, C. O. (2021). Geometri Tarihi 1 - Antik Dönemde Geometri [Slayt]. Google Docs.
https://docs.google.com/presentation/d/1BdHUlMHO9-CpGu7cLaEv3q1j9zWW61LQY-vmEo76aCg/edit#slide=id.gc5f48274d2_0_213