Görelilik Serisi Part 8- Eğri Uzayların Geometrisi Bölüm 2- Genel Koordinat Dönüşümleri

Merhabalar, geçen bölümde manifoldları tanımlamıştık bu bölümde ise bu manifoldlarda koordinat dönüşümlerini nasıl yapacağımızı göreceğiz, hazırsanız başlayalım.

Önceki bölümde de gördiğümüz üzere, bir manifoldu(daha önce biz bu manifolda M demiştik bunu kullanmaya devam edeceğim) her zaman tek bir harita ile kaplamak mümkün olmayabiliyor, eğer manifoldu tek bir harita ile kaplayabilirsek o zaman elimizde küresel bir koordinat sistemi olur, fakat M’yi tek harita ile kaplayamazsak o zaman elimizde küresel bir koordinat sistemi olmaz, ayrıca bu farklı parçaları birbirine bağlamak için koordinat dönüşümlerine ihtiyacımız var.

Koordinat değişimini yeni koordinat olan $X^{\mu'}$ ‘nün eski koordinat olan $X^{\mu}$ ‘nün fonksiyonu olarak $X^{\mu'}(X^{\mu})$ şeklinde ifade edebiliriz.

Yukarıda üst üste olan 2 harita görüyorsunuz( $U_1$ ve $U_2$ ). $\phi_{12}$ işlevi figürün sağında $\mathbb{R}^n$ ‘de olan koordinatları figürün solunda gene $\mathbb{R}^n$ ‘de olan koordinatlara değiştirir. Bu yüzden dolayı M kümesini direkt görmezden gelip doğrudan $\mathbb{R}^n$ ‘deki koordinat değişimlerini inceleyebilmemiz mümkün olur. Peki ama ya türevler onları nasıl ele alacağız dediğinizi duyar gibiyim.

Öncelikle zincir kuralı ile başlayalım, zincir kuralını şu şekilde yazabiliriz: $\frac{d}{dx} g(f(x)) = \frac{d}{dx} (g \circ f)(x) = \frac{dg}{df} \frac{df}{dx}.$ . Bunu 2 değişken için yazmak istersek:

$f_1(x,y) \quad f_2(x,y) \quad g_1(f_1,f_2) \quad g_2(f_1,f_2) \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial g_1}{\partial x} =\frac{\partial g_1}{\partial f_1} \frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial g_1}{\partial f_2} \frac{\partial f_2}{\partial x} \quad \frac{\partial g_1}{\partial y} = \frac{\partial g_1}{\partial f_1} \frac{\partial f_1}{\partial y} + \frac{\partial g_1}{\partial f_2} \frac{\partial f_2}{\partial y} \qquad \frac{\partial g_2}{\partial x} =\frac{\partial g_2}{\partial f_1} \frac{\partial f_1}{\partial x} +\frac{\partial g_2}{\partial f_2} \frac{\partial f_2}{\partial x} \quad \frac{\partial g_2}{\partial y} = \frac{\partial g_2}{\partial f_1} \frac{\partial f_1}{\partial y} +\frac{\partial g_2}{\partial f_2} \frac{\partial f_2}{\partial y}$

Bunu index notasyonu ile yazmak istersek:

$\frac{\partial}{\partial X^\mu} =\frac{\partial X^{\mu'}}{\partial X^\mu} \frac{\partial}{\partial X^{\mu'}}\qquad\frac{\partial}{\partial X^{\mu'}} =\frac{\partial X^\mu}{\partial X^{\mu'}} \frac{\partial}{\partial X^\mu} \quad (1)$

bu yukardaki denklem kısmi türevin dönüşüm kuralı olarak bilinir.

Vektörlerin tanjant, dual vektörlerin ise kotanjant uzayında yaşadıklarını daha önceki bölümlerde söylemiştik. Şimdiye kadar bu kavramları tanıtırken öncelikle koordinat sistemlerini tanıtıp sonra vektör ve dual vektör tanımlarını vermiştik fakat vektörleri herhangi bir koordinat tanımlamadan da tanıtmak mümkün. Mesela bir tane M manifoldunu ele alalım. Bu manifold üzerinde bir tane p noktası olsun, bu noktadan geçen bir tane de $\gamma$ eğrisi olsun. Biz bu eğriyi $\gamma : \mathbb{R}^1 \to M, \lambda \to \gamma(\lambda)$ şeklinde parametrize edebiliriz. Bu parametrizasyon bize sadece $\gamma$ üzerinde bulunan noktaları verir ve bu noktaları $\gamma(\lambda_p) = p$ şeklinde ifade edebiliriz. Şimdi tüm $p \in M$ için $C^\infty$ olan $f : M \to \mathbb{R}^1, \; p \to f(p) = \alpha_p$ işlevi tanımlayalım. Bu bize M ile hiç bir alakası olmayan $f \circ \gamma : \mathbb{R}^1 \to \mathbb{R}^1, \; \lambda_p \to \alpha_p$ fonksiyonunu verir.

Şimdi, $\frac{df}{d\lambda}$ ‘yı $\lambda$ değiştiğinde $\alpha$ ‘daki değişim olarak tanımlarsak, bunu $\frac{df}{d\lambda} = \frac{d}{d\lambda}(f \circ \gamma)$ şeklinde yazabiliriz. Burdaki $\lambda$ bizim spesifik olarak seçtiğimiz eğri ile alakalıdır. $\frac{df}{d\lambda}$ ifadesi f nin $\lambda$ boyunca olan yönlü türevi olarak isimlendirebiliriz. Bu türev bize $f : M \to \mathbb{R}^1$ fonksiyonunun seçtiğimiz eğri boyunca hareket ederken nasıl değiştiğini gösterir. Farklı bir eğri kullanmak bize farklı yönlü türev verecektir.

Şimdi p noktasından geçen bir sürü eğri hayal edelim. Eğer, $p$ noktasından geçen tüm eğriler farklı parametrelerle mesela; $\kappa, \lambda, \mu, \nu, \ldots$ parametrize edilmiş olarak ele alırsak, o zaman bu eğrilerin $f$ fonksiyonundan bağımsız olan yönlü türevler kümesi,

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\left{ \frac{d}{d\kappa}, \frac{d}{d\lambda}, \frac{d}{d\mu}, \frac{d}{d\nu}, \ldots \right}

*** Error message:
Missing delimiter (. inserted).
leading text: $\left{

şeklinde bir vektör uzayı oluşturur. Bu $M$ ‘nin $p$ noktasındaki teğetlerinin vektör uzayını kurar ve bu nedenle teğet uzayı olarak görev yapar.

Tanjant uzayını, yukarda koordinatlardan bağımsız olarak tanımlamayı başardık. Şimdi bunu haritalarla birleştirmek ve vektörleri koordinatlar ile birleştirmek için, vektör bileşenlerin koordinat dönüşümleri altında nasıl dönüşeceğini inceleyebiliriz.

$p \in U$ ve $\phi$ ‘yi içeren bir harita için, $f \circ \gamma$ ‘yı $p$ çevresinde $f \circ \phi^{-1} \circ \phi \circ \gamma$ olarak yazabiliriz çünkü $U$ açıktır ve $\phi$ birebirdir. Bu fonksiyonu iki parçaya ayrılabiliriz; bunlardan biri: $f \circ \phi^{-1} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^1$ ve diğeri ise $\phi \circ \gamma : \mathbb{R}^1 \to \mathbb{R}^n$ ‘dir, burada $\phi \circ \gamma$ $(\phi \circ \gamma)^\mu$ olarak ifade edilebilir.

Zincir kuralı kullanılarak aşağıdaki denklemi yazabiliriz:

$\frac{df}{d\lambda}= \frac{d}{d\lambda} \left( (f \circ \phi^{-1}) \circ (\phi \circ \gamma) \right)= \frac{\partial (f \circ \phi^{-1})}{\partial (\phi \circ \gamma)^{\mu}}\frac{d (\phi \circ \gamma)^{\mu}}{d\lambda}$

bunu, $\frac{df}{d\lambda} = \frac{\partial f}{\partial X^\mu} \frac{dX^\mu}{d\lambda}$ şeklinde daha güzel bir formda yazabiliriz burada, $X^\mu = (\phi \circ \gamma)^\mu$ ve $f(X^\mu) = (f \circ \phi^{-1})$ ‘dir.

Buradaki f fonksiyonu keyfi bir fonksiyon olduğu için ifademizi o olmadan tekrar şu şekilde yazabiliriz:

$\frac{d}{d\lambda} = \frac{dX^\mu}{d\lambda} \, \partial_\mu \quad (2)$ ve bu ifadeye koordinata uyarlanmış baz ismini verebiliriz. Burada $\frac{d}{d\lambda}$ , tanjant vektöre karşılık gelen herhangi bir yönlü türev, $\frac{dX^\mu}{d\lambda}$ vektör bileşenleri ve $\partial_\mu$ ise baz vektörlerdir.

Vektörler tanjant uzayında oldukları için onları; $V = V^\mu \partial_\mu$ şeklinde ifade edebilmemiz gerek. Burda denklem (1)’i kullanırsak:

$V^\mu \partial_\mu = V^{\mu'} \partial_{\mu'} = V^{\mu'} \frac{\partial X^\mu}{\partial X^{\mu'}} \partial_\mu= V^\nu \frac{\partial X^{\mu'}}{\partial X^\nu} \frac{\partial X^\mu}{\partial X^{\mu'}} \partial_\mu$

elde edebiliriz. Ayrıca vektörler invaryant oldukları için vektör bileşenleri ve baz vektörler için aşağıdaki dönüşüm yasalarını elde edebiliriz:

$V^\mu \to V^{\mu'} = \frac{\partial X^{\mu'}}{\partial X^\mu} V^\mu,\qquad\partial_\mu \to \partial_{\mu'} = \frac{\partial X^\mu}{\partial X^{\mu'}} \partial_\mu \quad (3)$

Ayrıca dual vektörler içinde benzer mantığı kullanarak aşağıdaki dönüşüm yasalarını elde edebiliriz:

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\omega_\mu \to \omega_{\mu'} = \frac{\partial X^\mu}{\partial X^{\mu'}} \omega_\mu,\qquaddX^\mu \to dX^{\mu'} = \frac{\partial X^{\mu'}}{\partial X^\mu} \, dX^\mu \quad (4)

*** Error message:
Undefined control sequence \qquaddX.
leading text: ...mu}{\partial X^{\mu'}} \omega_\mu,\qquaddX

Bu dönüşümleri önceden olduğu gibi tüm tensörlere genellemek istersek (2,2) ilk bir tensör için aşağıdaki dönüşüm yasalarını elde ederiz:

$T^{\kappa \lambda}_{\mu \nu} \to T^{\kappa' \lambda'}_{\mu' \nu'}= \frac{\partial X^\kappa}{\partial X^{\kappa'}} \frac{\partial X^\lambda}{\partial X^{\lambda'}} \frac{\partial X^{\mu'}}{\partial X^\mu} \frac{\partial X^{\nu'}}{\partial X^\nu} T^{\kappa \lambda}_{\mu \nu}$

Hatırlarsanız, özel görelilikte bir vektörün primelı bir başka vektöre dönüşmesini şu şekilde ifade ediyorduk:

$V^\mu \to V^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}_{\ \mu} V^\mu$

Genel görelilikte ise bunu

$V^\mu \to V^{\mu'} = \frac{\partial X^{\mu'}}{\partial X^\mu} V^\mu$

şeklinde ifade ediyoruz. Burdan $\Lambda^{\mu'}_{\ \mu}$ ‘nun $(t,x,y,z)$ üzerinde sabit veya küresel bir dönüşüm olduğu, $\frac{\partial X^{\mu'}}{\partial X^\mu}$ ‘nun ise yerel veya koordinata bağlı dönüşümlere izin verdiği sonucunu çıkarabiliriz.

Özel görelilikte dönüşümün küresel olması ve genel görelilikte dönüşümün yerel olması, ayar teorilerindeki
küresel bir simetriden yerel bir simetriye geçerken ortaya çıkan problemlere benzer bir sorun oluşturur. Mesela bu soruna örnek olarak dual vektör türevinin dönüşümünü ele alabiliriz:

$\partial_\mu T_\nu \to \partial_{\mu'} T_{\nu'} = \frac{\partial X^\mu}{\partial X^{\mu'}} \partial_\mu \left( \frac{\partial X^\nu}{\partial X^{\nu'}} T_\nu \right) = \frac{\partial X^\mu}{\partial X^{\mu'}} \frac{\partial X^\nu}{\partial X^{\nu'}} \partial_\mu T_\nu T_\nu \frac{\partial X^\mu}{\partial X^{\mu'}} \partial_\mu \left( \frac{\partial X^\nu}{\partial X^{\nu'}} \right)$

Buradaki ilk terim olan, $\partial_\mu T_\nu$ ‘nun bir tensör olarak dönüşmesi durumunda elde edilmesi gereken tek terimdir, ancak ikinci terim yalnızca $\frac{\partial X^\nu}{\partial X^{\nu'}}$ sabitse sıfır olur.
Bu nedenle, bir tensörün türevi genel olarak kendi başına bir tensör değildir.
Ancak fizikte bizim tensörlere ve onların türevlerine ihtiyaçımız var. Bunun çözümü tıpkı standart modelde olduğu gibi, ayar teorisindeki simetriyi yerelleştirmek için, türevin (ve ayar alanının) yeniden tanımlanmasını gerektirir; bu da tensörlerden tensörler üreten, kovaryant türev kavramını ortaya çıkarır.

Fakat bu bir sonraki bölümün konusu :). Bir sonraki bölümde, yerel invaryant koordinatları tanımplayıp sonra da kovaryant türev ne demek sorusuna cevap arıyacağız, bir sonraki bölüm görüşmek üzere, kendinize iyi bakın:)

Table of Contents

Kaynakça

[1] S.M. Carroll, (2003). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. (Addison-Wesley)

Yazar

Furkan Utku Biber

Post Views: 24