Diferansiyel Geometri Serisi 6.Bölüm

Herkese merhaba, umarım her şey yolundadır. Uzun bir süredir bu seriye ara vermek durumunda kaldım kişisel sebeplerden dolayı. Ancak artık tam gaz devam edebiliriz. Geçen bölümde Öklid uzayında bir eğrinin Frenet çatısını tanımlamıştık. Bu bölümde ise Frenet çatısını tanımlarken kullandığımız eğrilik ve burulma kavramlarına daha yakından bakacağız.

Table of Contents

Neden `κ`’nın Adı Eğrilik?

$\alpha:I\rightarrow\mathbb{E}^3$ eğrisi s yay uzunluğu parametresine sahip olsun, o halde bu eğrinin s noktasındaki eğriliği $\kappa(s)$ neyi temsil eder? Bu soruya tanımından yola çıkarak geometrik bir argümanla açıklama getireceğiz. Eğriliğin tanımından,

$\kappa(s)=\bigg\langle\frac{d\textbf{T}}{ds},\textbf{N}\bigg\rangle$

olduğunu biliyoruz. Bu bize s noktasında eğrinin teğetinin türevinin normal yönündeki bileşenini verir. Biz zaten bir eğrinin teğetinin türevinin yalnızca normal yönünde bir bileşeni olduğunu başka yönlerde bir bileşeni olmadığını biliyoruz. Dolayısıyla aslında $\kappa(s)$ dediğimiz şey bize eğrinin teğetinin türevinin büyüklüğünü verir. Burada büyüklükten kastımız söz konusu vektörün normu ve yönüdür. Teğetinin türevi de bize aslında eğrinin ikinci türevini verdiğinden fark etmeliyiz ki $\kappa(s)$ dediğimiz şey eğrinin ikinci türeviyle yani konveksliğiyle yakından ilişkili bir kavram. Şimdi kalkülüs bilgilerimize geri dönelim, bir fonksiyonun konveksliği bize o fonksiyonun grafiğinin görünüşü hakkında bilgi veriyordu. Aşağıdaki şekilde bir fonksiyonun konveks veya konkav olmasının ne anlama geldiğini görebilirsiniz.

Bu mantıkla eğriliğin de bu kavramın genelleştirilmişi olduğunu düşünebiliriz. Eğrilik de aslında tam olarak bir eğrinin grafiğinin nasıl görüneceğini belirler. Aşağıdaki şekli bir inceleyin sonra sözlerime devam edeyim.

Yukarıdaki görselde bir düzlemde(Haydaa! Hani üç boyuttaydık büyümüştük koca abi abla olmuştuk ne işimiz var ezik iki boyutta??). Bir eğrinin eğriliğinin işaretinin durumlarına göre alacağı biçimleri görmektesiniz. Görselde oldukça detay var fakat ben önce söylemek istediğim şeyi söyleyeyim, sonrasında bu “2 boyutlu olma” ve “şu sağ alttaki çember n’alaka” sorularınızı cevaplayacağım. Öncelikle eğriliğin pozitif olduğu yerden başlayalım, yani buradaki noktalarda $\kappa(s)>0$ oluyor.(eğrinin aldığı görüntü hörgüç biçiminde olmuş.) Ardından eğrinin değişiminin değişimi 0 olduğundan(yani ikinci türevin sıfır olduğundan bahsediyoz gari.) bir hörgüçlenme durumu oluşmamış, buradaki noktalarda $\kappa(s)=0$ olur. Daha sonra hani ensenize birisi dokunduğunda enseniz öne doğru gider orada bir boşluk oluşur ya, heh ondan olmuş. Bu da negatif eğrilik kısmı buradaki noktalarda $\kappa(s)<0$ oluyor. Daha sonra da zaten gene düzlüğe çıkmış ve eğriliği sıfır olmuş. Yani özetle iki boyutta yukarı hörgüçlenme varsa pozitif eğrilik, aşağı hörgüçlenme varsa negatif eğrilik, hörgüçlenme yoksa sıfır eğrilik oluyor. Peki şimdi gelelim sorularınıza.

YAHU NEDEN 2 BOYUTTA ANLATIYORSUN?

Bunun sebebi şu, mesela eğriliğimiz pozitif olsun, iki boyutta neyle karşılacağımızı biliyoruz artık değil mi? Buradan mantıkla üç boyutlusunu düşünelim. Üç boyutta artık uzaydasın, serbestsin “yukarıya doğru hörgüç çıkıyor” dediğin zaman sana gülerler ama hörgüç benzetmen için gülmezler. Yukarıya doğru dediğin için gülerler çünkü “bir Avustralyalıya göre yukarı olan şey sana göre aşağısıdır” mantığından yola çıkarsak uzayda yukarı diye bir yön olmadığını rahatlıkla görürüz. Eğrimizin ilerleme doğrultusuna göre yukarı-aşağı diye bir yönden bahsedebiliriz ki bu aslında çoktan tanımlamış olduğumuz bir kavram olan “burulma” ile tanımlanması mümkün olan bir şey. Yani kısacası uzayda bir eğrinin eğriliğinin pozitif veya negatif olması tek başına anlamsızdır. Buradan eğrinin grafiği hakkında yorumda bulunamayız ancak burulması bilinirse o zaman işler değişir. Eğrilik ve burulma bize eğri hakkında her şeyi söyler(aslında bu eğriliğin temel teoremidir, öyle değil mi?) Yani aslında bu soruyu erkenden sorarak benim burulmada anlatmak istediğim şeyin girişini bana burada yaptırdınız. Bütün sırrı bozdunuz.

O Görseldeki Çember de Neyin Nesi?

O çember aslında hayali bir çember(hadi canım) aşağıdaki görseldeki R yarıçapı $R=\frac{1}{\kappa}$ olarak tanımlanır, o noktadaki eğrinin bir bölülüsü olarak yani. Ve o yarıçapa sahip ve eğriye o noktada teğet olan bir çember varmış gibi düşünülür. Eğriliğin büyüklüğü arttıkça çember gittikçe küçülür, tam tersinde ise büyür. Sıfır olduğunda ise o çember sonsuz büyüklükte bir çember olduğu kabul edilir ve çizilmez(sonsuz büyüklükte bir şeyi nası çizcen demi?)

Özetle $\kappa$ ’ya eğrilik denmesinin sebebi o eğrinin nereye doğru eğrildiğini belirlemede yardımcı olmasıdır. Şimdi ise biraz burulma hakkında konuşacağız, bakalım onun geometrik anlamı neymiş.

Burulmanın Geometrik Anlamı

Burulma’nın geometrik anlamı için öncelikle üç farklı düzlem tanımlamamız gerekiyor. Bunlar normal düzlem ve rectifying düzlem ve oskülatör düzlemdir. TDK’cılar inanın hiç sizinle uğraşacak halim yok çeviremem bunları, anlamlarını da bilmiyorum. Bu üç düzlem bir eğrinin karakteristiğini belirlemede Frenet çatısı gibi etkilidir, zaten Frenet çatısından türemişlerdir. Teğet, normal ve binormal vektörlerin sırasıyla dik olduğu düzlemlerdir. Gelelim formal tanımlara.

Tanım:

$\alpha:I\rightarrow\mathbb{E}^3$ eğrisi s yay uzunluğu parametresine sahip olsun. O halde,

Bu eğrinin bir $s=s_0$ noktasındaki normal düzlemi $\textbf{T}(s_0)$ vektörüne dik olan düzlemdir.
Bu eğrinin bir $s=s_0$ noktasındaki rectifying düzlemi(Doğrultma düzlemi) $\textbf{N}(s_0)$ vektörüne dik olan düzlemdir.
$s=s_0$ noktasındaki oskülatör düzlemi $\textbf{B}(s_0)$ vektörüne dik olan düzlemdir.

Bu tanım ile burulmayı birleştirmek için oskülatör düzlemi ele alacağız çünkü oskülatör düzlemin normali $\textbf{B}$ ’dir ve $\textbf{B}$ ’nin türevi bize burulmayla ilgili bir denklem verir. Yani bu düzlemin normalinin değişiminin büyüklüğü $-\tau$ kadar olacaktır. Çünkü biz

$\frac{d\textbf{B}}{ds}=-\tau\textbf{N}$

olduğunu biliyoruz. Yani aslında burulma bize oskülatör düzlemin yönünün değişimini ifade eder, yani eğrinin nereye doğru “kıvrılacağını” söyler. Bu yönüyle bize eğriliğin iki boyutta yaptığı şeyin bir benzerini üç boyutta tanımlamamıza imkan sağlar. Bu nedenle “ikinci eğrilik” olarak da adlandırılır. Eğriliğin sıfır olmasının bize sağa sola yalpalamayan bir eğri yani bir doğru vereceğini biliyoruz. Peki burulmanın sıfır olması ne anlama gelir? Burulma sıfır olursa $\textbf{B}$ sabit bir vektör olur bu da bize Frenet çatısında sadece $\textbf{T}$ ve $\textbf{N}$ ’nin değişeceğini söyler. İki vektör değişiyorsa bu eğri bir uzayda değil düzlemdedir. Dolayısıyla eğrimiz düzlemsel bir eğridir. Yaz bunu şekil sözmüş:

Teorem:

$\alpha:I\rightarrow\mathbb{E}^3$ eğrisi s yay uzunluğu parametresine sahip olsun ve burulması $\tau=0$ olsun. O halde bu eğri düzlemseldir.

Bu yorumlamadan ve teoremden sonra şunu özetleyebiliriz: Burulma geometrik olarak eğrinin gidiş yönünü bize söyler, eğrilik ise o yönden nasıl sapacağını. Biz bu ikisinden sadece birini bilirsek bir sonuca varamayız ama ikisini bilirsek bize bütün eğrinin grafiğini çizdirirler. Yani bir elmanın iki yarısı gibilerdir.

Bir dahaki bölümde bir eğrinin denklemini bilmeden sadece eğriliğinden ve burulmasından denklemini bulmaya çalışacağız. Ardından da yapacağız bir şeyler işte. Sağlıcakla kalın.